连续性随机变量及其概率分布
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f x 在
μ σ, μ σ上
凸.
6
f (x) 以 x 轴为渐近线. 当 x→ +∞时，f (x) → 0, 当 x→ －∞时，f (x) → 0.
O
x
请问：综上，正态分布的图形是什么样子的？
25
请问：参数变化时，图像会如何变化？
26
f ( x)
1 e 2
( x )2 2 2
4. 标准正态分布(Standard Normal Distribution)
0, 1 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 ( x )和Φ( x )表示：
( x)
dt , x .
φ x 1 e 2π
x2 2
, x
, x
若固定σ的值而μ 变化时, 则密度曲线的形状不变 , 它沿着 x 轴方向平行移动．
正态分布 N ( , ) 的图形特点
2
若固定μ的值而σ变化时， 则密度曲线的位置不变，而其形状将改变， 当σ 大时曲线平缓，当σ 小时曲线陡峭．
决定了图形的中心位置, 决定了图形中峰的陡峭程度.
t2 2
Φ x
1 2π
x
e
(x )
dt , x
Φ 0 1 2
32
31
5. 一般正态分布的标准化 定理1 若 X ~ N , 2 , 则 Z
于是
X ~ N , 2
x x FX x P X x P Z Φ
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3
这是什么曲线? ? 这是什么曲线 这是什么曲线?
x 4 5 6 7 8
29
30
2014/10/22
3. 正态分布的分布函数
设 X N ( , 2 )，则 X 的分布函数是
F x
x 1 e 2 πσ ( t μ )2 2σ 2
( x μ )2 2σ 2
, x
关于 , 对称 关于 x 对称, 对称, 中间高, , 两边低, , 中间高 两边低 中间高, 两边低, 样子像座“ “钟”. 样子像座 样子像座“钟”.
f ( x)
5
x = μ σ 为 f (x) 的两个拐点的横坐标； f x 在 ( , μ σ ] [ μ σ , ) 上 凹，
0
0 x3 3 x4 其它
3
3
4
4
x
(1) 由 f ( x)dx 1得
3 4
2 dx 1 kxdx 2
0 3
x
kx 2 x2 1 2 x 2 0 4 3
得k
1 6
(2) 分布函数
x
F x
x
f (x)
3 对于任意实数 a , b ( a< b ), P {a X b } F (b ) F ( a ) a f ( x )dx
b
面积 为1
o
x
利用概率密度可确定随机 点落在某个范围内的概率
注意:
(1) 连续型 r.v.取任一指定实数值a 的概率均为0. 即 P X a 0 . 因为 0 P X a P a x X a F a F a x 当 x 0 时, 得到 P X a 0 . 由P(A)=0, 不能推出 A 由P(B)=1, 不能推出 B=S (2) 对连续型 r.v. X , 有
27 28
2. 正态分布的实际背景
大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的. 例如，成年人的身高、体重、血压、视力、智商等； 各种测量的误差；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度；热噪声电流强度； 一个班的某门课程的考试成绩； 一个地区的日耗电量； 一个地区的家庭年收入…
cl
b 则称X在区间(a, b)上服从均匀分布， 记作 X ～ U (a , b )
均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五入， 小数点后某一位小数引入的误差； 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间， 即乘客的候车时间等。
a
P c X c l
c
1 l dx ba ba
三、三种重要的连续型随机变量
1. 均匀分布(The Uniform Distribution) 若 r .v. X的概率密度为：
1 , a xb f ( x) b a 其它 0,
1 ba
f ( x)
若X ~ U (a , b ), 1 对于长度为 l 的区间(c , c l ), a c c l b , 有
15
10
30 1 1 1 dx dx 25 30 30 3
记 作 X ～ e( λ) 或 E ( λ )
指数分布常用于各种 “寿命”分布的近似， 例如，电子元件的寿命，轮胎的寿命，电话的通话时间等。
即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
2014/10/22
若X 服从参数为 λ 的指数分布, 则其分布函数为
1 , 0 x 30 f ( x ) 30 其它 0,
从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站， 为使候车时间X少于 5 分钟, 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间, 或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 所求概率为：
f t dt , x
即分布函数 x0 0, 2 x , 0 x3 12 F ( x) 2 3 2 x x , 3 x 4 4 1 , x4
x 0, 0dt x t 0 0dt dt , 0 x 3, 0 6 F ( x) 0 3 t t 2 dt , 3 x 4, 0dt 0 6 dt 2 0 3t 4 x t 2 dt 0dt , x 4. 0dt 0 6 dt 3 4 2
2 . 指数分布(The (Negative) Exponential Distribution) 若 r .v. X具有概率密度
λe λx , x 0, f x 其它, 0,
其中 λ 0 为常数, 则称 X 服从参数为 λ 的指数分布.
P{10 X 15} P{25 X 30}
P (a X b ) P (a X b ) P (a X b ) P (a X b )
2014/10/22
4 若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有
F ( x ) f ( x ).
由定义,密度函数 f (x)在个别点的函数值不影响分布函 数F(x)的取值，故 f (x) 在个别点的函数值可以随意确定。 因此由 F ( x ) f ( x )求 f (x)，无需考虑分段点。
解：X的概率密度为
x 1 1000 e , f x 1000 0,
x 0, x 0.
于是PX 1000
1000
f x dx e
1
各元件的寿命是否超过1000小时是独立的，因此 3个元件使用1000小时都未损坏的概率为 e 3，从 而至少有一个已损坏的概率为 1 e3．
1 e 2
( x )2 2 2
, x ,
其中 和 ( >0 )都是常数, 则称X服从参数为 和σ 2 的正态分布或高斯分布. 记作
2 f x dx 1; 3 曲线 f ( x ) 关于 x 对称； f ( x ) 4 函数 f x 在 ( , μ] 上 单调增加,
例1 设随机变量X具有概率密度 0 x3 kx , x f ( x ) 2 , 3 x4 2 其它 0, （1）确定常数k （ ; 2）求X的分布函数F ( x )； 7 （3）求P 1 X 2
解
kx , x f ( x ) 2 , 2 0,
2 X的分布函数为：
0, F ( x ) P X x x a , ba 1,
x a, a x b, x b.
例2 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车， 即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀 随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率. 解 以7:00为起点0，以分钟为单位 依题意， X ～ U ( 0, 30 )
22
3. 正态分布 (The Normal (Gaussian) Distribution)
若连续型 r .v. X 的概率密度为
1. f x 的性质
1 f x 0 ;
f ( x)
1 e 2
( x )2 2 2
, x
f ( x)
2014/10/22
一、连续型随机变量及其概率密度函数
(Continuous Random Variable) (Probability Density Function)
Байду номын сангаас
第四节 连续型随机变量及其 概率密度
对于随机变量 X 的分布函数 F (x) , 如果存在非 负可积函数 f (x) , 使得对任意实数x , 有
F x
x
f t dt P X x
则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度函数, 简称为概率密度 . 连续型随机变量的分布函数在 R 上连续
二、概率密度函数的性质
1o 2o
f ( x) 0
f ( x)dx 1
这两条性质是判定一个 函数 f (x)是否为某 r.v. X 的 概率密度的充要条件
标准正态分布表
X ~ N 0,1 .
书末附有标准正态分布函数数值表，有了它， 可以解决一般正态分布的概率计算查表.
1 e x , F ( x ) P X x 0,
F x
x
x0 其它
f t dt
x x
当 x 0 时, F x f t dt 0dt
λt 当 x 0 时, F x f t dt 0dt 0 λe dt
x
0
x
e λt d λt e λt d λt e λt 0
x
x
0
0 x
x
0
x
x
大家听说过“正态分布”吗？
例3 已知某种电子元件寿命X (单位：h)服从参数 1/1000的指数分布, 求3个这样的元件使用1000
小时至少有一个已损坏的概率。
在 [ μ, ) 上 单调减少, 在 x μ 取得最大值 f ( x ) xμ f x 2 f ( x ) , x σ
f ( x)
X ～ N(μ, σ2).
23
1 . 2 πσ
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f x
( x μ )2 σ 2 e 2πσ 3
x 3
x
0
x
3
x 4 x
x
1 6 x, x f ( x ) 2 , 2 0,
0 x3 3 x 4 其它
7 7 41 （3）P 1 X F F 1 2 48 2
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μ σ, μ σ上
凸.
6
f (x) 以 x 轴为渐近线. 当 x→ +∞时，f (x) → 0, 当 x→ －∞时，f (x) → 0.
O
x
请问：综上，正态分布的图形是什么样子的？
25
请问：参数变化时，图像会如何变化？
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f ( x)
1 e 2
( x )2 2 2
4. 标准正态分布(Standard Normal Distribution)
0, 1 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 ( x )和Φ( x )表示：
( x)
dt , x .
φ x 1 e 2π
x2 2
, x
, x
若固定σ的值而μ 变化时, 则密度曲线的形状不变 , 它沿着 x 轴方向平行移动．
正态分布 N ( , ) 的图形特点
2
若固定μ的值而σ变化时， 则密度曲线的位置不变，而其形状将改变， 当σ 大时曲线平缓，当σ 小时曲线陡峭．
决定了图形的中心位置, 决定了图形中峰的陡峭程度.
t2 2
Φ x
1 2π
x
e
(x )
dt , x
Φ 0 1 2
32
31
5. 一般正态分布的标准化 定理1 若 X ~ N , 2 , 则 Z
于是
X ~ N , 2
x x FX x P X x P Z Φ
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3
这是什么曲线? ? 这是什么曲线 这是什么曲线?
x 4 5 6 7 8
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3. 正态分布的分布函数
设 X N ( , 2 )，则 X 的分布函数是
F x
x 1 e 2 πσ ( t μ )2 2σ 2
( x μ )2 2σ 2
, x
关于 , 对称 关于 x 对称, 对称, 中间高, , 两边低, , 中间高 两边低 中间高, 两边低, 样子像座“ “钟”. 样子像座 样子像座“钟”.
f ( x)
5
x = μ σ 为 f (x) 的两个拐点的横坐标； f x 在 ( , μ σ ] [ μ σ , ) 上 凹，
0
0 x3 3 x4 其它
3
3
4
4
x
(1) 由 f ( x)dx 1得
3 4
2 dx 1 kxdx 2
0 3
x
kx 2 x2 1 2 x 2 0 4 3
得k
1 6
(2) 分布函数
x
F x
x
f (x)
3 对于任意实数 a , b ( a< b ), P {a X b } F (b ) F ( a ) a f ( x )dx
b
面积 为1
o
x
利用概率密度可确定随机 点落在某个范围内的概率
注意:
(1) 连续型 r.v.取任一指定实数值a 的概率均为0. 即 P X a 0 . 因为 0 P X a P a x X a F a F a x 当 x 0 时, 得到 P X a 0 . 由P(A)=0, 不能推出 A 由P(B)=1, 不能推出 B=S (2) 对连续型 r.v. X , 有
27 28
2. 正态分布的实际背景
大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的. 例如，成年人的身高、体重、血压、视力、智商等； 各种测量的误差；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度；热噪声电流强度； 一个班的某门课程的考试成绩； 一个地区的日耗电量； 一个地区的家庭年收入…
cl
b 则称X在区间(a, b)上服从均匀分布， 记作 X ～ U (a , b )
均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五入， 小数点后某一位小数引入的误差； 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间， 即乘客的候车时间等。
a
P c X c l
c
1 l dx ba ba
三、三种重要的连续型随机变量
1. 均匀分布(The Uniform Distribution) 若 r .v. X的概率密度为：
1 , a xb f ( x) b a 其它 0,
1 ba
f ( x)
若X ~ U (a , b ), 1 对于长度为 l 的区间(c , c l ), a c c l b , 有
15
10
30 1 1 1 dx dx 25 30 30 3
记 作 X ～ e( λ) 或 E ( λ )
指数分布常用于各种 “寿命”分布的近似， 例如，电子元件的寿命，轮胎的寿命，电话的通话时间等。
即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
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若X 服从参数为 λ 的指数分布, 则其分布函数为
1 , 0 x 30 f ( x ) 30 其它 0,
从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站， 为使候车时间X少于 5 分钟, 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间, 或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 所求概率为：
f t dt , x
即分布函数 x0 0, 2 x , 0 x3 12 F ( x) 2 3 2 x x , 3 x 4 4 1 , x4
x 0, 0dt x t 0 0dt dt , 0 x 3, 0 6 F ( x) 0 3 t t 2 dt , 3 x 4, 0dt 0 6 dt 2 0 3t 4 x t 2 dt 0dt , x 4. 0dt 0 6 dt 3 4 2
2 . 指数分布(The (Negative) Exponential Distribution) 若 r .v. X具有概率密度
λe λx , x 0, f x 其它, 0,
其中 λ 0 为常数, 则称 X 服从参数为 λ 的指数分布.
P{10 X 15} P{25 X 30}
P (a X b ) P (a X b ) P (a X b ) P (a X b )
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4 若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有
F ( x ) f ( x ).
由定义,密度函数 f (x)在个别点的函数值不影响分布函 数F(x)的取值，故 f (x) 在个别点的函数值可以随意确定。 因此由 F ( x ) f ( x )求 f (x)，无需考虑分段点。
解：X的概率密度为
x 1 1000 e , f x 1000 0,
x 0, x 0.
于是PX 1000
1000
f x dx e
1
各元件的寿命是否超过1000小时是独立的，因此 3个元件使用1000小时都未损坏的概率为 e 3，从 而至少有一个已损坏的概率为 1 e3．
1 e 2
( x )2 2 2
, x ,
其中 和 ( >0 )都是常数, 则称X服从参数为 和σ 2 的正态分布或高斯分布. 记作
2 f x dx 1; 3 曲线 f ( x ) 关于 x 对称； f ( x ) 4 函数 f x 在 ( , μ] 上 单调增加,
例1 设随机变量X具有概率密度 0 x3 kx , x f ( x ) 2 , 3 x4 2 其它 0, （1）确定常数k （ ; 2）求X的分布函数F ( x )； 7 （3）求P 1 X 2
解
kx , x f ( x ) 2 , 2 0,
2 X的分布函数为：
0, F ( x ) P X x x a , ba 1,
x a, a x b, x b.
例2 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车， 即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀 随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率. 解 以7:00为起点0，以分钟为单位 依题意， X ～ U ( 0, 30 )
22
3. 正态分布 (The Normal (Gaussian) Distribution)
若连续型 r .v. X 的概率密度为
1. f x 的性质
1 f x 0 ;
f ( x)
1 e 2
( x )2 2 2
, x
f ( x)
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一、连续型随机变量及其概率密度函数
(Continuous Random Variable) (Probability Density Function)
Байду номын сангаас
第四节 连续型随机变量及其 概率密度
对于随机变量 X 的分布函数 F (x) , 如果存在非 负可积函数 f (x) , 使得对任意实数x , 有
F x
x
f t dt P X x
则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度函数, 简称为概率密度 . 连续型随机变量的分布函数在 R 上连续
二、概率密度函数的性质
1o 2o
f ( x) 0
f ( x)dx 1
这两条性质是判定一个 函数 f (x)是否为某 r.v. X 的 概率密度的充要条件
标准正态分布表
X ~ N 0,1 .
书末附有标准正态分布函数数值表，有了它， 可以解决一般正态分布的概率计算查表.
1 e x , F ( x ) P X x 0,
F x
x
x0 其它
f t dt
x x
当 x 0 时, F x f t dt 0dt
λt 当 x 0 时, F x f t dt 0dt 0 λe dt
x
0
x
e λt d λt e λt d λt e λt 0
x
x
0
0 x
x
0
x
x
大家听说过“正态分布”吗？
例3 已知某种电子元件寿命X (单位：h)服从参数 1/1000的指数分布, 求3个这样的元件使用1000
小时至少有一个已损坏的概率。
在 [ μ, ) 上 单调减少, 在 x μ 取得最大值 f ( x ) xμ f x 2 f ( x ) , x σ
f ( x)
X ～ N(μ, σ2).
23
1 . 2 πσ
24
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f x
( x μ )2 σ 2 e 2πσ 3
x 3
x
0
x
3
x 4 x
x
1 6 x, x f ( x ) 2 , 2 0,
0 x3 3 x 4 其它
7 7 41 （3）P 1 X F F 1 2 48 2
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