2014届高三数学一轮必备高频题型全掌握22.数学方法分类与整合思想(全国通用)

【精选三年经典试题（数学）】2014届高三全程必备《高频题型全掌
握系列》22.数学方法：分类与整合
1.（上海模拟）对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，
k ＋12k＋1＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2k＋2＝k＋22＝(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )．
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，故推理错误．
答案 D
2.（大同调研）定义在R上的函数y＝f(x)满足f(4－x)＝f(x)，(x－2)·f′(x)<0，若x1<x2且x1＋x2>4，则 ( )．A．f(x1)<f(x2)
B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小不确定
解析∵f(4－x)＝f(x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，由(x－2)f′(x)<0可得函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，∴当x2>x1>2时，f(x1)>f(x2)；当x2>2>x1时，∵x1＋x2>4，∴x2>4－x1>2，∴f(4－x1)＝f(x1)>f(x2)，综上，f(x1)>f(x2)，故选B.
答案 B
3.（济南模拟）已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．
下列关于函数f(x)的命题：
①函数y＝f(x)是周期函数；
②函数f (x )在[0,2]上是减函数；
③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4；
④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点．
其中真命题的个数有
( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
解析 依题意得，函数f (x )不可能是周期函数，因此①不正确；当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在[0,2]上是减函数，②正确；当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，依题意，结合函数f (x )的可能图象形状分析可知，此时t 的最大值是5，因此③不正确；注意到f (2)的值不明确，结合图形分析可知，将函数f (x )的图象向下平移a (1<a <2)个单位后相应曲线与x 轴的交点个数不确定，因此④不正确．综上所述，选D.
答案 D
4.(2013·泰州模拟)设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间
( )． A ．(－1,0) B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(2,3) 解析 ∵f (x )＝e x ＋x －4，∴f ′(x )＝e x ＋1>0，∴函数f (x )在R 上单调递增．对于A 项，f (－
1)＝e －1＋(－1)－4＝－5＋e －1<0，f (0)＝－3<0，f (－1)f (0)>0，A 不正确，同理可验证B 、D 不正确．对于C 项，∵f (1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f (2)＝e 2＋2－4＝e 2－2>0，f (1)f (2)<0，故选C.
答案 C
5.(2013·石家庄期末)函数f (x )＝2x －2x
－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是 ( )．
A ．(1,3)
B ．(1,2)
C ．(0,3)
D ．(0,2)
解析 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3. 答案 C
6.(2011·山东)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 ( )．
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 解析 当0≤x <2时，令f (x )＝x 3－x ＝0，得x ＝0或x ＝1.
根据周期函数的性质，由f (x )的最小正周期为2，可知y ＝f (x )在[0,6)上有6个零点， 又f (6)＝f (3×2)＝f (0)＝0，
∴f (x )在[0,6]上与x 轴的交点个数为7.
答案 B
7.(2012·海南三亚二模)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n
－1(n ∈N ＋)”的过程中，
第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到( )
A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
2．选D 由条件知，左边是从20,21一直到2n－1都是连续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，而右边应为2k＋1－1.。