2015年高考数学真题分类汇编-专题10-立体几何-文

2015年高考数学真题分类汇编 专题10 立体几何 文
1.【2015高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，
m β⊂（ ）
A ．若l β⊥，则αβ⊥
B ．若αβ⊥，则l m ⊥
C ．若//l β，则//αβ
D ．若//αβ，则//l m
【答案】A
【解析】采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当αβ⊥时，
,l m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，//l β时，,αβ可以相交；选项D 中，
//αβ时，,l m 也可以异面.故选A.
【考点定位】直线、平面的位置关系.
【名师点睛】本题主要考查空间直线、平面的位置关系.解答本题时要根据空间直线、平面的
位置关系，从定理、公理以及排除法等角度，对个选项的结论进行确认真假.本题属于容易题，
重点考查学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力.
2.【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的
数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，
问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为
一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆
的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆
周率约为3，估算出堆放的米有（ ）
（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛
【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163
r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209
÷1.62≈22，故选B. 【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式
【名师点睛】本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是14圆锥，底面周长是两个底面半径与14圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的
方程，解出底面半径，是基础题.
3.【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是
（ ）
A ．83cm
B ．123cm
C ．
3233cm D ．403
3cm
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2，高为2的正四棱锥的组合体，故其体积为32313222233
V cm =+⨯⨯=
.故选C. 【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积.
【名师点睛】本题主要考查空间几何体的体积.解答本题时要能够根据三视图确定该几何体的
结构特征，并准确利用几何体的体积计算方法计算求得体积.本题属于中等题，重点考查空间
想象能力和基本的运算能力.
4.【2015高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
(A) 1
23π+ (B) 136π (C) 73π (D) 52
π
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：
其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为6
1311612122πππ=⨯⨯⨯+
⨯⨯，故选B.
【考点定位】三视图及柱体与锥体的体积.
【名师点睛】本题考查三视图的概念和组合体体积的计算，采用三视图还原成直观图，再利
用简单几何体的体积公式进行求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.
5.【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+
【答案】D 【解析】由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为
21121222342
πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故答案选D
【考点定位】1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.
【名师点睛】1.本题考查空间几何体的三视图及几何体的表面积，意在考查考生的识图能力、
空间想象能力以及技术能力；2.先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体
各个面的面积即可；3.本题属于基础题，是高考常考题型.
6.【2015高考广东，文6】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平
面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交
B ．l 与1l ，2l 都相交
C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交
D ．l 与1l ，2l 都不相交
【答案】A
【解析】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交
线，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ．
【考点定位】空间点、线、面的位置关系．
【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于容易题．解题时一定要注
意选项中的重要字眼“至少”、“至多”， 否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置
关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，
也可作必要的合情推理．
7.【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上
的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）
A ．直线
B ．抛物线
C ．椭圆
D ．双曲线的
一支
【答案】C
【解析】
由题可知，当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆
锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.
【考点定位】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.
【名师点睛】本题主要考查圆锥曲线的定义以及空间线面的位置关系.解答本题时要能够根据
给出的线面位置关系，通过空间想象能力，得到一个无限延展的圆锥被一个与之成60角的平
面截得的图形是椭圆的结论.本题属于中等题，重点考查学生的空间想象能力以及对圆锥曲线
的定义的理解.
8.【2015高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相
交，则（ ）
A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
C ．p 是q 的充分必要条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
【答案】A .
【解析】若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以命题q ：12,l l 不相交
成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所
以不能推出12,l l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故应选A .
【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.
【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关
系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，
注意考虑问题的全面性、准确性.
9、【2015高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分
后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中
的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为
1620π+，则r =( )
（A ）1 （B ）2
（C ）4 （D ）8
【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半
径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为
22142222
r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.
【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式
【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，
先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，
宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量.
10.【2015高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）
A
．8+ B
．11+
．14+．15
【答案】B
【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，
高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1，
．底面积为
1
233
2
⨯⨯=
，侧面积为
所以该几何体的表面积为11+B．
【考点定位】三视图和表面积．
【名师点睛】本题考查三视图和表面积计算，关键在于根据三视图还原体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体，属于中档题．
11.【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
（A
（B
（
）
（
）
【答案】B
【解析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为
，所得旋转体为
同底等高的全等圆锥，所以，其体积为2
1
3
π⨯⨯=，故选B.
【考点定位】1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积.
【名师点睛】本题考查了旋转体的几何特征及几何体的体积计算，解答本题的关键，是理解
所得旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量.
本题属于基础题，在考查旋转体的几何特征及几何体的体积计算方法的同时，考查了考生的
空间想象能力及运算能力，是“无图考图”的一道好题.
12.【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一
个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材
1
1
1
2
料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）
A 、89π
B 、827π
C
【答案】A
【考点定位】三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体
【名师点睛】运用基本不等式求最值要紧紧抓住“一正二定三相等”条件，本题“和为定”
是解决问题的关键.空间想象能力是解决三视图的关键，可从长方体三个侧面进行想象几何体.
求组合体的体积，关键是确定组合体的组成形式及各部分几何体的特征，再结合分割法、补
体法、转化法等方法求体积.
13.【2015高考北京，文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）
A．1 B C D．2
【答案】C
【解析】四棱锥的直观图如图所示：
AB，S A是四棱锥最长的棱，
由三视图可知，SC⊥平面CD
SA===，故选C.
【考点定位】三视图.
【名师点晴】本题主要考查的是三视图，属于容易题．解题时一定要抓住三视图的特点，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体中最长棱的棱长即可．
14【2015高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）
（A ）1+（B ）1+（C ）2+ （D ）
【答案】C
【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如下图所示：
其中侧面PAC ⊥底面ABC ，且PAC ∆≌ABC ∆，由三视图中所给数据可知：
2====BC AB PC PA ,取AC 中点,O 连接BO PO ,，则POB Rt ∆中，
1==BO PO ⇒2=PB ∴32222
12432+=⋅⋅+⋅⋅=S ，故选C . 【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、锥体表面积公式.
【名师点睛】在利用空间几何体的三视图求几何体的体积或者表面积时，一定要正确还原几何体的直观图，然后再利用体积或表面积公式求之；本题主要考查了考生的空间想象力和基本运算能力.
【2015高考上海，文6】若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a .
【答案】4
【解析】依题意，3162
321=⨯⨯⨯⨯a a a ，解得4=a . 【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.
【名师点睛】正三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面.柱体的体积等于底面积乘以高.边长为a 的正三角形的面积为24
3a . 15.【2015高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m ）,则该几何体的体积为 3m
.
【答案】8π3
【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为31
8π2π1π2(m )3
3⨯⨯⨯+⨯= . 【考点定位】本题主要考查三视图及几何体体积的计算.
【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.
16.【2015高考四川，文14】在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______. 【答案】124
【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的
A 1 C 1
B 1 P
等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为
12 如图，因为AA 1∥PN ，故AA 1∥面PMN ，
故三棱锥P －A 1MN 与三棱锥P －AMN 体积相等，
三棱锥P －AMN 的底面积是三棱锥底面积的14
，高为1 故三棱锥P －A 1MN 的体积为111132424
⨯⨯= 【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力.
【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置，结合条件，三棱锥P －A 1MN 的体积可以直接计算，但转换为三棱锥P －AMN 的体积，使得计算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.
17.【2015高考安徽，文19】如图，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1,1,2,60PA AB AC BAC ===∠=o .
（Ⅰ）求三棱锥P -ABC 的体积；
（Ⅱ）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC
的值
.
【答案】
（Ⅱ）13
PM MC = 【解析】
A B
C M N
（Ⅰ）解：由题设AB ＝1,,2=AC 60=∠BAC
可得ABC S ∆︒⋅⋅⋅=60sin 2
1AC AB 23=. 由⊥PA 面ABC
可知PA 是三棱锥ABC P -的高,又1=PA
所以三棱锥ABC P -的体积6
331
=⋅⋅∆PA S V ABC ＝ （Ⅱ）证：在平面ABC 内，过点B 作AC BN ⊥，垂足为N ，过N 作PA MN //交PC 于M ，连接BM .
由⊥PA 面ABC 知AC PA ⊥，所以AC MN ⊥.由于N MN BN ＝⋂，故⊥AC 面MBN ，又⊂BM 面MBN ，所以BM AC ⊥.
在直角BAN ∆中，21cos =∠⋅=BAC AB AN ，从而2
3=-=AN AC NC .由PA MN //，得3
1=NC AN MC PM ＝. 【考点定位】本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.
【名师点睛】本题将正弦定理求三角形的面积巧妙地结合到求锥体的体积之中，本题的第（Ⅱ）问需要学生构造出线面垂直，进而利用性质定理证明出面面垂直，本题考查了考生的空间想象能力、构造能力和运算能力.
18.【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥V C -AB 中，平面V AB ⊥平面C AB ，V ∆AB 为等边三角形，
C C A ⊥B 且C C A =B =，O ，M 分别为AB ，V A 的中点．
（I ）求证：V //B 平面C MO ；
（II ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ；
（III ）求三棱锥V C -AB 的体积．
【答案】（I ）证明详见解析；（II ）证明详见解析；（III
（Ⅱ）因为AC BC =，O 为AB 的中点，
所以OC AB ⊥.
又因为平面V AB ⊥平面C AB ，且OC ⊂平面C AB ，
所以OC ⊥平面V AB .
所以平面C MO ⊥平面V AB .
（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB 中，AC BC ==
所以2,1AB OC ==.
所以等边三角形V AB 的面积VAB S ∆=.
又因为OC ⊥平面V AB ，
所以三棱锥C V -AB 的体积等于1
3VAB OC S ∆⨯⨯=又因为三棱锥V C -AB 的体积与三棱锥C V -AB 的体积相等，
所以三棱锥V C -AB 考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式.
【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、面面垂直和几何体的体积，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形．证明面面垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误．求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等积法等，本题求三棱锥的体积，采用了等积法．
19.【2015高考福建，文20】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．
（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ；
（Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；
（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13
；
【解析】解法一：（I ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点，
所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以C PO ⊥A ．
因为D O PO =O ，所以C A ⊥平面D P O ．
（II ）因为点C 在圆O 上，
所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1．
又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112
⨯⨯=． 又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =，故三棱锥C P -AB 体积的最大值为1
11133⨯⨯=
． （III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =
，所以PB ==
．
同理C P =C C PB =P =B ．
在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．
当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．
又因为OP =OB ，C C ''P =B ，所以C 'O 垂直平分PB ，
即E 为PB
中点．从而C C ''O =OE +E =+= 亦即C E +OE
．
O A B
P
解法二：（I ）、（II ）同解法一．
（III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，
所以45∠OPB =
，
PB ==．同理C P =
所以C C PB =P =B ，所以C 60∠PB =．
在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．
当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．
所以在C '∆O P 中，由余弦定理得：
()
2C 1221cos 4560'O =+-⨯+
1122=+--
2=+
从而C 'O ==
所以C E +OE ． 【考点定位】1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．
【名师点睛】证明直线和平面垂直可以利用判定定理，即线线垂直到线面垂直；也可以利用面面垂直的性质定理，即面面垂直到线面垂直；决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离最短求解．
20.【2015高考广东，文18】（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，
6AB =，C 3B =．
（1）证明：C//B 平面D P A ；
（2）证明：C D B ⊥P ；
（3）求点C 到平面D P A 的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3 【解析】
试题分析：（1）由四边形CD AB 是长方形可证C//D B A ，进而可证C//B 平面D P A ；（2）先证C CD B ⊥，再证C B ⊥平面DC P ，进而可证C D B ⊥P ；（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，先证PE ⊥平面CD AB ，再设点C 到平面D P A 的距离为h ，利用C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥可得h 的值，进而可得点C 到平面D P A 的距离．
试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A
（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P
（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在Rt D ∆PE 中，
PE =
==，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥，所以D CD 1133
S h S ∆P A ∆A ⋅=⋅PE ，即
CD D 2
S h S ∆A ∆P A ⋅PE ===，所以点C 到平面D P A
【考点定位】1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.
【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、线线垂直和点到平面的距离，属于中
档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形
的中位线和构造平行四边形．证明线线垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂
直可由面面垂直得到，但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，
否则很容易出现错误．点到平面的距离是转化为几何体的体积问题，借助等积法
来解决．
21.【2015高考湖北，文20】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE . （Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是
否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12
V V 的值． 【答案】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，
点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC
BC C =，所以DE ⊥平面PBC .四面体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）12
4.V V = 【解析】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，
点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC
BC C =，所以DE ⊥平面PBC . 由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠
（Ⅱ）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133
ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，所以21136
BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.在Rt △PDC
中，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所
以DE CE ==，于是 12123 4.16
BC CD PD V CD PD V CE DE
BC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ 【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题.
【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力.
22.【2015高考湖南，文18】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点。

（I ）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；
（II ）若直线1AC 与平面11A ABB 所成的角为45，求三棱锥F AEC -的体积。

【答案】（I ）略；
【解析】
试题分析：（I ）首先证明1AE BB ⊥，AE BC ⊥，得到AE ⊥平面11B BCC ，利用面面垂直的判定与性质定理可得平面AEF ⊥平面11B BCC ； (II)设AB 的中点为D,证明直线1CA D ∠直线1AC 与平面11A ABB 所成的角，由题设知145CA D ∠=，求出棱锥的高与底面面积即可
求解几何体的体积.
试题解析：（I ）如图，因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，
所以1AE BB ⊥，又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，
所以AE BC ⊥，因此AE ⊥平面11B BCC ，而AE ⊂平面AEF ，
所以平面AEF ⊥平面11B BCC 。

（II ）设AB 的中点为D ，连接1,A D CD ，因为ABC ∆是正三角形，所以CD AB ⊥，又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CD AA ⊥，因此CD ⊥平面11A AB B ，于是1CA D ∠直线1AC 与平面11A ABB 所成的角，由题设知145CA D ∠=，
所以1A D CD =AB ==，
在1Rt AA D ∆中，1AA ===，所以112FC AA ==
故三棱锥F AEC -的体积1133AEC V S FC =⨯==。

【考点定位】柱体、椎体、台体的体积；面面垂直的判定与性质
【名师点睛】证明面面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．求锥的体积关键在于确定其高，即确定线面垂直.
23.【2015高考山东，文18】 如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点.
（I ）求证：//BD 平面FGH ；
（II ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .
【答案】证明见解析
【解析】
（I ）证法一：连接,.DG CD 设CD GF M ⋂=,连接MH ，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE G =，分别为AC 的中点，可得//,DF GC DF GC =，所以四边形DFCG 是平行四边形，则M 为CD 的中点，又H 是BC 的中点，所以//HM BD ,
又HM ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，所以//BD 平面FGH .
证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点，
可得//,,BH EF BH EF =所以HBEF 为平行四边形，可得//.BE HF
在ABC ∆中，G H ，分别为AC BC ，的中点，
所以//,GH AB 又GH HF H ⋂=，
所以平面//FGH 平面ABED ，
因为BD ⊂平面ABED ，
所以//BD 平面FGH .
(II)证明：连接HE .因为G H ，分别为AC BC ，的中点，所以//,GH AB 由,AB BC ⊥得GH BC ⊥，又H 为BC 的中点，所以//,,EF HC EF HC =因此四边形EFCH 是平行四边形，所以//.CF HE
又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥.
又,HE GH ⊂平面EGH ，HE GH H ⋂=，所以BC ⊥平面EGH ，
又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面.EGH
【考点定位】1.平行关系；2.垂直关系.
【名师点睛】本题考查了空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系和垂直关系，从证明方法看，起点低，入口宽，特别是第一小题.证明过程中，关键是注意构造线线的平行关系、垂直关系，特别是注意利用平行四边形，发现线线关系，进一步得到线面关系、面面关系.
本题是一道能力题，属于中等题，重点考查两空间几何体的特征及空间直线、平面的平行关系和垂直关系等基础知识，同时考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力思维的严密性、函数方程思想及应用数学知识解决问题的能力.
24.【2015高考陕西，文18】如图1，在直角梯形ABCD 中，
//,,2AD BC BAD AB BC π
∠==12
AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，
将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.
(I)证明：CD ⊥平面1
AOC ；
(II)当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为，求a 的值.
【答案】(I) 证明略，详见解析；(II) 6a =.
【解析】
试题分析：(I) 在图1中，因为12AB BC AD a ===，E 是AD 的中点，2
BAD π∠=，所以四边形ABCE 是正方形，故BE AC ⊥，又在图2中，1,BE AO BE OC ⊥⊥，从而
BE ⊥平面1
AOC ，又//DE BC 且DE BC =，所以//CD BE ，即可证得CD ⊥平面1
AOC ； (II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE 平面BCDE BE = ，又由(I)知，1AO BE ⊥，所以1AO ⊥平面BCDE ，即1AO 是四棱锥1A BCDE -的高，易求得平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅=，从而四棱锥1A BCDE -的为
3113V S A O =⨯⨯=3=，得6a =. 试题解析：(I)在图1中，因为12AB BC AD a ===，E 是AD 的中点2BAD π∠=，所以BE AC ⊥，
即在图2中，1,BE AO BE OC ⊥⊥
从而BE ⊥平面1
AOC 又//CD BE
所以CD ⊥平面1
AOC .
(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，
且平面1A BE 平面BCDE BE =
又由(I)知，1AO BE ⊥，所以1
AO ⊥平面BCDE ， 即1AO 是四棱锥1A BCDE -的高，
由图1
可知，1AO AB ==，平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅=， 从而四棱锥1A BCDE -的为
2311133V S AO a =⨯⨯=⨯=，
由3=6a =. 【考点定位】1.线面垂直的判定；2.面面垂直的性质定理；3.空间几何体的体积.
【名师点睛】1.在处理有关空间中的线面平行、线面垂直等问题时，常常借助于相关的判定
定理来解题，同时注意恰当的将问题进行转化；2.求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等价转化法等，本题是求四棱锥的体积，可以接使用公式法.
25.【2015高考四川，文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
(Ⅰ)请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)
(Ⅱ)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论.
(Ⅲ)证明：直线DF ⊥平面BEG
【解析】(Ⅰ)点F ，G ，H 的位置如图所示 A B F H E D C G C
D E A B H。