导数知识点归纳和练习

一、相关概念

1.导数的概念： f （x 0）=0

lim →∆x x y

∆∆=0lim →∆x x

x f x x f ∆-∆+)()(00。 注意：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。如果x

y

∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。 2．导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。 相应地，切线方程为y －y 0=f /

（x 0）（x －x 0）。 3.导数的物理意义

若物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s '（t ）。

若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v ′（t ）。

二、导数的运算

1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数） ②()1

;n

n x nx

-'=

③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x

x

e e '=

⑥()ln x x

a a a '=;

⑦; ⑧()1

l g log a a o x e x

'=

. 2．导数的运算法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

()1

ln x x

'=

即： (.)'''v u v u ±=±

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，

再除以分母的平方：='

⎪⎭

⎫

⎝⎛v u 2

''v uv v u -（v ≠0）。 3.复合函数的导数

形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤： 分解——>求导——>回代。

法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X 或者[()]()*()f x f x ϕμϕ'''=.

三、导数的应用

1.函数的单调性与导数

（1）设函数)(x f y =在某个区间（a ，b ）可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数；如果'f 0)(<x ，则)(x f 在此区间上为减函数。 （2）如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数。 2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值：

在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a ，b ）内连续函数f （x ）不一定有最大值，例如3

(),(1,1)f x x x =∈-。

（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。

（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。

四、定积分

1.概念

设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0<x1<…<xi －1<xi<…xn ＝b 把区间[a ，b]等分成n 个小区间，在每个小区间[xi －1，xi]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式In

＝(ξi)△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式In 的极限叫做函

∑n

i f

1

＝

数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作：

，即

⎰

b

a

dx

x f )(＝

∑=∞

→n

i n f

1

lim (ξi)△x。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。

基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；＝＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；dx ＝ln

＋C ；＝x e ＋C ；⎰dx a x ＝a a x

ln ＋C ；⎰xdx cos ＝sinx ＋C ；⎰xdx sin ＝－cosx ＋C

（表中C 均为常数）。 2.定积分的性质 ①⎰

⎰=b

a b

a

dx

x f k dx x kf )()(（k 为常数）；

②；

③

（其中a ＜c ＜b 。

3.定积分求曲边梯形面积

由三条直线x ＝a ，x ＝b （a<b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积

⎰=b

a

dx

x f S )(。

如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a<b ）围成，那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝

⎰

⎰-b

a

b

a

dx

x f dx x f )()(21。

4.牛顿——布莱尼茨公式

如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数, 并且F ’

(x)=f(x),则

⎰

b

a

dx

x f )(⎰dx x m

1

11++m x m ⎰x 1x

⎰dx e x ⎰⎰⎰±=±b

a b a

b a

dx x g dx x f dx x g x f )()()()(⎰

⎰⎰+=b

a

c

a

b

c

dx

x f dx x f dx x f )()()()b

a

f x dx F b F a =-⎰

()()(

)