圆的有关概念及性质

性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于900(直角).
性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
∵AB是⊙O的直径
∴ ∠ACB=900
1.与圆有一个公共点的直线。
2.圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
3.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
．
O
A
∟
l
∵OA是半径,OA⊥ l
内切圆半径r=
a+b-c
2
01
如图,AB是圆O的直径,AD,BC,DC均为切线,则:
02
DC=AD+BC
03
∠DOC=900
04
O
05
B
06
D
07
C
08
A
09
E
圆与圆的位置关系:
.
.
.
.
.
外离
外切
相交
内切
内含
．
O1
．
O2
．
O1
．
O2
．
O1
．
O2
．
O2
．
O1
．
O1
．
O2
两圆的位置关系
数量关系及识别方法
图28－4
(1)如图①，求证：△PCD∽△ABC； (2)当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图②中画出△PCD，并说明理由； (3)如图③，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．
第28讲┃ 归类示例
解：(1)证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝∠D＝90°. 又∵∠CAB＝∠DPC， ∴△PCD∽△ABC. (2)如图，当点P运动到PC为直径时，△PCD≌△ABC. 理由如下：∵PC为直径， ∴∠PBC＝90°，则此时D与B重合， ∴PC＝AB，CD＝BC， 故△PCD≌△ABC. (3) ∵AC＝0.5AB，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝30°，∠CAB＝60°. ∴∠CPB＝∠CAB＝60°. ∵PC⊥AB， ∴∠PCB＝90°－∠ABC＝60°， ∴△PBC为等边三角形． 又CD⊥PB， ∴∠BCD＝30°.
3.如图，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 ( ) A.180° B.150° C.135° D.120°
01
单击此处添加大标题内容
A
4.如图所示，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AmB上,则∠C= 。 30°
外离
外切
相交
内切
内含
d＞R+r
d=R+r
d=R-r
d＜R-r
R-r＜d＜R+r
► 类型之五 与圆有关的开放性问题
例5 [2012·湘潭] 如图28－4，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC＝0.5AB，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合)，过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．
E
F
H
G
正方形
22cm
2cm
．
O
A
B
C
．
．
．
．
O
A
B
C
．
．
．
D
F
E
D
F
E
4.如图, △ABC各边分别切圆O于点D、E、F.
(1) ∠DEF= 900- ∠A
(3) S △ABC= (a+b+c)r
(2) ∠BOC= 900+ ∠A
A
B
C
．
O
．
．
．
E
F
D
5.在Rt △ABC中, ∠ACB是直角,三边分别是a、b、c,内切圆半径是r,则:
D
C
D
B
C
B
D
C
C
A
H
I
如图所示，已知RtΔABC中，∠C=90°,AC= , BC=1,若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于P，则AP＝ 。 1
C
三、解答题(共36分)
不在同一直线上的三点确定一个圆.
∴直线l是⊙O的切线.
要点、考点聚焦
圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
中考题型：这部分题目变化灵活，在历年各地中考试题中均占有较大比例，就考查的形式来看，不仅可以单独考查，而且往往与几何前几章知识以及方程、函数等知识相结合.
1、如图,已知⊙O的半径OA长为5,弦AB的长8,OC⊥AB于C,则OC的长为 _______.
A
48
01
单击此处添加大标题内容
A
考点二 圆心角、弧、弦之间的关系
2.若AB分圆为1∶5两部分，则劣孤AB所对的圆周角为 ( ) A.30° B.150° C.60° D.120°
1.下列说法中，正确的是 ( ) A.到圆心的距离大于半径的点在圆内 B.圆周角等于圆心角的一半 C.等弧所对的圆心角相等 D.三点确定一个圆
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.
(3)圆心角、弧、弦、弦心距.
要点、考点聚焦
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是同弧所对的圆周角
O
A
B
C
3
AC=BC
弦心距
半径
半弦长
1.常利用弦心距，弦的一半及半径构成直角三角形. 2.遇直径条件时，常构造直径所对的圆周角，得到90° 的角.
考点一 垂径定理及其推论
1.如图，设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，弦心距 OD=d且OC⊥AB于D，弓形高CD为h，下面的说法或等式： ①r=d+h ②4r2=4d2+a2 ③已知：r、a、d、h中的任两个可求其他两个， 其中正确的结论的序号是( ) A.① B.①② C.①②③ D.②③
•
A
B
C
O
D
3.6
作圆的直径与找90度的圆周角也是圆里常用的辅助线
01
04
02
03
半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为 ，那么这条弦所对的圆周角为 ( ) A.60° B.120° C.45° D.60°或120°
D
如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( ) A．35° B.70° C．110° D.140°
推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧. 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧. 推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并平分弦所对的另一条弧.
5.有关定理及推论 (1)定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆. (2)垂径定理及其推论.
要点、考点聚焦
(4)圆周角
定理：一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆 周角所对的弦是直径. 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形.
4.与圆有关的概念
弦：连结圆上任意两点的线段. 直径：经过圆心的弦. 弧：圆上任意两点间的部分. 优弧：劣弧、半圆. 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的孤. 圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交. 圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交. 三角形外心及性质.
要点、考点聚焦
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 所对的两条弧.
三角形的外接圆
三角形内切圆
等分圆
圆和圆的位置关系
弧长
扇形的面积
圆锥的侧面积和全面积
要点、考点聚焦
1.本课时重点是垂径定理及其推论，圆心角、 圆周角、弦心距、弧之间的关系.
2.圆的定义 (1)是通过旋转. (2)是到定点的距离等于定长的点的集合.
3.点和圆的位置关系(圆心到点的距离为d) (1)点在圆上 d=r. (2)点在圆内 d＜r. (3)点在圆外 d＞r.
O
．
．
C
．
B
．
A
三边垂直平分线的交点.
．
O
A
B
C
三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
等边三角形的外心与内心重合.
特别的:
内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.
O
A
B
C
D
基础题：
1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是______. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 则此三角形的周长是_______. 3.⊙O边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,E、F切⊙O 于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_____.
C
01
单击此处添加大标题内容
B
C
如图所示，矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E，DE＝1cm,EF=3cm,则AB＝ cm。
01
单击此处添加大标题内容
D
C D
A B
C
C D
A B
第29章 圆知识体系复习(一)
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
圆的有关概念及性质
本章知识结构图
圆的基本性质
圆
圆的对称性
弧、弦圆心角之间的关系
同弧上的圆周角与圆心角的关系
与圆有关的位置关系
正多边形和圆
有关圆的计算
点和圆的位置关系
切线
直线和圆的位置关系