高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》易错题汇编及答案解析

新数学复习题《平面向量》专题解析
一、选择题
1．已知点1F ，2F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左，右焦点，过原点O 且倾斜
角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ，且1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
，则椭圆C
的离心率为（ ） A ．31- B ．23-
C ．
1
2
D ．
22
【答案】A 【解析】 【分析】
由1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，在
12Rt MF F V 中，求出2MF ，1MF ，
,a c 的关系，求出离心率可得选项. 【详解】
将1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，即
12121
||2
MF MF OM F F c ⊥=
=，. 又60MOF ∠=︒，∴2MF c =，13MF c =，∴23a c c =+，∴31c
e a
=
=-. 故选:A. 【点睛】
考查了向量的数量积,椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于,a c 的关系，属于中档题.
2．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u v u u u v ，1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v
（ ）
A ．3
B 3
C 3
D 3【答案】D 【解析】
∵3AC AB BC AB =+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u v
，∴
(3)3AC AD AB AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uu u r uuu r
， ∴
cos cos AC AD AD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v
⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．
3．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r
的最小值是（ ）
A ．0
B ．1
C
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为
()
2
11a -+，由二次函数性质可得结果.
【详解】
由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r
，
,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r
， ()2
111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.
故选：B . 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.
4．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r
（ ）
A ．3144A
B A
C -u u u
r u u u r B ．1136
AB AC -u u u r u u u r
C ．2133AB AC -u u u r u u u r
D ．3144
AB AC +u u u
r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r
，化简得到答案. 【详解】 ()
11312444
MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
u u u u r r u u u r .
故选：A .
本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
5．已知单位向量a r ，b r 的夹角为3
π，(),c a b R μλμ+
=λ+∈r u u r u u r ，若2λμ+=，那么c r 的
最小值为（ ）
A B
C ．
2
D 【答案】D 【解析】 【分析】
利用向量的数量积的运算公式，求得1
2
a b ⋅=r r ，再利用模的公式和题设条件，化简得到
2
4c λμ=-u r ，最后结合基本不等式，求得1λμ≤，即可求解．
【详解】
由题意，向量,a b r r 为单位向量，且夹角为3π
，所以11cos 11322
a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=r r r r ，
又由(),c a b μλμ=λ+∈R r u u r u u r
，
所以()
2222222
2()4c a b a b λμλμλμλμλμλμλμλμ=+=++⋅=++=+-=-u r r r r r ，
因为,R λμ+
∈时，所以2
22()122λμλμ+⎛⎫≤== ⎪
⎝⎭
，当且仅当λμ=时取等号，
所以2
3c ≥u r ，即c ≥u r
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的模的计算，其中解答中熟记向量的数量积和模的计算公式，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
6．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r
恒
成立，则实数t 的取值范围是（ ）.
A ．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．3⎛⎫
+∞ ⎪
⎪⎝⎭ D ．⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
【答案】B
【分析】
根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】
因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1
cos1202
AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，
由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r
，
即2210k kt t -+->，构造函数2
2
()1f k k tk t =-+-， 由题意，(
)
2
2
410t t ∆--<=，
解得3t <-或3
t >
. 故选：B. 【点睛】
本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.
7．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）
A ．,,M N P 三点共线
B ．,,M N Q 三点共线
C ．,,N P Q 三点共线
D ．,,M P Q 三点共线
【答案】B 【解析】 【分析】
利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】
因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r 所以()
2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ,
因为5MN a b =+u u u u r r
r ,所以MN NQ =u u u u r u u u r
由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuu
r 为共线向量,
又因为MN u u u u r 与NQ uuu
r 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线.
故选: B 【点睛】
本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
8．如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，
则AC =u u u v
（ ）
A ．43
AD BE +u u u
v u u u v
B ．53
AD BE +u u u
v u u u v
C ．4132A
D B
E +u u u
v u u u v
D ．5132
AD BE +u u u
v u u u v
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量的加减运算求解即可 【详解】 据题意，
2533
AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
．
故选B ． 【点睛】
本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题
9．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +⋅u u u
r u u u r 的最小值为
（ ） A ．1- B ．3-
C ．12
-
D ．32
-
【答案】A 【解析】 【分析】
建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解． 【详解】
建立如图所示坐标系，
设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以
(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r
，
故22
3131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛
⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭u u u r u u u r u u u r
22
3322122x y ⎛⎫⎛
⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
所以当3
2
x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-.
故选：A ． 【点睛】
本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
10．在ABC ∆中，已知3AB =
23AC =D 为BC 的三等分点(靠近C)，则
AD BC ⋅u u u v u u u v
的取值范围为（ ）
A ．()3,5
B ．(5,53
C ．()5,9
D ．()5,7
【答案】C 【解析】 【分析】
利用向量加法法则把所求数量积转化为向量AB AC u u u r u u u r
，的数量积，再利用余弦函数求最值，得解． 【详解】
如图，()()()
13AD BC AC CD AC AB AC CB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()
11213333AC AB AC AC AB AC AB AC AB u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22211333
AC AB AB AC =--⋅u u u
r u u u r u u u r u u u r
＝8﹣113233
cos BAC -⨯⨯∠ ＝7﹣2cos ∠BAC ∵∠BAC ∈（0，π）， ∴cos ∠BAC ∈（﹣1，1）， ∴7﹣2cos ∠BAC ∈（5，9）， 故选C ．
【点睛】
此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．
11．如图，已知1OA OB ==u u u v u u u v ，2OC =u u u v ，4
tan 3
AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，
OC mOA nOB
u u u v u u u v u u u v =+，则m
n
等于（ ）
A ．
57
B ．75
C ．
37
D ．
73
【答案】A 【解析】 【分析】
依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B 、C 的坐标，利用向量相等建立关于m 、n 的方程，求解即可． 【详解】
以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系如图所示：
因为1OA OB ==u u u r u u u r ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55
AOB AOB ∠=-∠=，，
∴A （1，0），B （34
55
-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴
41
3tan θ413
--=-=7，
又如图点C 在∠AOB 内，∴cos θ2，sin θ72
,又2OC u u u v =C （1755，）， ∵OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，
4
5
n ） 即
15= m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57m n =， 故选A ． 【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．
12．已知平面向量a v ,b v 的夹角为3
π
，且||2a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v ( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．
1
6
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解. 【详解】
由题意，可得222|2|||4||4444||||cos 43
a b a b a b a b π
-=+-⋅=+-⋅=r r r r r r r r ，
所以|2|2a b -=r r
，故选B. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
13．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2-3b 2=2ac ，BA u u u r ⋅BC uuu
r =2，则
△ABC 的面积为（ ）
A B ．
3
2
C ．
D ．【答案】C 【解析】 【分析】
利用余弦定理求出B 的余弦函数值，结合向量的数量积求出ca 的值，然后求解三角形的面积． 【详解】
在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2﹣3b 2＝2ac ，
可得cosB 222123a c b ac +-==，则sinB 3
=
BA u u u r ⋅BC =u u u r 2，可得cacosB ＝2，则ac ＝6，
∴△ABC 的面积为：116223
acsinB =⨯⨯=． 故选C ． 【点睛】
本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．
14．设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线
于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若
(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225
+=8
λμ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B C ．
2
D ．
98
【答案】A 【解析】 【分析】
先根据已知求出,u λ，再代入2
2
5
+=
8
λμ求出双曲线的离心率.
【详解】
由题得双曲线的渐近线方程为
b
y x
a
=±，设F(c,0)，则
2
(,),
(,),(,),
bc bc b
A c
B c P c
a a a
-
因为()
,
OP OA OB R
λμλμ
=+∈
u u u v u u u v u u u v
，所以
2
(,)((),())
b bc
c u c u
a a
λλ
=+-.
所以,,
b
u c u
c
λλ
+=-=
解之得,.
22
b c c b
u
c c
λ
+-
==
因为22
5
+=
8
λμ，所以22
522
()(),3, 3.
22833
b c c b c
e
c c a
+-
+=∴=∴=
故答案为A
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.解答本题的关键是根据()
,
OP OA OB R
λμλμ
=+∈
u u u v u u u v u u u v
求出,u
λ.
15．如图，在ABC
V中，已知D是BC边延长线上一点，若2
B C
C D
=
u u u v u u u v
，点E为线段AD的中点，
3
4
AE AB AC
λ
=+
u u u v u u u v u u u v
，则λ=（）
A．
1
4
B．
1
4
-C．
1
3
D．
1
3
-
【答案】B
【解析】
【分析】
由
1
2
AE AD
=
u u u r u u u r
，AD BD BA
=-
u u u r u u u r u u u r
，AC BC BA
=-
u u u r u u u r u u u r
，
3
2
BD BC
=
u u u r u u u r
，代入化简即可得出．【详解】
13
,,,
22
AE AD AD BD BA BD BC BC AC AB
==-==-
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，带人可得
()
1313
2244
AE AC AB AB AB AC
⎡⎤
=-+=-+
⎢⎥
⎣⎦
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，可得
1
4
λ=-，
故选B.
【点睛】
本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=︒，点C 在AB 边上的射影为D ，则CD =（ ） A ．4 B ．22
C ．2
D ．2
【答案】A
【解析】
【分析】 画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，12y y >， 由90ACB ∠=︒可求2
2
1216y y -=，结合221244y y CD =-即可求解 【详解】
如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，12y y >， 由90ACB ∠=︒可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，222212121212,,,44y y y y CA y y CB y y ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r ， ()222221212004y y CA CB y y ⎛⎫-⋅=⇔--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，即()()222122212016
y y y y ---= 解得2
2
1216y y -=（0舍去），所以222212124444y y y y CD -=-==
故选：A
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题
17．下列命题为真命题的个数是（ ）
①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数；
②若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r ；
③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题； ④函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】 利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误； 对于②中，若0a b ⋅=r ，可以有a b ⊥r r ，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；
对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，
其逆否命题为真命题，故③正确；
对于④中，()()x x x x
e e e e
f x f x x x
-----===-， 且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称，
所以函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数，故④正确. 综上，真命题的个数是2.
故选：B.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
18．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33
AB OC OA OB ==
-u u u v u u u v u u u v ，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v （ ）
A ．8+
B ．8-
C ．12
D ．4 【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
由题意
11
22 OM OA OB =+
u u
u u r u u u r u u u r
，则
22
5211511
3322632
OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB
⎛⎫⎛⎫
⋅=-⋅+=-+⋅
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，又圆的半径
为4，4
AB=
uu u r
，则,
OA OB
u u u r u u u r
两向量的夹角为
π
3
．则8
OA OB
⋅=
u u u v u u u v
，2216
OA OB
==
u u u v u u u v
，所以12
OC OM
⋅=
u u u r u u u u r
．故本题答案选C．
点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.
19．三角形ABC中，5
BC=，G，O分别为三角形ABC的重心和外心，且
5
GO BC
⋅=
u u u r u u u r
，则三角形ABC的形状是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述均不是
【答案】B
【解析】
【分析】
取BC中点D，利用GO GD DO
=+
u u u r u u u r u u u r
代入计算，再利用向量的线性运算求解．
【详解】
如图，取BC中点D，连接,
OD AD，
则G在AD上，
1
3
GD AD
=，OD BC
^，
()
GO BC GD DO BC GD BC DO BC
⋅=+⋅=⋅+⋅
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
22
1111
()()()5
3326
GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB
=⋅=⋅=⨯+⋅-=-=
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
∴222
3025
AC AB BC
-=>=，∴2220
AB BC AC
+-<，
由余弦定理得cos0
B<，即B为钝角，三角形为钝角三角形．
故选：B．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC中点D，用,
AB AC
u u u r u u u r
表示出,
GD BC
u u u r u u u r
．
20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，
120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （ ）
A ．4
B
C ．2
D 【答案】A
【解析】
【分析】 根据向量的线性运算可得3144
EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可.
【详解】 因为11131()22244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6
EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216
=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916
=
，
所以||4
EB =u u u r ， 故选：A
【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。