考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷4(题后含答案及解析)

考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷4(题后含答案及
解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知A是3阶矩阵，r(A)=1，则λ=0( )
A．必是A的二重特征值．
B．至少是A的二重特征值．
C．至多是A的二重特征值．
D．一重、二重、三重特征值都有可能．
正确答案：B
解析：A的对应λ的线性无关特征向量的个数≤特征值的重数．r(A3×3)=1，即r(0E-A)=1，(0E—A)x=0必有两个线性无关特征向量．故λ=0的重数≥2．至少是二重特征值，也可能是三重．例如，但λ=0是三重特征值．所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
2．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一特征值等于( ) A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：因为λ为A的非零特征值，所以λ2为A2的特征值，为(A2)一1的特征值。

因此的特征值为所以应选
B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
3．3阶矩阵A的特征值全为零，则必有( )
A．秩r(A)=0．
B．秩r(A)=1．
C．秩r(A)=2．
D．条件不足，不能确定．
正确答案：D
解析：本题考查下列矩阵由于它们的特征值全是零，而秩分别为0，1，2．所以仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的．所以应选
D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
4．设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )
A．λE—A=λE—
B．
B．A与B有相同的特征值和特征向量．
C．A和B都相似于一个对角矩阵．
D．对任意常数t，tE一A与tE一B相似．
正确答案：D
解析：因为由A与B相似不能推得A=B，所以选项A不正确．相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项B也不正确．对于选项C，因为根据题设不能推知A，B是否相似于对角阵，故选项C也不正确．综上可知选项D E确．事实上，因A与B相似，故存在可逆矩阵P，使P一1AP=B于是P一1(tE一A)P=tE—P一1AP=tE—B．可见对任意常数t，矩阵tE一A与tE一B相似．所以应选
D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
5．n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )
A．充分必要条件．
B．必要而非充分条件．
C．充分而非必要条件．
D．既非充分也非必要条件．
正确答案：B
解析：由A一B，即存在可逆矩阵P，使P一1AP=B，故｜λE一B｜=｜λE一P一1AP｜=｜P一1(λE一A)P｜=｜P一1｜｜λE一A｜｜P｜=｜λE 一A｜，即A与B有相同的特征值．但当A，B有相同特征值时，A与B不一定相似，虽然A，B有相同的特征值λ1=λ2=0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似．所以，相似的必要条件是A，B有相同的特征值．所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
6．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P一1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )
A．P一1α
B．PTα．
C．Pα．
D．(P一1)Tα
正确答案：B
解析：设β是矩阵(P一1AP)一1属于λ的特征向量，并考虑到A为实对称矩阵AT=A，有(P一1AP)Tβ=λβ，即PTA(P一1)β=λβ．把四个选项中的向量逐一代入上式替换β，同时考虑到Aα=λα，可得选项B正确，即左端=PTA(P一1)T(PT)=PTλα=PTλα=λPTα=右端．所以应选
B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
7．n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( ) A．充分必要条件．
B．充分而非必要条件．
C．必要而非充分条件．
D．既非充分也非必要条件．
正确答案：A
解析：若，则有可逆矩阵P使P一1AP=AP=A，或AP=PA．令P=(γ1，γ2，…，γn)，即从而有Aγi=αiγi，i=1，2，…，n．由P可逆，即有γi≠0，且γ1，γ2，…，γn线性无关．根据定义可知γ1，γ2，…，γn是A的n个线性无关的特征向量．反之，若A有n个线性无关的特征向量α1,α2……αn，且满足Aαi=λiαi，i=1，2，…，n．那么，用分块矩阵有由于矩阵P=(α1,α2……αn)可逆，所以P一1AP=A，即A与对角矩阵A相似．所以应选A．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
8．n阶矩阵A和B具有相同的特征向量是A和B相似的( )
A．充分必要条件．
B．充分而非必要条件．
C．必要而非充分条件．
D．既非充分又非必要条件．
正确答案：D
解析：根据相似矩阵的定义，由A～B可知，存在可逆矩阵P使P一1AP=B：若Aα=λα，α≠0，有B(P一1α)=(P一1AP)(P一1α)=P一1Aα=λ(P一1α)，即α是A的特征向量，P一1α是B的特征向量，即矩阵A与B的特征向量不同．相反地，若矩阵A与B有相同的特征向量，且它们属于不同的特征值，即Aα=λα，Bα=μα，λ≠μ，因为矩阵A与B的特征值不同，所以矩阵A 和B不可能相似．所以矩阵A与B有相同的特征向量对于A～B来说是既非充分又非必要，故选
D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
9．设三阶矩阵A的特征值是0，1，一1，则下列命题中不正确的是( ) A．矩阵A—E是不可逆矩阵．
B．矩阵A+E和对角矩阵相似．
C．矩阵A属于1与一1的特征向量相互正交．
D．方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成．
正确答案：C
解析：因为矩阵A的特征值是0，1，一1，所以矩阵A—E的特征值是一1，0，一2．由于λ=0是矩阵A—E的特征值，所以A一E不可逆．故命题A正确．因为矩阵A+E的特征值是1，2，0，矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似对角化．命题B正确．(或由A一A→A+E～A+E而知A+E可相似对角化)．因为矩阵A有三个不同的特征值，知因此，r(A)=r(A)=2，所以齐次方程组Ax=0的基础解系由n—r(A)=3—2=1个解向量构成，即命题D正确．命题C的
错误在于，若A是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n 阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不正交．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
10．已知A是一个3阶实对称正定的矩阵，那么A的特征值可能是( ) A．3，i，一1．
B．2，一1，3．
C．2，i，4．
D．1，3，4．
正确答案：D
解析：因为实对称矩阵的特征值都是实数，故选项A，C都不正确；又因为正定矩阵的特征值均为正数，故选项B也不正确；应用排除法，答案为D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
11．下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：选项A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化．选项B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化．选项C是秩为1的矩阵，因为｜λE—A｜=λ3一4λ2，可知矩阵的特征值是4，0，0．对于二重根λ=0，由秩r(0E—A)=r(A)=1可知齐次方程组(OE—A)x=0的基础解系有3一1=2个线性无关的解向量，即λ=0有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化．选项D是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，一1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ=1，由秩可知齐次方程组(E—A)x=0只有3—2=1个线性无关的解，亦即λ=1，只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
12．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )
A．λ1≠0．
B．λ2≠0．
C．λ1=0．
D．λ2=0．
正确答案：B
解析：令k1α1，+k2A(α1+α2)=0，则k1α1+k2λ1α1+k2λ2α2=0，即(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0．因为α1，α2线性无关，于是有当λ2≠0时，显然有k1=0，k2=0，此时α1，A(α1+α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1+α
2)线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1+α2)=λ1α1，线性相关)，故应选
B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
填空题
13．设有二重特征根，则a=__________．
正确答案：
解析：如果λ=2是二重根，则有λ=2的时候，λ2一2λ一2(a一2)的值为0，可得a的值为2．如果λ2一2λ一2(a—2)=0是完全平方，则有(λ一1)2=0，满足λ=1是一个二重根，此时一2(a—2)=1，．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
14．已知λ=12是的特征值，则a=____________．
正确答案：4
解析：因为λ=12是A的特征值，因此｜12E—A｜=0，即所以a=4．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
15．设A是3阶矩阵，如果矩阵A的每行元素的和都是2，则矩阵A必定有特征向且___________.
正确答案：(1，1，1)T
解析：已知矩阵A的每行的元素的和都是2，因此有，所以可见矩阵A必定有特征向量(1，1，1)T．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
16．设α=(1，一l，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A 的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是__________.
正确答案：k(1，一1，1)T，k≠0
解析：令B=αβT，因为矩阵B的秩是1，且βTα=a+1，由此可知矩阵B 的特征值为a+1，0，0．那么A=E+B的特征值为a+2，1，1．因为λ=3是矩阵A的特征值，因此a+2=3，可得a=1．那么就有Bα=(αβT)α=α(βTα)=2α．α=(1，一1，1)T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，因此也就是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
17．已知矩阵和对角矩阵相似，则a=________．
正确答案：一2
解析：因为所以矩阵A的特征值分别为2，3，3，可见矩阵A的特征值有重根，已知矩阵A和对角矩阵相似，因此对应于特征根3有两个线性无关的特征向量，因此可得(3E—A)x=0有两个线性无关的解，因此矩阵3E一A的秩为1．因此可见a=一2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
18．已知矩阵有两个线性无关的特征向量，则a=__________．
正确答案：一1
解析：A的特征多项式为所以矩阵A的特征值是一1，且为3重特征值，但是A只有两个线性无关的特征向量，即因此a=一1．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
19．已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，那么A的三个特征值是________．
正确答案：2，2，2
解析：因为如果矩阵A有n个不同的特征值，则对应的n个特征向量是线性无关的．已知矩阵A只有一个线性无关的特征向量，所以A的特征值必定是三重根，否则A至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量．由于主对角元素的和等于所有特征值的和，因此可知1+2+3=3λ，进一步可知λ1=λ2=λ3=2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

20．设矩阵的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化．
正确答案：矩阵A的特征多项式为如果λ=2是单根，则λ2—8λ+1 8+3a 是完全平方，那么有18+3a=16，即则矩阵A的特征值是2，4，4，而，故λ=4只有一个线性无关的特征向量，从而A不能相似对角化．如果λ=2是二重特征值，则将λ=0代入λ2一8λ+18+3a=0，则有18+3a=12，即a=一2?于是λ2一8λ+18+3a=(λ一2)(λ一6)，则矩阵A的特征值是2,2，6，而r(2E—A)=故λ=2有两个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
21．已知求可逆矩阵P，化A为标准形A，并写出对角矩阵A．
正确答案：先求A的特征值、特征向量．矩阵A的特征多项式于是A的特征值是一1(二重)，0．对λ=一1，解齐次方程组(一E—A)x=0，由系数矩阵得特征向量α1=(一2，1，0)T，α2=(1，0，1)T．对λ=0，解方程组Ax=0，由系数矩阵，得特征向量α3=(2，0，1)T．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
22．已知矩阵A与B相似，其中求a，b的值及矩阵P，使P一1AP=
B．
正确答案：由A～B，得解得a=7，b=一2．由矩阵A的特征多项式得A的特征值是λ1=5，λ2=一1．它们亦是矩阵B的特征值．分别解齐次线性方程组
(5E—A)x=0，(一E—A)x=0，可得到矩阵A的属于λ1=5，λ2=一1的特征向量依次为α1=(1，1)T，α2=(一2，1)T．解齐次线性方程组(5E—B)x=0，(一E—B)x=0，可得到矩阵B的特征向量分别是β1=(一7，1)T，β2=(一1，1)T．那么，令涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
23．设矩阵行列式｜A｜=一1，又A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(一1，一1，1)T，求a，b，c及λ0的值．
正确答案：据已知，有AA*=｜A｜E=一E．对于A*α=λ0α，用A左乘等式两端，得由此可得(1)一(3)得λ0=1．将λ0=1代入(2)和(1)，得b=一3，a=c．由｜A｜=一1和a=c，有，即得a=c=2．故a=2，b=一3，c=2，λ0=1．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
24．已知A*是A的伴随矩阵，求A*的特征值与特征向量．
正确答案：因为，而r(B)=1，且有｜λE—B｜=λ3一6λ2，所以矩阵B的特征值是6，0，0．故矩阵A的特征值是5，一1，一1．又行列式｜A｜=5，因此A*的特征值是1，一5，一5?矩阵B属于λ=6的特征向量是α1=(1，1，1)T，属于λ=0的特征向量是α2=(一1，1，0)T和α=(一1，0，1)T．因此A*属于λ=1的特征向量是k1α1(k1≠0)，属于λ=一5的特征向量是k2α2+k3α3(k2，k3，不全为0)．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
25．已知可对角化，求可逆矩阵P及对角矩阵，使P一1AP=A．
正确答案：由矩阵A特征多项式知矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=一2．因为矩阵A可以相似对角化，故r(E一A)=1．而所以x=6．当λ=1时，由(E 一A)x=0，得基础解系α1=(一2，1，0)T，α2=(0，0，1)T．当λ=一2时，由(一2E—A)x=0，得基础解系α3=(一5，1，3)T．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
26．设矩阵是矩阵A*的特征向量，其中A*是A的伴随矩阵，求a，b的值．
正确答案：设A*α=λα，由AA*=｜A｜E，有｜A｜α=λAα，即由(3)一(1)，得λ(a—2)=0．由矩阵A可逆，知A*可逆，那么特征值λ≠0，所以a=2．由(1)×b一(2)，得λ(b2+b—2)=0，因此b=1或b=一2．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
27．设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(一1，2，一3)T都是A属于λ=6的特征向量，求矩阵A．
正确答案：由r(A)=2知，｜A｜=0，所以λ=0是A的另一特征值．因为λ1=λ2=6是实对称矩阵的二重特征值，故A属于λ=6的线性无关的特征向量有
两个，因此α1,α2,α3必线性相关，显然α1,α2线性无关．设矩阵A属于λ=0的特征向量α=(x1，x2，x3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有解出此方程组的基础解系α=(一1，1，1)T．根据A(α1,α2,α3)=(6α1，6α2，0)，因此涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
28．证明：已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1,α2,α3是相应的特征向量且线性无关，如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3．
正确答案：若α1+α2+α3是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3)．又A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，于是有(A—λ1)α1+(A—λ2)α2+(A—λ3)α3=0．因为α1，α2，α3线性无关，故λ一λ1=0，λ一λ2=0，λ—λ3=0．即λ1=λ2=λ3．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
29．设3阶对称阵A的特征值为λ1=6，λ2=λ3=3，其中与特征值λ1=6对应的特征向量为p1=(1，1，1)T，求A．
正确答案：因A是对称阵，必存在正交阵Q，使得即A=QQT．设Q=(ξ1，ξ2，ξ3)，则特征值λ1=6对应的单位特征向量为从而A一3E=Q(A一3E)QT．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
已知非齐次线性方程组554有3个线性无关的解，
30．证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；
正确答案：设α1,α2,α3是方程组Ax=β的3个线性无关的解，其中则有A(α1一α2)=0，A(α1一α3)=0．因此α1一α2，α1一α3是对应齐次线性方程组Ax=0的解，且线性无关，(否则，易推出α1，α2，α1一α3线性相关，矛盾)．所以n—r(A)≥2，即4一r(A)≥2，那么r(A)≤2．又矩阵A中有一个2阶子式，所以r(A)≥2．因此r(A)=2．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
31．求a，b的值及方程组的通解．
正确答案：因为涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
32．三阶实对称矩阵的三个特征值为λ1=6，λ2=λ3=3，对应于λ2=λ3=3的特征向量为求对应于λ1=6的特征向量及矩阵A．
正确答案：令λ1=6的特征向量为α1=(x1，x2，x3)T，则α1⊥α2，α1⊥α3．那么涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
33．设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一
1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．(1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(2)求矩阵
B．
正确答案：(1)由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次递推，则有A3α1=α3，A5α1=α1，故Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=-2α1，即α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量．由关系式B=A5-4A3+E及A的3个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2得B的3个特征值为μ1=-2，μ2=1，μ3=1．设α2，α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α1与α2、α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0．因此α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
A为3阶实对称矩阵，A的秩为2,且
34．求A的所有特征值与特征向量；
正确答案：r(A)=2＜3，因此A有一个特征值为0，另外两个特征值分别是λ1=一1，λ2=1．由上式知，λ1=一1，λ2=1对应的特征向量为设λ3=0对应的特征向量为由此得是特征值0对应的特征向量．因此k 1α1，k2α2，k3α依次对应于特征值一1，1，0的特征向量，其中k1，k2，k3为任意非零常数．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
35．求矩阵A．
正确答案：由于A=PAP一1，涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
36．设A为正交阵，且｜A｜=一1，证明λ=一1是A的特征值．
正确答案：要证λ=一1是A的特征值，需证｜A+E｜=0．因为｜A+E｜=｜A+ATA｜=｜(E+AT)A｜=｜E+AT｜.｜A｜=一｜A+E｜，因此｜A+E｜=0，所以λ=一1是A的特征值．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
37．已知3阶矩阵A的特征值为1，2，一3，求｜A*+3A+2E｜．
正确答案：因为｜A｜=1×2×(一3)=一6≠0，所以A可逆，故A*=｜A｜A一1=一6A一1，A*+3A+2E=一6A一1+3A+2E，设λ为A的特征值，则一6λ一1+3λ+2为一6A一1+3A+2E的特征函数．令φ(λ)=一6λ一1+3λ+2，则φ(1)=一1，φ(2)=5，φ(一3)=一5是一6A一1+3A+2E的特征值，故｜A*+3A+2E｜=｜一6A一1+3A+2E｜=φ(1).φ(2).φ(一3)=(一1)×5×(一5)=25．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
已知的一个特征向量．
38．求参数a，b及特征向量p所对应的特征值；
正确答案：设λ是特征向量p所对应的特征值，根据特征值的定义，有(A —λE)p=0，即解得a=一3，b=0，且p所对应的特征值λ=一1．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
39．问A能否相似对角化，并说明理由．
正确答案：A的特征多项式为得A的特征值为λ=一1(三重)．故若A能相似对角化，则特征值λ=一1有3个线性无关的特征向量，而即r(A+E)=2，所以齐次线性方程组(A+E)x=0的基础解系只有一个解向量，因此A不能相似对角化．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量。