高中数学第八章三角恒等变换8.2.2两角和与差的正弦、正切第1课时两角和与差的正弦教案新人教B版

第1课时 两角和与差的正弦

(教师独具内容)

课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.能运用两角和与差的正弦公式进行简单的恒等变换．

教学重点：两角和与差的正弦公式的推导过程及运用． 教学难点：两角和与差的正弦公式的灵活运用.

【知识导学】

知识点一 两角和与差的正弦公式

S α＋β：sin(α＋β)＝□

01sin αcos β＋cos αsin β； S α－β：sin(α－β)＝□

02sin αcos β－cos αsin β. 知识点二 有关点(向量)的一组旋转公式

已知点P (x ，y )，与原点的距离保持不变，绕原点逆时针旋转θ角到点P ′(x ′，y ′)，

则⎩⎨

⎧

x ′＝□01x cos θ－y sin θ，y ′＝□

02x sin θ＋y cos θ.

知识点三 函数y ＝a sin x ＋b cos x 的最值和周期

函数y ＝a sin x ＋b cos x 可化为y ＝a 2

＋b 2

sin(x ＋θ)的形式，其中cos θ＝□

01a

a 2＋

b 2

，

sin θ＝□

02b a 2

＋b

2

，最大值是□03 a 2＋b 2，最小值是□

04－a 2＋b 2

，周期是□052π. 【新知拓展】

1．公式C α±β与S α±β的联系

四个公式C α±β，S α±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为

cos(α－β)――→以－β换β

cos(α＋β)

sin(α＋β)――→

以－β换β

sin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式．

2．注意公式的结构特征和符号规律

(1)对于公式C α－β，C α＋β，可记为“同名相乘，符号反”． (2)对于公式S α－β，S α＋β，可记为“异名相乘，符号同”． 3．两角和与差的正弦公式中α，β的特征

α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．

4．应用两角和与差的正弦公式求值的一般思路

(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．

(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的正弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．

5．求形如a sin α＋b cos α的最值公式

公式a sin α＋b cos α＝a 2

＋b 2

sin(α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2

＋b 2

cos(α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为一个角的一种三角函数式．

6．三角函数化简求值的注意点

在三角函数化简求值时，要注意“三看”，即：(1)看角．把角尽量向特殊角或可计算的角转化，如果条件中的角不是单角．要把它看作一个整体，用它表达目标中的角；(2)看名称．把一道题中出现的三角函数名称尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦；(3)看式子．看式子是否满足三角函数的公式，如果满足直接运用，如果不满足，用诱导公式转化一下角或转换一下名称，然后再运用．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(α＋β)＝sin α＋sin β一定不成立．( )

(2)对任意实数α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β都成立．( ) (3)sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin30°.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做

(1)sin47°cos43°＋cos47°sin43°等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1

D.1

2

(2)已知θ为锐角，且sin θ＝3

5，则sin(θ＋45°)＝( )

A.72

10 B ．－7210

C.210

D ．－

210

(3)函数f (x )＝2sin x －cos x 的最大值为________． 答案 (1)B (2)A (3) 5

题型一 给角求值 例1 计算：

(1)cos285°cos15°－sin255°sin15°； (2)sin7°cos37°－sin83°cos307°；

(3)sin(x ＋60°)＋2sin(x －60°)－3cos(120°－x )．

[解] (1)原式＝cos(270°＋15°)cos15°－sin(270°－15°)sin15° ＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin(15°＋15°) ＝sin30°＝1

2

.

(2)原式＝sin7°cos37°－cos7°cos(270°＋37°) ＝sin7°cos37°－cos7°sin37°＝sin(7°－37°) ＝sin(－30°)＝－1

2

.

(3)原式＝sin x cos60°＋cos x sin60°＋2sin x cos60°－2cos x sin60°－3

cos120°cos x －3sin120°sin x

＝3sin x cos60°－cos x sin60°＋3cos60°cos x －3sin60°sin x ＝32sin x －32cos x ＋32cos x －3

2sin x ＝0. 金版点睛

解决给角求值问题的策略

解决此类问题一般是先用诱导公式把角化小，化切为弦，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特征，选择合适的公式进行求值．

注意角之间的关系，特别是与特殊角之间的关系是解题的关键． [跟踪训练1] 求值：sin47°－sin17°cos30°cos17°.

解 原式＝＋

－sin17°cos30°

cos17°

＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°

cos17°

＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝1

2

.

题型二 给值求值