第2讲 二次根式(一)概念与计算(word版)

第2讲 二次根式（一）概念与计算

【学习目标】

1．学习根式的概念性质

2．熟练掌握根式的化简技巧

3．巩固实数相关思路

【专题简介】

二次根式是新人教版大纲中八年级下学期内容，基础知识简单，衔接七下课内实数内容，但是相关专题中会涉及众多代数技巧，难度会陡然增大．

二次根式的概念和计算是历年中考必考内容，在中考中考查方式比较基础．但是在各类竞赛中，特别是全国初中数学竞赛中，二次根式的各类恒等变形技巧是考查重点，同时也是难点之一．

二次根式是初中代数的一个关键点，承接代数式的思路，同时为后面的一元二次方程做铺垫．学习的关键与其它代数问题类似，通过多练习多思考，深入对根式的理解，多接触恒等变形的问题，开拓巩固常用代数技巧．

【专题分类】

1．二次根式的基本概念与性质：

2．二次根式的运算：

3．分母有理化：

模块一 二次根式的基本概念和性质

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一、根式的相关概念

1．二次根式：形如)0(≥a a 的代数式叫做二次根式．

2．n 次根式：形如n

a 的代数式叫做n 次根式，其中若n 为偶数，则必须满足0≥a ．

3．最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含有能开方的因数或因式．

4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同 类二次根式．

5．设a ，b ，c ，d ，m 是有理数，且m 是无理数，则当且仅当c a =，d b =时，m d c m b a +=+．

二、二次根式的性质

1．a 的双重非负性：0≥a ，0≥a ． 2．)0()(2≥=a a a ；⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>==时，当时，当时，当00002a a a a a a a ．

基础夯实

1．根式有意义

（2）若式子2

31--x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．3≠x B ．3>x C ．3≥x 且7≠x D ．2≠x

（3）设12213

+-+-=

x x x y ，求使y 有意义的x 的取值范围．

2．最简二次根式 【例2】二次根式：6，a 21251，717，42+x ，221

b a a b -+，222n mn m ++中，最简二 次根式有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

3．同类二次根式

【例3】（1）已知最简根式b a a +2与b a -7是同类二次根式，则满足条件的a ，b 的值（ ）

A ．不存在

B ．有一组

C ．有两组

D ．多于两组

（2）在1，2，3，…，1999这1999个式子中，与2000是同类二次根式的共有多 少个？

4．根式性质

【例4】（1）a ，b ，c 为△ABC 的三边长，化简：222)()()(c a b c b a c b a -----+-+．

（2）实数a 在数轴上的位置如图所示，则22)11()4(-+-a a 化简后为（ ）

5．非负性

【例5】（1）（2012年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛吧初三）已知a ，b 是实数，且

01322=+-+-b a a ，则=a ，=b ．

（2）若053231491414222=+-+

++--+b a b a ab b a ，则a ，b 的值为 ．

【例6】已知x ，y 为实数，3

9922----=

x x x y ，求y x 65+．

【例7】若m 适合关系式y x y x m y x m y x --•+-=-++--+19919932253，试求m ．

【拓7.1】已知实数a 满足a a a =-+-20072006，求22006-a 的值．

【拓7.2】（1）已知a ，b 满足01)1(1=---+b b a ，求20092008a b -的值．

（2）已知实数a ，b 满足2)3(2422=-+++-b a b a ，则b a +等于 ．

【拓7.3】（1）求代数式21-+-+x x x 的最小值．

（2）当时1≥x ，不等式211--≥-++x m x x 恒成立，那么实数m 的最大值是 ．

【拓7.4】（2010全国联赛）若实数a ，b ，c 满足632=+b a ，c b a 694=-，则c 可能取的最

大值为 ．

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一、二次根式的运算法则：

对于二次根式的加减法则，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．

1．m b a m b m a )(±=±

2．)00(≥≥=⋅b a ab b a ，

3．)00(>≥=

b a b a b a

，

5．若0>>b a ，则b a >

二、二次根式的化简

将二次根式化为最简二次根式的方法：

设a ，b 为正整数，则

b a b a b a =⋅=22，b

ab b b b

a b a b a =⋅⋅==． 例：3232321222=⨯=⨯=，

5155

5535353=⨯⨯==．

基础夯实

强化挑战

【例9】（1）计算：)532)(532)(532)(532(++-++-++-．

（2）计算：1716)1132()1132(+-．

（3）计算：)3225)(65(-+．

【练9】（1）计算：22)5210()5210(+---+．

（2）计算：)1)(1)(1)(1(x x x x x x -+++-+．

（3）计算：2)303223)(532(+-+++．