美国国家经济研究局工作论文系列

美国国家经济研究局工作论文系列
简单的内生增长模型视角下的政府支出
Robert J. Barro
工作论文编号：2588
这项研究受到了美国国家科学基金会的支持。

在布朗大学和佛罗里达大学的美国国家经济研究局会议上的讨论让我受益匪浅，本文是为1988年5月在纽约州立大学布法罗分校举办的“发展问题”会议上演讲所准备的。

这篇研究报告是美国国家经济研究局有关经济波动研究项目的一部分。

本文观点均来自与作者，与国家经济研究局无关。

简单的内生增长模型视角下的政府支出
摘要：我在现有的内生增长模型中加入一个政府部门。

生产包括私人资本（广义上的）和公共服务。

当两者结合时，具有规模报酬不变的性质，但是当二者分开时，回报递减。

公共服务是靠固定费率所得税筹资的。

经济增长率和储蓄率随着在国民生产总值和g/y上富有成效的政府支出比率的增长而增长，但是每一个比率最终都会达到峰值，然后回落。

如果是一个公共服务指数表达的柯布-道格拉斯生产函数形式，那么这个值g/y=a，最大化的增长率，同时也使消费者效用最大化。

所得税失真意味着分散均衡并不是帕累托最优的，特别是从社会角度来看，增长率和储蓄率太低。

在最优指令下，增长率和储蓄率会更高，但是g/y=a被证明是这种规模下政府的最好选择。

最优指令可以通过选择支出比例来维持，即g/y=a，然后将定额税支出进行融资。

如果生产性支出占比，g/y，是随即抽取的，那么这个模型将预测g/y和经济长期增长率以及储蓄率的非单调关系。

然而，为了优化政府，这个模型预测g/y和增长率及储蓄率存在反比关系。

最近的经济增长模型可以生成一种不依赖于外部技术和人口变化的长期增长。

一些模型相当于技术进步理论（Rower，1986），其他的比如人口变化理论（Becker and Barro，1988）。

这些模型的一般特征是在那些可以加总的因素情况下存在收益不变或者收益递增的现象。

关于内生经济增长的一线文献关注投资分散情况下私人和社会的回报模型，这样分散的选择会导致次优的储蓄率和经济增长率（Romer，1986）。

在这种设定下，私人的规模收益可能会减少，但是反映知识的溢出效应或者其他外部性的部门回报可能会保持不变或者增加。

另一个研究方向包括没有外部性的模型，私下决定的有关储蓄率和增长率的选择是帕累托最优的（Renelo，1987）。

这些模型依赖于私人资本的收益不变，广义上的定义包括人力资本和非人力资本。

刚刚的分析建立在这篇文献的两个方面，合并一个公共部门，报酬不变的经济增长模型。

因为熟悉的外部性与公共支出和税收相关,私下决定储蓄和经济增长的值变成了次优的。

因此这里有一些关于政府政策的有趣选择，以及关于政府规模，储蓄率和经济增长的速度之间关系的实证预测。

1.家庭优化的增长模型
作为背景我以一个简明的关于最有增长模型的描述作为开始，来自于Ramsey (1928), Cass (1965), and Koopmans (1965). 这种代表是，无限生命的家庭寻找整体效用最大化，正如所给的，
（1）()-t
0U=u c e dt ρ∞⎰ C 代表消费，ρ大于0是持续时间偏好率，人口，对应于消费者的数量，是不变的。

我用等弹性的效用函数，即
（2）()1-c -1u c =10
σσσ⎡⎤⎣⎦->
每一个家庭生产者被包括到生产函数内部。

（3）()y f k =
Y 是单位工人的产出，k 是人均资本。

我将()y f k =解释为净产出。

生产函数满足通常的属性，包括正的边际产出（f ’>0），边际生产力递减（f ’’<0）以及限制条件，f ’(0)=∞,f ’(∞)≤0
没有技术进步，从这个意义上讲，函数F 是时间不变的。

在经济封闭的情况下，净产出不是用于消费就是用于投资。

工人数量等于家庭人数，每个工人工作一个单位的时间。

那就说，我抽象化了劳动和休闲的选择。

众所周知，最大化代表家庭的总体效用在（1）中意味着消费增长率在每个时间点上是由
（4）()1.c f c ρσ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭
给定的。

因为我忽略了来自于技术进步和人口变化导致的外生增长这两个标准。

这个模型具有资本，k*，和消费，c*的稳态水平。

数值K*是由方程（3）通过条件f ’(k*)=ρ决定的。

因为在稳态水平的时候净投资是0，稳态水平下的消费是c*=f(K*).
最近的内生增长模型是以Rebelo(1987)为代表的，通过收益不变替代收益递减（f ”<0），从而偏离了正常的框架。

目前的设定下，只有一种资本货物 ，具有资本收益不变的修改过的生产函数是
（5）y Ak =
A>0表示资本边际净产出不变。

当资本被认为广泛的涵盖人力和非人力的资本时，收益不变的假定变得更为合理。

人力投资包括教育和培训，以及包括抚养子女的花费。

实际上，一个家庭可以通过改善现有成员的素质或者决定拥有更多地成员进行人力资本的投资。

在任何情况下，当广泛定义的资本所带来的收益不能精确恒定时，很难说为什么经济学家解释资本时排除劳动投入。

看起来劳务和资本服务一样依赖于先前的投资决定。

当然，人力和非人力资本并不需要完美的替代品。

因此当两种资本相结合的时候生产可能表现出规模收益大致不变的现象，以及两者分离时，收益递减的现象。

“AK ”生产函数显示方程（5）可以改为区分两种形式资本的情况，同时该模型可以被扩展，沿着Lucas (1988) and Rebelo （1987）的思路，考虑进入分别生产物质资本和人力资本的部门。

和“AK ”模型比较，主要的额外结果涉及到转移动态效应即一个经济体从任意的物质人力资本比率开始移动到稳态的比率。

这种转移对于分析各个国家如何从不同的初始条件开始---可能是受到如二战的重大干扰—收敛到相似的经济水平具有特别重要的意义。

然而，对于研究稳态增长来说，重要的因素是规模报酬不变在那些可积累的因素中—那就是说，这两种形式的资本合起来—
同时不是这些因素之间的区别。

因为在本文中我的主要兴趣是关注长期增长，我决定用最简单的规模收益不变的生产函数，如在（5）中给出的“AK ”函数。

分析中一定要假定固定因素不至于导致显著的偏离恒定收益。

即使存在土地和其他自然资源，结果可能通过，只要可再生资本能很好的替代这些固定因素。

或者，可能是固定因素最终被约束一直到变量因素达到很高的水平。

在大范围的积累中，当变量因素中的规模报酬几乎是常数时，那么现在的分析可能是一个很好的近似。

资本的概念包括通过在研究和发展上的投入积累而来的知识，只要这些知识是私人财产。

Romero （1986）已经探讨过具有非排他和非竞争性的知识所带来的经济增长问题。

我关于政府的研究作为经济增长的一个因素已经被证明和Romer 分析的一些方面相互平行。

（5）中的生产函数意味着f ’=A 。

带入到（4）中，然后得出，
（6）()()1.c r A c
σρ==-- 在这里我用了符号γ来表示增长率。

我假定技术水平足够高以保证一个正的稳态增长，但不足以保证无限效用。

与此相应的不等条件为
（7） A ＞ρ＞A （1-σ）
第一部分表示在方程（6）中γ＞0。

如果A ＞0，ρ＞0，且σ≥1，那么第二部分就自然成立，且能保证可获得的效用是有限的。

在这个模型中，经济体总是处于稳态增长的状态，且其中的所有变量——c 、k 和y ——都以方程（6）中的速率γ增长。

给定一个初始资产储备k （0），所有变量的水平也就决定了。

特别地，由于净投资等于γk ，消费的初始水平为
（8） c （0）=k （0）·（A-γ）
这个模型是一个内生增长理论，技术和偏好的相关参数的变化会反映在增长率的不同上。

由方程（6）可知，如果一个经济体生产力更强（即有更高的A ），增长率γ会更高；如果人们有更少的耐心（即更高的ρ）或者有更少的跨期替代意愿（即更高的σ），增长率γ会更低。

2.公共部门
这篇论文的贡献在于通过合并一个公共部门来修改了上述分析。

令g 为提供给每个家庭生产者的公共服务的数量，并假定这些服务的提供是不向使用者收取费用的，且不受拥挤效应的影响（这种效应有可能在高速路或者其他公共服务上出现）。

也就是说，这一模型是从与公共服务的使用相关的外部性上抽象出来的。

我最初将公共服务设定为对私人产出的投入。

正是这一产出角色创造了政府和增长之间潜在的正相关关系。

现在假定产出对k 和g 共同表现出规模收益不变，但对k 单独表现出规模收益递减。

也就是说，如果政府（补充的）投入并没以相应的方式扩张，即便对于私人资产定义宽泛，私人投入也会呈现规模收益递减。

在最近的一个实证研究中，Adchauer （1988）认为政府基础设施服务在这一背景下尤其重要。

现假定一个柯布道格拉斯生产函数，
（10） y=f （k ，g ）=Ak 1-αg α 其中，0＜α＜1.
在方程（9）中，k 是典型生产者的资产数量，且对应于人均总资本量。

假定g 可以被人均政府采购货物和服务的数量相应地度量。

首先，公共服务流量不需要与政府购买对应，尤其是当政府拥有资本且在衡量当前购买中国民核算遗漏了公共资本里的估算租赁收入。

这
一问题对于在实证上实现这一模型非常重要。

但从概念上说，考虑政府不生产或不拥有资本是合意的。

其次，政府仅仅从私人部门购买输出流量（包括高速公路、下水道、战舰等的服务）。

这些购买来的服务（政府都使其可被家庭获得）对应于某一输入，这一输入对于方程
（9）中的私人产出较为重要。

只要政府和私人部门拥有相同的生产函数，那么结果可能会相同，如果政府购买私人输入并进行生产，而非如我所假定的仅仅从私人部门购买最终产出。

如果公共服务对于使用者来说是非竞争性的（这一点对于空间计划而言确实如此），第二个问题就产生了。

这时对于每个个体而言更重要的不是人均资本数量，而是政府购买总量。

众所周知（至少从萨缪尔森（1954）那时候起），这一因素对于决定合意的政府活动规模是重要的。

然而，本分析可以在不改变所产生的结果的性质的情况下被修改，以包含这方面的公共性。

政府支出可以被固定费率的所得税同时提供，
（10） g=T=τy=τAk 1-αg α
其中，T 是政府税收，τ是税率。

家庭数量已被标准化至单位数量，因此g 对应总支出，T 对应总收入。

公共服务的流量不需与政府购买完全一致，尤其时当政府拥有资本并且在国民经济核算衡量目前购买的时候，省略公共资本设算租金收入（inputed rental income ）。

这对于模型的实证检验很重要。

但是在概念上我们可以假定政府不参与生产和不拥有资本。

然后，政府只是购买来自私营部门的输出流（a flow of input ）（包括公路，下水道，战舰等服务）。

这些政府购买的提供给家庭的服务，在等式（9）中与关系到私人生产投入相联系。

只要政府和私营部门有相同的生产功能，那么如果政府购买私人投入然后自己生产的，与只购买来自私营部门的最终输出，其结果将是相同的，真如我所假设的一样。

第二个问题是，如果公共服务对于使用者来说时非竞争性的（如：太空项目）。

然后，它是总的政府购买，而不是与每个个体相关的人均占有量。

众所周知，至少从萨缪尔森（1954）开始，这是用于确定所希望的政府活动规模的重要的元素。

然而，目前的分析可以进行修改以包括这方面的公共性而不改变所产生的结果的性质。

政府的开支时被扁平化税（划一税）调整后再进行的同期融资：
（10）
1-y=k g g T A ααττ== T 是政府收入，τ是税率,我已经统一归户的数量，使g 对应总支出、T 代表总收入。

生产函数方程（9）意味着资本的边际产量时现期的。

(11)k =-g f A αα（1）（/k)
需要注意k f 是使方程（9）中，g 不变，k 改变而变化得来的。

也就是说，具有代表性的生产者，假设在他的资本和输出的数量变化不会导致他的公共服务量的任何变化。

将g y τ=带入式（9）中并简化，得到：
(12)1/(1)/(1)y kA ααατ--=
因此，对于一个给定的开支的比例τ，y 与k 成比例，在AK 生产函数在公式（5）中，τ的增加意味着的公共输入的相对量增加，因此连接Ý与k 的系数也向上移动。

两个生产投入的比例是：
(13) ()1/(1)
/()/(/)(/)y k A g k g y y k αττ-===
y/k 的值来源于式（12），将（13）代入（11）中得：
（14）1/(1)(/1)(1)k A f αααατ--=-
因此，支出比例τ的增加意味着资本边际产出k f 的增加。

私人优化仍然会导致消费路径满足方程（4），除了f ’被私人资本的边际收益所替代，由于扁平化的收入税τ的存在，这个收益为(1)k f τ-。

用（14）替代
k f ，得到现期消费增长率为： （15）()()()()()1/1/1/1/11C C A ααασαττρϒ=∙--⎡⎤=---⎣⎦
只要τ是常数，政府使g 和T 以y 的速度同比率增长——增长率时常数。

因此和之前分析的“AK ”模型的动态是相同的 。

消费的初始值为c(0), 然后以恒定的速率r 增长。

同样，K 和y 的初始值为k （0）和y （0），然后以恒定的速率r 增长。

经济有无过渡的动态（no transitional dynamics ），并始终处于稳步增长的状态，其中数量增长率r 如式（15）所示。

给定资本的初始量k(0),其他所有变量的水平才被决定。

特别地，初始的消费量为：
（16）()1/(1/(1(0)(0)1C k A r α)αα)ττ--⎡⎤=--⎣⎦
r 是式（15）中给定的，（16）式中括号内第一项对应的是y(0)-g(0),第二项对应的是投资的初始量(0)k ∙。

图1展示了，增长率r 与支出和税率τ之间的关系。

更高的支出比率使得k f （14）升高，进而使得r （15）升高。

然而，较高的税率意味着人们保留税前收入的较小的部分，1τ-，这往往减少了r 。

在τ值较低的水平上，第一力占主导地位，并创建一个τ和r 的净正效应。

（式（9）中所展示的CD 函数暗示着无政府状态是很非生产性的（unproductive ））然而，对于足够高的τ来说，第二力量占主导地位，因此形成了τ和r 之间的净负效应。

由于τ接近0或1，因此（15）式中的增长率同样接近于一个消极的值：/ρσ-
增长率r 是正的，在范围τ内，经济相对于时间偏好有充分的生产力。

维持一个正的增长率的条件是（通过一般化AK 模型中A >ρ的条件得来）：()()()2/11/11A αααραα-->- 如以前一样，我假定经济没有那么能生产以至于允许所获得的效用变得无限，这里的条件是
()()()()2/11/111A αααρ>σαα----。

“AK”的模式中， 如果A>0,ρ>0和1σ≥，则后
面的条件必须持有。

式（15）表示，最大化r 与最大化这个表达()()/11ααττ--是相同的。

结果是τα=。

粗略地讲,最大限度的增长速度，政府会将其所占国民生产总值，τ= g/ y ，等于股份，它会得到公共服务是具有竞争力的生产投入。

需要注意的是,最大化r 得到的τ值，只依赖生产参数，α，而不依赖对偏好的参数，ρ和σ。

（这种独立性遵循任何报酬不变的生产函数，不依赖于CD 形式。

）
储蓄率（净额）为：
（17）()()1/1/1/(/)(/)k y k k k y rA s α-αατ∙∙
---=== k/y 由（12）得出，r 由（15）得出，图2中的曲线时关于s 和r 的曲线。

因为k/y 随着τ的下降而下降，储蓄率在增长率之前达到峰值。

在τ值小于a 的时候，可以最大化s 。

回想一下，储蓄和投资比平常更广泛的概念，因为他们在这个模型中包括人力资本积累（包括增加人口的存量）。

另一方面，净产品，净投资和净储蓄都由于人力资本的股票贬值而减少。

据推测，政府没有理由向最大化r ，s 每se （s per se ）。

一个仁慈的政府，在这个模型中的合适的目标是使代表家性庭的效用达到最大化。

由于经济始终处于稳步增长的状态，它是直截了当的把所达到效用视为τ的函数，只要τ一直是常数 。

在r 是常数时，方程（1）中的积分可以被简化，得到（除了常数），
（18）()()()1011C r U σσρσ-⎡⎤⎣⎦⎡⎤---⎣⎦
= 条件是：效用时有界的，如之前提到的，要保证()1r ρ>σ-。

式（15）和（16）分别决定了r 和C （0），作为τ的函数。

因此，这些公式可用于通过最大化（18）中的U 从而确定 τ的值 。

从性质的结果看出方程（15）和（16）意味着是C （0）可作为τ的函数（其中τ是分开出现的）。

（19）()()()00/1r 1k C αρσ⎡⎤⎡⎤=-∙++α-⎣⎦⎣⎦
代入式（18）产生U 和r 的关系
（20）()()()1r 111r U σρσσρσ-⎡⎤++α-⎣⎦⎡⎤---⎣⎦=
从此式可以看出，对于任何0,01σ<<α<，r 对U 的效用是正的，只要效用是有界的。

(此式遵循了：即使r 增长了，c(0)也不会改变)。

因此，U 的最大化与r 的最大化相对应，它遵循了τ=α是使得效用达到最大化的税率。

3. 政府规划问题
τ=α这一结果是政策问题的次优解决方案。

由于公共支出和税收所暗含的常见的外部性，储蓄的分散化选择被证明会导致非帕累托最优的产出。

事实上，对帕累托最优的背离与罗默（1986）增长模型中的背离相类似，后者建立在公共产品的本质是个人创造的知识这一基础之上。

在本模型中，估算外部效应的最简单的方式是比较分散化产出和那些来自于规划问题中的分散化产出。

假设政府选定了一个不变的支出比率τ，且能够规定每个家庭对于消费的选择。

给定τ的值，政府选择能使代表性家庭可获得的效用达到最大化的消费路径，其中效用的表达式再一次由方程（1）和（2）给出。

消费计划增长率的产生条件如下：
（21） 1111()[(1)]p c A c αααγττ
ρσ--==⋅⋅-⋅- 在方程（15）中，括号内减号左侧的表达式是私人资本的边际报酬，（1-τ）f k 。

与此相反，方程（21）中的对应项是社会资本的边际报酬，并且已知支出比率假定不变。

方程（12）表明，在固定τ时，k 对y 的边际效应等于A 1/1-α·τα/1-α。

然而，为了维持τ，y 每增加
一单位，g 就必须增加τ单位。

由于g 的增长来自于当前产出，k 对y 的效应由（1-τ）来调整，以计算方程（21）中的社会资本净报酬。

因此，方程（15）中的私人选择和方程（21）中的规划方案之间的区别在于此前的（1-α）这一项的存在。

图3表明了τ是如何作用于计划增长率γp 和分散增长率γ的。

从方程（21）和方程（15）的比较中可以很清楚地看到，对于任意的τ，γp 都大于γ。

也就是说，分散选择对于增长的影响太小了（增长不足对应于过低的储蓄率——见图4中储蓄率的比较）。

此外，由于方程（21）和方程（15）之间的区别仅在于方程（21）少了一项（1-α），因而γp 相对于τ的
图像与γ相对于τ的图像的形状是一样的。

特别地，γp 的最大值也在税率τ=α时取得（τ=α这一结果是本文中几乎所有问题的答案）。

这直接表明，在采用分散情形中的程序之后，期望使代表性家庭所获得的效用达到最大化的决策者可能会选择能使增长率γp 最大化的τ的取值。

但这一使增长最大化的支出份额正是α的值。

因此，在两种情形下，政府会选择τ=α这一支出份额：其一，在一个分散化家庭的环境中使用所得税为政府支出融资；其二，政府有权力规定每一个家庭的储蓄行为。

在第一种情形中的增长率、储蓄率和效用水平均比第二种情形中的要低。

但GNP 中的政府最优份额两者相同。

因此，政府在两种情况下选择一个支出份额，τα=：第一，如果他通过收入税来资助那些分散化家庭的开支；第二，如果他有控制每个家庭消费行为的能力。

这时，增长率，储蓄率，以及获得的效用水平在第一种情况下都会小于第二种情况下的水平。

但政府在国民生产总值中的最优份额是一样的。

很容易考虑这个最优水平是否能通过在一个分散化家庭的环境下，用定额税（一次性总付的人头税）替换所得税来实现。

（在这个缺少劳动闲暇选择的模型中，消费税将与定额税等价。

）实行定额税，私人部门的资本边际收益是f(k)而不是（1-τ）f(k)。

因此，效用最大化的单个家庭将选择一个如下（22）的消费增长率，而不是像等式（15）那样，因此，在L γ与γ的不同之处在于括号中缺少（1-τ）。

（22） 1/(1)/(1)/(1/)[(1)A ]L c
c αααγσατρ--==-- Figure 5画出了L γ，γ和γp ，作为τ的函数。

正如在等式（22）中显而易见的，L γ在τ中单调递增。

这是因为一个更高的τ意味着更高的支出份额，导致了边际产品f(k)的增加。

在实行定额税环境下，家庭因而会选择更高的消费增长率水平（以及一个更高的储蓄水平——见Figure 6）。

通过比较（21）和（22）可以发现，γp 中包含（1-α），而L γ中包含（1-τ）。

在这一点上，τα=，正如前文显示的最优水平所要求的条件，使这两二者一致。

从Figure 5和Figure 6中可以看出，增长率，γp 和L γ，以及储蓄率，Sp 和SL ，在这一点上是相等的。

这些结论意味着，如果支出份额被设定在最优水平，τα=，定额税将有助于实现最优效用水平。

如果支出份额不处于最优水平，τ≠α，那么预期的消费方案——因不正确的τ选择而异——将不会与定额税下得出的结果相一致。

这个结果也表明所得税并不是这个模型中唯一的扭曲量。

我不确定其他的扭曲因素是否是在经济上有意义的，但我将解释这些是什么。

单个生产者计算边际产品，f(k)，并从政府那里得到固定数量的公共服务，g 。

这个假定对某些种类的公共服务来说是合适的，我将继续假定这在本文中也是恰当的。

（在另一些例子中，生产者产出或者财产的扩张将为其带来更多的公共服务，其中一个例子是警方保护卡。

）但是，如果政府预先设定了一个支出比率，τ，国民产出一个单位的增加将促使政府提高公共服务的总供给τ个单位。

这样，当单个生产者决定提高个人的k 和y ，他也间接地使政府增加总支出。

这种单个厂商的公共服务增加带来的效果（影响其生产函数），影响很小，因而可以忽略不计。

然而，这种情况又是正确的，当τ固定，单个厂商的提高一单位产出的决定将使政府购买增加τ个单位。

这种效应取决于政府规模是否是最优的。

如果是——也就是
=——政府支出的边际变化等于其成本。

说，达到这一点，使τα
如果是这样的话，那么名义上，在τ=α这点上，政府开支的一个边际变化相对于其成本来说就是刚好值得的。

因此扭曲就不存在并且就像前面所说的一样，定额税结果复制了之前所计划的最佳状态。

但是如果假设政府规模非常之大，也就死τ＞α，那么这种诱发的政府，支出规模的扩大有着负的外部性。

在这点考虑上，个人都有过多的激励去提高自己的产出。

特别是，在这个模型中，个人有过多的激励去储蓄。

所以，如果τ＞α，就会有图5中的Y L＞Y P，以及图六中的S L＞S P。

类似的，当政府规模太小的时候，也就是τ＜α，扩大个人产出的激励也太小了。

因此，在这种情况下，Y L＜Y P，S L＜S P,也就适用了。

图5和图6也对定额税（在这种情况下可以是消费税）和所得税做了比较。

在τ=α这一点上，定额税导致了命令最佳，所以优于消费税。

对于τ<α这种情况，定额税比所得税更接近命令最佳，所以定额税依然优于所得税。

但是对于τ>α这种情况，二者的比较就变得很模糊，因为定额税的选择Y L和S L, 太大了；而所得税的选择γ，s，太小了。

对于规模非常大的政府规模（就是τ远大于α），所得税所导致的结果可能优于定额税。

这是因为所得税并不是使个体生产者内部化上面所描述的扭曲的一种最佳方法。

在τ>α的情况下，人们有很强的增加另外一单位产出的激励，因为这会导致政府增加τ个单位的支出。

如果政府支出是无用的话，那么内部化这种扭曲的一个方法就是对个人收入征收税率为τ的个人所得税。

优于τ远高于其理想水平，α，政府支出的社会回报就是递减的，更准确地说，政府支出在边际上是没有价值的。

因此，这种情况下个人所得税就成为抵消负的外部性的一个方法。

所以图5中的γ值稳定地接近于γp值。

相似的，图6中随着τ接近1，s也收敛于s P。

4.政府消费服务
假设政府支出也为一些不进入家庭的生产函数的服务融资。

例如，政府可能提供一些直接进入家庭效用函数的服务。

我假设每个家庭的总支出是g+h，h代表政府的消费服务。

现在，每个家庭的效用函数就成为：
（23）
这里有0<β<1, 家庭的总效用仍然是被（1）式给定。

只是u(c, h) 代替了u(c)
这里我们依然假定固定所得税率，所以政府的预算约束为：
（24）
其中τg=g/y, 是政府用于生产性服务的支出占总支出的比重，τh=h/y，是政府用于消费性服务的支出占总支出的比重。

家庭关于消费和储蓄的分权化选择导致了增长率：
（25）
这个表达式直接地修改了（15）
（1-τg-τh）代替了1-τ，（τg）α/1-α代替τα/1-α，税率τh等于已存的能够减少私人储蓄和增长率选择的扭曲水平，图7的散点图展示了τh为正的时候，γh和τg之间的关系。

根据实线曲线，增长率都低于γ，如果τh。