(新课标)北京市高考数学一轮复习 第13讲 排列、组合及二项式定理、概率与统计新题赏析 理

第13讲 排列、组合及二项式定理、概率与统计新题赏析
题一：在333(1)(1(1x +++的展开式中，x 的系数为_________ (用数字作答)
题二：若5(1,a a b =+为有理数），则a b +=（ ） A ．45 B ．55 C ．70 D ．80 题三：已知(
1
24
x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．
题四：已知在(3
x －123x
)n 的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n ；
(2)求含x 2
的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
题五：把一个正方体各个面都涂上漆，之后分为125个大小相等的小正方体，放入一个不透明的袋子中搅拌均匀，随机从中抽取一个正方体，它是一个各个面都没有涂漆的正方体的概率是（ ）
A.
8125 B.36125 C.54125 D.27125
题六：一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，a 、b 、c ∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为( ) A.148 B.124 C.112 D.16
题七：一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了10枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用在10箱子中各任意抽查的方法来检测，国王能发现至少一枚劣币的概率为 ．
题八：如图，三行三列的方阵中有九个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1 , 2 , 3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 ( )
111213212223313233a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A. 37
B. 47
C. 114
D. 13
14
题九：某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X 表示此人选对A 饮料的杯数.假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力. （1）求X 的分布列；
（2）求此员工月工资的期望.
题十：某品牌汽车的4S 店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.
(1)3期付款”的概率P ( A )；
(2)求η的分布列及其数学期望E (η)．
第13讲 排列、组合及二项式定理、概率与统计新题赏析
题一：7．
详解：由条件易知333(1),(1,(1x +展开式中x 项的系数分别是123
333
,,C C C ， 即所求系数是3317++=．
题二：C. 详解：
∵(5
1
2
3
4
5
0123455
5
5
5
5
5
1C
C
C C
C C
=+++++
1202041=+++=+
由已知，得41a +=+412970a b +=+=.故选C.
题三：
358
． 详解：由012
37n n n C C C ++=，得1
1(1)372
n n n ++
-=，得8n =． 44
4458135()(2)48T C x x ==，∴该项的系数最大为358
．
题四：（1）10；（2）
454；（3）210C (－12)2x 2，510C (－12)5，8
10C (－12
)8x —2.
详解：(1)通项公式为
T r +1＝r n
C x
3
n r -·1()2r -x 3r
-＝1()2
r
r n C -x
23
n r
-.
∵第6项为常数项，
∴当r ＝5时，有n －2r
3
＝0，即n ＝10.
(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝12
×(10－6)＝2，
∴所求的系数为2
2101()2
C -＝454.
(3)根据通项公式和题意得1023010r r r -⎧∈⎪⎪
≤≤⎨⎪∈⎪⎩
Z Z ，
令
10－2r 3＝k ( k ∈Z)，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－3
2k . ∵r ∈Z，∴k 应为偶数．
∴k 可取2,0，－2，即r 可取2 , 5 , 8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为 222101()2C x -，55101()2C -，8
82101()2
C x --.
题五：D ．
详解：把一个正方体各个面都涂上漆，之后分为125个大小相等的小正方体，
可知只有3×3×3=27个小正方体各个面都没有涂漆，
因此随机从袋中抽取一个正方体，它是一个各个面都没有涂漆的正方体的概率27
125
P =
故选D ．
题六：B
详解：依题意得3a ＋2b ＋0×c ＝1，∵a ＞0，b ＞0，∴3a ＋2b ≥26ab ，即26ab ≤1，
∴ab ≤ 124.当且仅当3a ＝2b 即a ＝ 25，b ＝ 3
5时等式成立．
题七：
109
()10
． 详解：从10箱中任抽1枚，抽不到劣币的概率是109
()10．
那么至少抽到1枚的概率是 109
()10，故答案为109
()10
．
题八：D ．
详解：从九个数中任取三个数的不同取法共有3
9C ＝9×8×71×2×3
＝84 (种)，因为取出的三个数
分别位于不同的行与列的取法共有111
321
C C C ⋅⋅＝6，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－684＝13
14，选
D ．
题九：（1）省略；（2）2280.
详解：（1）选对A 饮料的杯数分别为0X =，1X =，2X =，3X =，4X =，
其概率分布分别为： ()701
0484
404==C C C P ，()70161483414==C C C P ，()703624
82424==C C C P ，()70163481434==C C C P ，()70
1
4484
404=
=C C C P . （2）()2280210070170167036280070163500701=⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛+++⨯+⨯=E ζ.
题十：（1）0.896；（2）η的分布列为：
η的数学期望为1.4(万元)．
详解：(1)由题意可知“购买该品牌汽车的3位顾客中有1位采用分3期付款” 的概率为0.2，所以
P (A )＝0.83＋1
3C ×0.2×(1－0.2)2＝0.896.
(2)由a
100
＝0.2得a ＝20，
∵40＋20＋a ＋10＋b ＝100，∴b ＝10. 记分期付款的期数为ξ，依题意得：
P (ξ＝1)＝40100＝0.4，P (ξ＝2)＝20100＝0.2，P (ξ＝3)＝20
100＝0.2，
P (ξ＝4)＝10100＝0.1，P (ξ＝5)＝10
100
＝0.1.
由题意知η的可能取值为：1 , 1.5 , 2 (单位：万元)． P (η＝1)＝P (ξ＝1)＝0.4，
P (η＝1.5)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝0.4；
P (η＝2)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2. ∴η的分布列为：
∴η的数学期望E (η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4 (万元)．。