苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 分层作业 第3章 不等式 基本不等式的证明
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1
的最大值为()
C
A.3B.3 + 2 3C.3 − 2 3D.−1
[解析]因为 > ，所以
号成立，所以 −
−
+
≥
⋅
= ，当且仅当 =
≤ − ，即 = −
，即
− 的最大值为
=
时,等
− .故选C.
1
2
11.已知 > 0, > 0.若 + = 1，则的最小值为() D
+
= ++
≥
+⋅
成立，故B正确；对于C， =
+⋅
+
= ，由于
+
= ，当且仅当 + =
+ +
+=
+
,即
+
= 时,等号
≥
,即 + = 无解，所以等号不成立，
+
故C错误；
对于D， =
+=
A. 2B.2 2C.4D.8
[解析]由基本不等式可得
≤ + = ，整理得 ≥ ，当且仅当 = = ，即
= , = 时,等号成立.所以的最小值为8.故选D.
12.（多选题）下列不等式一定成立的是( BC )
A. 2
1
4
1
+ > ( > 0)B. + ≥ 2( > 0)
当且仅当
=
=
9
.
4
4
，即
+1
= 1, =
1
2时,等号成立.故
4
+
+1
≥
9
成立.
4
B层 能力提升练
8.下列说法正确的个数是() B
①2 + 2 ≥ 2成立的条件是 ≥ 0, ≥ 0；②2 + 2 ≥ 2成立的条件是, ∈ ；
③ + ≥ 2 成立的条件是 ≥ 0, ≥ 0；④ + ≥ 2 成立的条件是 > 0.
等号成立.
6.已知 >
4
2，则
−2
6
+ 的最小值是___.
[解析]因为 > ，所以 − > ,所以
−
=
+=
−
+ ( − ) + ≥
时,等号成立，所以
−
−
⋅ ( − ) + = ，当且仅当
+ 的最小值是6.
−
= − ，即
−
，只要证
( − ) < − ，即证 ( − ) < ( + )( − )，即证
< + ，即证 < ，即证 <
< .故选C.
.故求证“
− <
−
”,最终的索因应是
10.设 > 0，则 = 3 − 3 −
+
− ≥ ( + ) ⋅
，即
+
+
− = − ，
= − 时,等号成立，所以函数 = +
的最小值为
+
3.若 > 0, > 0，且 + = 18，则 的最大值为() A
A.9
B.18
C.36
[解析]因为 > , > ， + = ，所以 ≤
等号成立.
1
（2）若 > 0， > 0， + = 3，求证： +
1
4
4
+1
9
4
≥ .
1
1
4
解因为 > 0, > 0, + = 3,所以 +
= [ + ( + 1)]( +
)
+1
4
+1
1
+1
4
= (5 +
+
)
4
+1
≥
1
(5 +
4
2
+1 4
⋅
)
+1
+1
A.1
B.2
C.3
[解析] 根据不等式成立的条件可知只有②③正确.故选B.
D.0
9.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“已知 > > 0，求证：
− <
A.
<
−
.”最终的索因应是()
2
1B.
> 1C.1 <
D.
C
− >0
[解析]由 > > ，可得 − > ，要证 − <
7.已知， ∈ .
（1）求证：2 + 2 ≥ 2( + − 1)；
解2 + 2 − 2( + − 1) = (2 − 2 + 1) + ( 2 − 2 + 1) = ( − 1)2 + ( − 1)2 ≥ 0，
当且仅当 = = 1时,等号成立，所以2 + 2 ≥ 2( + − 1)，当且仅当 = = 1时,
第3章 不等式
3.2基本不等式 ≤
+
(,
3.2.1 基本不等式的证明
≥ )
A层 基础达标练
1.已知 > 0，则
A.4
4
+ 的最小值是()
A
B.6
C.8
D.16
[解析]因为 > ，所以 > .由基本不等式可得 + ≥ ⋅ = ，当且仅当
=
，即
= 时,等号成立，所以 +
的最小值是4.故选A.
2.当 > 0时，函数 = +
3
的最小值为()
+1
A
A.2 3 − 1B.2 3C.2 3 + 1D.4
[解析]因为 > ，所以 + > ，所以
=
+
+
=++
当且仅当 + =
− .故选A.
，即
3−
1
−3
1
−3
≥ 2 2，
=3−
= −[2(3 − )
1
的最大值是7
−3
+ 7 = −[2(3 − ) +
2
时,等号成立.
2
1
+
]
3−
− 2 2.
+ 7 ≤ 7 − 2 2，
1
]
3−
+ 7.
C层 拓展探究练
15.（多选题）已知, > 0， + = 1.若4 ≤ 恒成立，则实数的可能取值为
+
+
,即
+
=++
+
− ≥ ( + )
= 时,等号成立，故D正确.故选.
⋅
+
− = ，当且仅当
5.由， ∈ ，且 = 4，可以证明2 =
+
2=≥±2
8成立.请写出等号成立的条件：______
______.
[解析]因为 + ≥ ，且 = ，所以 + ≥ ，当且仅当 = = ±时,
等号成立，即 的最大值是9.故选A.
D.81
+
= ，当且仅当 = = 时,
4.（多选题）下列函数中最小值为2的是( BD
A. = +
1
B.
=
C. = 2 + 3 +
1
+1+
( > −1)
+1
1
4
D. = +
( > −2)
+2
2 +3
)
[解析]对于A，当 = −时， = −，故A错误；对于B，
() CD
1
4
1
2
A. B. C.1D.2
[解析]依题意，, > ， + = ，所以 ≤ ×
+
( ) =
，当且仅当
= = 时,等号成立.因为 ≤ 恒成立，所以 ≥ .故选.
16.求 (10 − )的最大值.
解由(10 − ) ≥ 0知0 ≤ ≤ 10.
当 = 0或 = 10时， (10 − ) = 0.
当0 < < 10时，10 − > 0.
由基本不等式可得 (10 − ) ≤
+10−
2
= 5,
当且仅当 = 10 − ，即 = 5时,等号成立.
综上， (10 − )的最大值为5.
1
> 1( ∈ )
2 +1
时, + = ,所以A不一定成立；对于B，当
C. 2 + 1 ≥ 2||( ∈ )D.
[解析]对于A，当 =
> 时，
+ ≥ ，当且仅当 = 时,等号成立，所以B一定成立；对于C，不等式
+ − || = (|| − ) ≥ ,即 + ≥ ||恒成立，所以C一定成立；对于D，因
为
+ ≥ ,所以 <
+
≤ ,所以D不成立.故选.
1
13.已知 + = 1.若 > 0且 > 0，则的最大值为__.
4
[解析]因为 > 且 > ， + = ≥ ，当且仅当 = = 时,等号成立，所
以 ≤
，即的最大值为 .
14.若 < 3，求 = 2 + 1 +
1
的最大值.
−3
解因为 < 3，所以3 − > 0.
所以 = 2 + 1 +
1
−3
= 2( − 3) +
由基本不等式可得2(3 − ) +
当且仅当2(3 − ) =
所以 = 2 + 1 +
即 = 2 + 1 +
1
3−
1