专题06 指数函数与对数函数-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)

专题06 指数函数与对数函数
【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │
【答案】C
【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ； 由219333=>=，知B 错，排除B ；
取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；
因为幂函数3
y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确． 故选C ．
【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
【命题意图】
1．了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
5．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
6．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．
7．知道对数函数是一类重要的函数模型．
8．了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数0,1()a a >≠且． 【命题规律】
指数函数与对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式呈现，难度易、中、难都有，且主要有以下几种命题角度：比较幂、对数式的大小，解指数、对数方程或不等式． 【答题模板】 1．比较幂的大小
①对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； ②对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
③对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 2．解指数方程或不等式
简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论． 3．比较对数式的大小
①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；
②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较； ③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． 4．解对数不等式
①形如log log a a x b >的不等式，借助log a y x =的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分1a >与01a <<两种情况讨论；
②形如log a x b >的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助=log a y x 的单调性求解． 【方法总结】
1．不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分1a >与01a <<两种情况讨论． 2．指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象与性质
指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c <d <1<a <b ．
①在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．
即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
【注】速记口诀：指数增减要看清，抓住底数不放松；
反正底数大于0，不等于1已表明； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(0，1)点．
3．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数=log (0,1)a y x a a >≠且的图象与性质如下表所示：
在直线1x =的右侧，当1a >时，底数越大，图象越靠近x 轴；当01a <<时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”． 4．对数函数与指数函数的关系
指数函数x
y a =(0a >且1a ≠）与对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）互为反函数，
其图象关于直线y x =对称．
5．与对数函数相关的复合函数问题，即定义域、值域的求解，单调性的判断和应用，与二次函数的复合问题等，解题方法同指数函数类似．研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解，此外，需特别注意对数函数的定义域及底数的取值．
6．换底公式的变形及推广： （1）log log 01,0()且m n
a a n
b b a a b m
=>≠>； （2）(1
log 01;01log )且且a b b a a b b a
=
>≠>≠； （3）log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=(其中a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 7．对数的运算性质
如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么： （1）log ()log log a a a M N =M +N ⋅； （2）log log log -a
a a M
=M N N
； （3）log log ()n
a a M =n M n ∈R ．
1．【内蒙古2019届高三高考一模】已知实数ln33
3,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的
大小关系是 A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c <<
D ．a c b <<
【答案】B
【分析】根据4
1ln33
<<，利用指数函数对数函数的单调性即可得出结果． 【解析】∵41ln33<<，∴33ln36b =+>，43336a <<<，3464
()3327
c <=
<， ∴c a b <<．故选B ．
2．【甘、青、宁2019届高三5月联考】若3
1
log 2
m =，0.17n -=，4log 25p =，则m ，n ，p 的大小关系为
A ．m p n >>
B ．p n m >>
C ．p m n >>
D ．n p m >>
【答案】B
【分析】分别出,,m n p 的取值范围，由此比较出三者的大小． 【解析】31
log (1,0)2
∈-，0.17(0,1)-∈，42log 25log 5(2,3)=∈，故p n m >>．故选B ．
3．【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c <<
D ．a c b <<
【答案】A
【分析】先判断ln2的大小范围，然后判断三个数的大小关系．
【解析】因为0ln21<<所以1＜ln 22＜2，2+2ln2＞2，0＜2
(ln2)＜1，∴c a b <<．故选A ．
4．【吉林省长春市普通高中2019届高三质量检测三】若25
2
log a =，30.4b =，ln3c =，
则,,a b c 的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a <<
D ．b c a <<
【答案】B
【解析】因为322
log (,0),0.4(0,1),ln3(1,)5
a b c =∈-∞=∈=∈+∞，所以a b c <<，故选B ．
5．【重庆市2019年普通高等学校招生全国统一考试11月调研】设a =log 34
(3
2)，b =(3
2)32
，c =
(3
4)4
3，则a ，b ，c 的大小关系为
A ．a >b >c
B ．b >c >a
C ．c >a >b
D ．a >c >b
【答案】B
【分析】不难发现a <0，b >1，0<c <1，从而可得b >c >a ． 【解析】
a =log 34
(32)<0，b =(3
2)32
>32，c =(3
4)43
<3
4，∴b >c >a ，故选B ．
6．【重庆市第一中学校2019届高三下学期第三次月考】若0.22.1a =，0.40.6b =；
lg 0.6c =，则实数a ，b ，c 的大小关系为 A ．c b a >> B ．a c b >> C ．a c b >>
D ．b a c >>
【答案】A
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别确定a ，b ，c 的范围，即可得出结果. 【解析】因为0.202.1 2.11a =>=，0.4000.60.61b <=<=，lg 0.6lg10c =<=， 所以c b a >>．故选A ．
【名师点睛】本题主要考查对数与指数比较大小的问题，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型．
7．【陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测二】已知a ，b ，c 分别是方程2x =−x ，log 2x =−x ，log 2x =√x 的实数解，则 A ．b <c <a B ．a <b <c C ．a <c <b
D ．c <b <a
【答案】B
【分析】将函数y =2x ，y =log 2x ，y =−x ，y =√x 画在同一坐标系中，可知图象的交点就是方程的根．
【解析】根据题干要求得到，在同一坐标系中画出函数y =2x ，y =log 2x ，y =−x ，y =√x 四个函数图象，如下图：
方程的根就是两个图象的交点，根据图象可得到：a <b <c ．故选B ． 8．【陕西省渭南市2019届高三二模】设0.20.3
21
(),log 3,22
a b c -===，则
A ．b c a >>
B ．a b c >>
C ．b a c >>
D ．a c b >>
【答案】C
【分析】由题意利用所给的数所在的区间和指数函数的单调性比较大小即可．
【解析】由题意可得：0.2
1
()
(0,1)2
a =∈，2log 31
b =>，0.30.31
2()(0,1)2
c -==∈，
指数函数1()2x y =单调递减，故0.20.3
11()()22
>，综上可得b a c >>．故选C ．
【名师点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
9．【黑龙江省大庆市2019届高三第二次模拟】已知p =30.5，q =log 95，r =log 32，则p ，q ，r 的大小关系为 A ．q >p >r B ．p >r >q C ．p >q >r
D ．r >q >p
【答案】C
【分析】首先利用对数的运算性质，将r ，q 化成同底的对数，再根据其单调性求得r ，q 的大小，之后再利用中介值1，得到p ，q ，r 的大小，从而求得结果．
【解析】因为log 32=log 94<log 95<1，30.5>1，所以log 32<log 95<30.5，所以r <q <p ，故选C ．
【名师点睛】本题考查的是有关对数值与指数幂的大小比较的问题，涉及到的知识点有
对数式的运算性质，利用对数函数的单调性比较对数值的大小，利用中介值比较对数值与指数幂的大小，属于简单题目．
10．【重庆市西南大学附属中学校2019届高三第九次月考】已知0.42a =，0.29b =
，3c =，则
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
【答案】A
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性即可判断出a ，b ，c 的大小关系． 【解析】0.4
2a =，0.2
0.4
93b ==
，3
3
0.754
33c ===，
幂函数0.4()f x x
=在(0,)+∞上单调递增，则0.40.423a b =<=，
指数函数()3x
g x =在(0,)+∞上单调递增，则0.40.7533b c =<=， 可得a b c <<，故选A ．
11．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟】设3log 6a =，5log 10b =，
61log 2=+c ，则
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
【答案】D
【分析】根据对数运算将,a b 变形为31log 2+和51log 2+，根据真数相同的对数的大小关系可比较出三个数之间的大小．
【解析】333log 6log (32)1log 2a ==⨯=+；555log 10log (52)1log 2b ==⨯=+， 又356log 2log 2log 2>>，c b a ∴<<，故选D ．
【名师点睛】本题考查利用对数函数的图象比较大小的问题，关键是能利用对数运算将三个数转化为统一的形式．
12．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三)数学试题】设0.321
log 0.6,log 0.62
m n ==
，
则
A ．m n m n mn ->+>
B ．m n mn m n ->>+
C ．m n m n mn +>->
D ．mn m n m n >->+
【答案】A
【解析】0.30.3log 0.6log 10,m =>= 2211
log 0.6log 10,22
n =
<= 0mn <， 0.60.611
log 0.3log 4m n +=+ 0.60.6log 1.2log 0.61=<=，即1m n mn
+<，故m n mn +>． 又()()20m n m n n --+=->，所以m n m n ->+． 故m n m n mn ->+>，故选A ．
【名师点睛】本题考查利用作差法、作商法比较大小，考查对数的化简与计算，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题．
13．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】函数2
2()log (34)f x x x =--的
单调减区间为 A ．(,1)-∞- B ．3(,)2
-∞- C ．3(,)2
+∞
D ．(4,)+∞
【答案】A
【解析】函数2
2()log (34)f x x x =--，则
2340(4)(1)04x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-，
故函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，由2log y x =是单调递增函数，可知函数
()f x 的单调减区间即234y x x =--的单调减区间，当3
(,)2x ∈-∞时，函数
234y x x =--单调递减，结合()f x 的定义域，可得函数22()log (34)f x x x =--的
单调减区间为(,1)-∞-．故选A ．
【名师点睛】本题考查了复合函数的单调性，要注意的是必须在定义域的前提下，去找单调区间．
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