专题07 函数的零点问题(解析版)

1 专题07 函数的零点问题

一、题型选讲

题型一 、运用函数图像判断函数零点个数

可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。

例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上

⎩

⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为 【答案】： 5

【解析】：因为f(x ＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函

数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据

奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R 上的图像，由y ＝f (x )－log 5| x |＝0，得f (x )＝log 5| x |，分别画出y ＝f (x )和y ＝log 5|x |的图像，如下图，由f (5)＝f (1)＝1，而log 55＝1，f (－3)＝f (1)＝1，log 5|－3|<1，而f (－7)＝f (1)＝1，而log 5|－7|＝log 57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.

解后反思 本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．

例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

12x －1，x ＜1，ln x x 2，x ≥1，)则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________． 【答案】：. 4 【解析】设g (x )＝ln x x 2，则由g ′(x )＝x －ln x ·2x x 4＝1－2ln x x 3＝0，可得x ＝e ，所以g (x )在(1，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，当x →＋∞时，g (x )→0，故g (x )在(1，＋∞)上的最大值为g (e)＝12e ＞18.在同一平面直角坐标系中画出y ＝|f (x )|与y ＝18的图像可得，交点有4个，即原函数零点有4个．