函数方程思想在高考数学中的应用

解析：令 g(x)＝cfosxx，
则
g′(x)＝f′xcos
x－fx－sin cos2x
x＝1c＋osln2xx.
由0<x<π2， g′x>0，
解得1e<x<π2；
由0<x<π2， g′x<0，
解得
1 0<x<e.
所以函数 g(x)在0，1e上单调递减，在1e，π2上单调递增，
[技法领悟] 数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的 通项公式、前 n 项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成 关于 n 的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸 现其函数关系，用函数思想或函数方法研究、解决问题 ，不 仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散 思维的水平．
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[应用体验]
6．已知函数 y＝f(x)对于任意的 x∈0，π2满足 f′(x)·cos x＋
f(x)sin x＝1＋ln x，其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数，则下
列不等式成立的是
()
π π A. 2f 3<f 4
π
π
C. 2f 6> 3f 4
π π B. 2f 3>f 4
π π D. 3f 3<f 6
[答案] －34，＋∞
[技法领悟] 发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约 的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函 数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表 现．本题主客换位后，利用新建函数y＝－ 41x＋21x 的单调性巧 妙地求出实数a的取值范围．此法也叫主元法．
构造函数 h(x)＝xe－x－2e， 则 h′(x)＝e－x(1－x)． 所以当 x∈(0,1)时，h′(x)＞0；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x) ＜0； 故 h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而 h(x)在(0，＋∞)上的最大值为 h(1)＝－1e. 综上，当 x＞0 时，g(x)＞h(x)，即 f(x)＞1.
x＝my－1， 得(m2＋4)y2－2my－3＝0， Δ＝(－2m)2＋12(m2＋4)>0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中 y1>y2， 则 y1＋y2＝m22＋m 4，y1y2＝m－2＋34，
所以|y2－y1|＝4 mm2＋2＋4 3，
所以
S△AOB＝12|OE||y2－y1|＝2
令 f(x)＝2x＋1x(x≥1)，则 f′(x)＝2－x12， 当 x≥1 时，f′(x)>0 恒成立， 所以 f(x)在[1，＋∞)上是增函数， 故当 x＝1 时，f(x)min＝f(1)＝3， 即当 n＝1 时，(bn)max＝16， 要使对任意的正整数 n，不等式 bn≤k 恒成立， 则需使 k≥(bn)max＝16， 所以实数 k 的最小值为16.
所以ff′1＝1＝2，e， 即ba＝ e＝2e，， 解得ba＝＝21.，
(2)证明：由(1)知 f(x)＝exln x＋2exx－1(x＞0)， 从而 f(x)＞1 等价于 xln x＞xe－x－2e. 构造函数 g(x)＝xln x，则 g′(x)＝1＋ln x， 所以当 x∈0，1e时，g′(x)＜0，当 x∈1e，＋∞时，g′(x) ＞0，故 g(x)在0，1e上单调递减，在1e，＋∞上单调递增，从 而 g(x)在(0，＋∞)上的最小值为 g1e＝－1e.
数学教研组 2023届教学课件
二轮复习 专题透析
技法秘籍 涉及范围、最值问题的题目，所给条件中常隐含函数或方程关系，求解此类问
题的一般思路：在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为 一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、 线段长、最值（范围）问题的基本方法.
(方程、不等式或方程与不等式 解方程以及讨论参数的取
的混合组)，然后通过解方程(组) 值等问题；二是在问题的
或不等式(组)来使问题获解．方 研究中，通过建立函数关
程是从算术方法到代数方法的一 系式或构造中间函数，把
种质的飞跃，有时，还可以将函 所研究的问题转化为讨论
数与方程互相转化、接轨，达到 函数的有关性质，达到化
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[应用体验]
1．已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上，当
正棱柱的体积取最大值时，其高的值为
()
A．3 3
B. 3
C．2 6
D．2 3
解析：设正六棱柱的底面边长为 a，高为 h，则可得 a2＋h42
＝9，即 a2＝9－h42，那么正六棱柱的体积 V＝6× 43a2×h ＝3 2 39－h42h＝3 2 3－h43＋9h. 令 y＝－h43＋9h，则 y′＝－34h2＋9，
[技法领悟] 对于第(2)问“aexln x＋bexx－1＞1”的证明，若直接构造函
数 h(x)＝aexln x＋bexx－1－1，求导以后不易分析，因此并不宜 对其整体进行构造函数，而应先将不等式“aexln x＋bexx－1＞ 1”合理拆分为“xln x＞xe－x－2e”，再分别对左右两边构造函 数，进而达到证明原不等式的目的．
令 y′＝0，解得 h＝2 3.易知当 h＝2 3时，y 取最大值，
即正六棱柱的体积最大．
答案： D
2．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a3＝12，S12＞0，S13<0，
则 S1，S2，S3，…，S12 中的最大项为________． 解析：由 a3＝12，得 a1＝12－2d，
解决问题的目的.
难为易、化繁为简的目的.
应用一 借助“显化函数关系”，利用函数思想解决问题 在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，
将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函 数方法使问题顺利获解．
[例1] 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1＝2， 且 a2，a3，a4＋1 成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式 an； [解] 因为 a1＝2，a23＝a2(a4＋1)， 又因为{an}是正项等差数列，所以公差 d≥0， 所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，
解得 d＝2 或 d＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式 an＝2n.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，bn＝Sn1＋1＋Sn1＋2＋…＋S12n，
思 想 （Hale Waihona Puke ）函数方程在高考数学中 应用
函数与方程思想的概念
函数与方程思想的应用
函数思想是指用函数的概念
函数与方程思想在解
和性质去分析问题、转化问题和 题中的应用主要表现在两
解决问题．方程思想，是从问题 个方面：一是借助有关初
的数量关系入手，运用数学语言 等函数的性质，解决有关
将问题中的条件转化为数学模型 求值、解(证明)不等式、
即22xx22－ ＋22xx－ －13<>00， ，
解得
7－1 2 <x<
3＋1 2.
故 x 的取值范围为
72－1，
3＋1
2
.
答案：
72－1，
3＋1
2
5．已知椭圆 C 的离心率为 23，过上顶点(0,1)和左焦点的直线 的倾斜角为π6，直线 l 过点 E(－1,0)且与椭圆 C 交于 A，B 两点． (1)求椭圆 C 的标准方程；
解：因为 e＝ac＝ 23，bc＝ 33，b＝1，所以 a＝2， 故椭圆 C 的标准方程为x42＋y2＝1.
(2)△AOB 的面积是否有最大值？若有，求出此最大值；若没 有，请说明理由． 解：因为直线 l 过点 E(－1,0)， 所以可设直线 l 的方程为 x＝my－1 或 y＝0(舍去)． 联立x42＋y2＝1， 消去 x 并整理，
由1＋a2－2x＋a＋4x1·a＞0，且a2－a＋1＝a－122＋34＞0，
得1＋2x＋4x·a＞0，故a＞－41x＋21x. 当x∈(－∞，1]时，y＝41x与y＝21x都是减函数，
因此，函数y＝－41x＋21x在(－∞，1]上是增函数，
所以－41x＋21xmax＝－34，所以a＞－34.
故实数a的取值范围是－34，＋∞.
[应用体验] 4．设不等式 2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都
成立，则 x 的取值范围为__________________．
解析：问题可以变成关于 m 的不等式 (x2－1)m－(2x－1)<0 在[－2,2]上恒成立， 设 f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)， 则ff2－＝22＝x－2－21x2－－12x－－12x<－0，1<0，
所以 S12＝144＋42d>0.
S13＝13a1＋78d＝156＋52d＜0，所以－274＜d＜－3.
Sn＝na1＋nn2－1d＝12dn2＋12－52dn，
由 d＜0，Sn 是关于 n 的二次函数，知对称轴方程为 n＝52－1d2.
又由－274＜d＜－3，得 6＜52－1d2＜123，
所以当 n＝6 时，Sn 最大．
应用三 构造“函数关系”，利用函数思想解决问题 在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题
的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出 某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获 解，这是函数思想解题的更高层次的体现．特别要注意的是， 构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素， 促进思维迁移．
答案： S6
3．满足条件 AB＝2，AC＝ 2BC 的三角形 ABC 的面积的最大
值是________．
解析：可设 BC＝x，则 AC＝ 2x，根据面积公式得
S△ABC＝12AB·BC·sin B＝x 1－cos2B.
由余弦定理得 cos B＝x2＋222－·2·x 2x2＝4－4xx2.
则 S△ABC＝x
若对任意的n∈N *，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值． [解] 由(1)知 Sn＝n(n＋1)， 则 bn＝Sn1＋1＋Sn1＋2＋…＋S12n ＝n＋11n＋2＋n＋21n＋3＋…＋2n21n＋1 ＝n＋1 1－n＋1 2＋n＋1 2－n＋1 3＋…＋21n－2n1＋1 ＝n＋1 1－2n1＋1＝2n2＋n3n＋1＝2n＋1n1＋3.
1－4－4xx22＝
128－x2－122
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.
由x＋2x2＋＞x＞2x2，， 解得 2 2－2＜x＜2 2＋2.
故当 x＝2 3时，S△ABC 取得最大值，最大值为 2 2.
答案： 2 2
应用二 转换“函数关系”，利用函数思想解决问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立
问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关 系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑 选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本 质，从而使原问题获解．
[例2] 已知函数 f(x)＝lg1＋a2－2x＋a＋4x1·a，其中 a 为常数，若 当 x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，则实数 a 的取值范围为 _____________．
[解析] 参数 a 深含在一个复杂的复合函数的表达式中， 欲直接建立关于 a 的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度， 设法从原式中把 a 分离出来，重新认识 a 与变元 x 的依存关系， 利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”．
[例3] 设函数 f(x)＝aexln x＋bexx－1，曲线 y＝f(x)在点(1， f(1))处的切线为 y＝e(x－1)＋2.
(1)求 a，b；
(2)证明：f(x)＞1.
[解] (1)
f′(x)＝aexln
x＋1x＋bex－1xx2 －1(x＞0)，
由于直线 y＝e(x－1)＋2 的斜率为 e，图象过点(1,2)，
数学教研组 2023届教学课件
二轮复习 专题透析
技法秘籍 在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过
类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想 和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现.特别要注意的是，构造 时，要深入审题，充分挖掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移.解答本题的 关键点是同构，对于结构相同（相似）的不等式，通常考虑变形，构造函数，利用 函数的单调性比较大小.
m2＋3 m2＋4
＝
2 m2＋3＋
1. m2＋3
设 t＝ m2＋3，则 g(t)＝t＋1t ，t≥ 3，
所以 g′(t)＝1－t12＞0，
所以 g(t)在区间[ 3，＋∞)上为增函数，
所以 g(t)≥433，
所以 S△AOB≤ 23，当且仅当 m＝0 时等号成立．
所以△AOB
的面积存在最大值，为
3 2.