2023-2024学年深圳市南山区前海学校九年级下学期开学考数学试题及答案

南山区前海学校2023-2024学年第二学期九年级开学考数学
试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1. 1
3的相反数是（ ）
A.
13
B. 13
±
C. 13
-
D. 3
2. 如图放置几何体中，其主视图为长方形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 据有关部门统计，2023年国庆、中秋八天长假期间，广东累计接待游客63862000人次，将数63862000用科学记数法表示为（ ）A. 8
6.386210⨯ B. 7
0.6386210⨯ C. 7
6.386210⨯ D.
8
0.6386210⨯4. 下列计算正确的是（ ）A. 22
235a a a += B. ()2
2
36a a -= C. ()22a b a b
-=- D.
257
a a a ⋅=5. 关于x 的不等式组解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组可以是（ ）
A. 13
x x ≥-⎧⎨
<⎩ B. 13
x x ≥-⎧⎨
>⎩ C. 13
x x >-⎧⎨
≤⎩ D.
13
x x >-⎧⎨<⎩6. 如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作BAD ∠的平分线AG 交BC 于点E ，若6BF =，5AB =，则tan DAE ∠=（ ）
的
A.
43
B.
54
C.
34
D.
53
7. 在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x 棵，小敏平均每小时植树y 棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（ ）A. 13218
y x x y -=⎧⎨
+=⎩ B. 12318
x y x y -=⎧⎨
+=⎩C. 13218x y x y +=⎧⎨
+=⎩ D. 13218
x y x y -=⎧⎨
+=⎩8. 如图，O 的半径为6cm ，四边形ABCD 内接于O ，连接OB 、OD ，若
BOD BCD ∠=∠，则 BD
的长为（ ）
A. 6π
B. 4π
C. 3π
D.
3
2
π9. 如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点(3,0)A ，对称轴为直线
1x =，下列结论：①24b ac >；②20a b -=；③0a b c -+>；④若1(2,)M y -，2(5,)
N y 为函数图象上的两点，则12y y <．其中正确的结论有（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
10. 如图，在平面直角坐标系中，ABC 为直角三角形，90ABC ∠=︒，顶点A ，B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点D 是斜边AC 中点，若反比例函数(0)k
y x x
=<的图像经过D ，C 两点，4OA =，2OB =，则k 的值为（ ）
A.
8
- B. 569
-
C. 6-
D. 649
-
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 分解因式：244x -=_____________．
12. 在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红随机摸一个球，摸到白球的概率为0.2，则布袋中黑球的个数为__．
13. 关于x 的一元二次方程223(1)0x x m +--=有实数根，则m 的取值范围是__．14. 如图，某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户AB 高为1.5米，BCD 表示直角遮阳棚，墙BC 长度为0.5米，此地一年的正午时刻，太阳光与地面的最大夹角为α，测得
5
tan 3
α=，要使太阳光刚好不射入室内，遮阳棚水平宽CD 应设计为__
米．
的
15. 如图，在矩形ABCD 中，AB BC <，点E ，F 分别在CD ，AD 边上，且BCE 与
BFE 关于直线BE 对称．点G 在AB 边上，GC 分别与BF ，BE 交于P ，Q 两点．若
4
5
AB BC =，CE CQ =，则GP CQ =__．三．解答题（共55分）
16.
计算：2
0120243tan 303-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭
17 先化简，再求值：2421
(1(326
a a a a -+-÷++，其中2a =．18. 为了解双减背景下学生每天完成作业的时间情况，某中学对n 名学生每天完成作业时间进行抽样调查，根据时间（单位：分钟）分成()060E x ≤<，()6090D x ≤<，
()90120C x ≤<，()120150B x ≤<．()150A x ≥五个组，并将调查结果绘制成如图所
示的两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：
.
（1）n =________，m =________，扇形统计图中A 的圆心角度数为________；（2）补全条形统计图，学生每天完成作业时间的中位数落在________组；
（3）若全校共有2000名学生，请估计该校每天完成作业时间不低于120分钟的学生有多少人？
19. 已知一箱苹果比一箱梨子的价格高30元，且用400元购买苹果的箱数和用250元购买梨子的箱数相等．
（1）求苹果、梨子每箱各多少元？
（2）若要购进苹果、梨子共60箱，且苹果箱数不少于梨子的箱数的2倍，试求购买这两种水果总费用的最小值．
20. 如图，AB 是O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是O 的切线，D 为切点，连接BD ，过点O 作OF AD ⊥于点E ，交CD 于点F ．
（1）求证：ADC AOF ∠=∠；（2）若1
sin 3
C =
，8BD =，求OF 的长．21. 九年级（1）班同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展数学活动
.
的
AI AI
（1）如图①，ABC 为等边三角形，将ABC 绕点A 旋转180︒，得到ADE V ，连接BE ，则CBE =∠___︒， 若F 是BE 的中点，连接
AF ，则AF 与DE 的数量关系是
（2）如图②，（1）中的其他条件不变，将ABC 绕点A 逆时针旋转30︒，得到ADE V ，求出此时EBC ∠的度数及
AF 与DE 的数量关系；
（3）如图③，在Rt ABC △中，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 旋转，得到ADE V ，连接BE ，F 是BE 的中点，连接AF ，当15EBC ∠=︒时，求AF 的长.
22. 在平面直角坐标系中，抛物线2
12
y x bx c =-
++与x 轴交于()2,0A -、()4,0B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．（1）求抛物线表达式；
（2）点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，连接OP 交BC 于点Q ，连接BP ．当
1
2
=
PBQ OBQ
S S △△时，求点P 的坐标；（3）点M 为抛物线上的点，当BCM ACO ∠=∠时，直接写出点M
的坐标．
的
南山区前海学校2023-2024学年第二学期九年级开学考数学
试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1. 1
3的相反数是（）
A. 1
3
B.
1
3
± C.
1
3
- D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查相反数的定义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数．根据相反数的定义进行解答即可．
【详解】解：1
3
的相反数是
1
3
-，
故选：C．
2. 如图放置的几何体中，其主视图为长方形的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形是长方形的即可．
【详解】解：A、主视图为三角形，故本选项错误；
B、主视图为三角形，故本选项错误；
C、主视图为长方形，故本选项正确；
D、主视图为圆，故本选项错误．
故选：C．
3. 据有关部门统计，2023年国庆、中秋八天长假期间，广东累计接待游客63862000人次，将数63862000用科学记数法表示为（）
A. 86.386210⨯
B. 70.6386210⨯
C. 7
6.386210⨯ D.
8
0.6386210⨯【答案】C 【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中
110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n
的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：763862000 6.386210⨯=，故选：C ．
4. 下列计算正确的是（ ）A. 22
235a a a += B. ()2
2
36a a -= C. ()22a b a b
-=- D.
257
a a a ⋅=【答案】D 【解析】
【分析】本题考查积的乘方、同底数幂的乘法、乘法分配律、合并同类项，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法，计算出正确的结果．根据积的乘方、同底数幂的乘法、乘法分配律、合并同类项逐一判断即可求解．
【详解】A 、2a 与23a 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B 、
()
2
239a a -=，故此选项不符合题意；
C 、()222a b a b -=-，故此选项不符合题意；
D 、257a a a ⋅=，故此选项符合题意；
故选：D ．
5. 关于x 的不等式组解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组可以是（ ）
A. 13x x ≥-⎧⎨<⎩
B. 13x x ≥-⎧⎨>⎩
C. 13
x x >-⎧⎨≤⎩ D.
13
x x >-⎧⎨<⎩【答案】A 【解析】
【分析】根据不等式组的取值方法，图形结合即可求解．【详解】解：由数轴可知，该不等式组可以为1
3x x ≥-⎧⎨<⎩
，故选：A ．
【点睛】本题主要考查根据数轴表示的解判定不等式组的取值，掌握不等式组的取值方法，不等式组解集表示在数轴上的方法，图形结合分析是解题的关键．
6. 如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作BAD ∠的平分线AG 交BC 于点E ，若6BF =，5AB =，则tan DAE ∠=（ ）
A.
4
3
B.
54
C.
34
D.
53
【答案】C 【解析】
【分析】本题考查角平分线的作图和平行四边形的性质，勾股定理解直角三角形，等等，熟知相关知识是解题的关键．根据作图得到BAE DAE ∠=∠，然后得到AE 垂直平分线
BF ，利用勾股定理求出4AH =，然后利用正切值的概念求解即可．
【详解】如图所示，设AE 与BF 交于点H ，
由作法知5AB AF ==，
BAE DAE ∴∠=∠，
11
6322
BH FH BF ∴==
=⨯=，AH BF ⊥，
在Rt AFH △中，4AH ===，3
tan 4
FH DAE AH ∴∠=
=．故选：C ．
7. 在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x 棵，小敏平均每小时植树y 棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（ ）
A. 13218
y x x y -=⎧⎨
+=⎩ B. 12318
x y x y -=⎧⎨
+=⎩C. 13218x y x y +=⎧⎨
+=⎩ D. 13218
x y x y -=⎧⎨
+=⎩【答案】D 【解析】
【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意找到等量关系是解题的关键．【详解】解：设小刚平均每小时植树x 棵，小敏平均每小时植树y 棵，
由题意可得：1
3218x y x y -=⎧⎨+=⎩
，
故选：D ．
8. 如图，O 的半径为6cm ，四边形ABCD 内接于O ，连接OB 、OD ，若
BOD BCD ∠=∠，则 BD
的长为（ ）
A. 6π
B. 4π
C. 3π
D. 32
π【答案】B
【解析】【分析】本题考查了弧长公式，圆内接四边形的性质，圆周角定理．根据圆内接四边形的性质结合BOD BCD ∠=∠求得60A ∠=︒，再得到120BOD ∠=︒，利用弧长公式求解即可．
【详解】解： 四边形ABCD 内接于O ，
180BCD A ∴∠+∠=︒，
2BOD A ∠=∠Q ，BOD BCD ∠=∠，
2180A A ∴∠+∠=︒，
解得：60A ∠=︒，
120BOD ∴∠=︒，
∴劣弧BD 的长()12064cm 180ππ⋅⨯=
=；故选：B ．
9. 如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点(3,0)A ，对称轴为直线1x =，下列结论：①24b ac >；②20a b -=；③0a b c -+>；④若1(2,)M y -，2(5,)N y 为函数图象上的两点，则12y y <．其中正确的结论有（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点问题；根据图象可知函数与x 轴有两个交点，可判断①；由对称轴为直线12b x a
=-=，可判断②；由对称性可求该函数和x 轴的另一个交点为(1,0)-代入可判断③；由图象开口向上，再根据点到对称轴的距离越大，函数值也越大，可判断④；理解二次函数的图象与系数的关系是解题的关键.
【详解】根据图象可知：
函数与x 轴有两个交点，
240b ac ∴->，
24b ac ∴>，
故①正确； 12b x a
=-=，2b a ∴-=，
20a b ∴+=，
故②错误；
根据图象和(3,0)A ，对称轴为直线1x =可知，
该函数和x 轴的另一个交点为(1,0)-；
∴当=1x -时，0a b c -+=，
故③错误；
开口向上，
1(2)3--=，
514-=，
34∴<，
12y y ∴<，
故④正确．
故选：C ．
10. 如图，在平面直角坐标系中，ABC 为直角三角形，90ABC ∠=︒，顶点A ，B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点D 是斜边AC 的中点，若反比例函数(0)k y x x
=
<的图像经过D ，C 两点，4OA =，2OB =，则k 的值为（ ）
A. 8-
B. 56
9- C. 6- D. 64
9
-【答案】B
【解析】
【分析】设出点C 坐标，表示其中点D 坐标，利用反比例函数图像上点的坐标特征求出点C 的坐标再代入反比例函数的关系式可求出k 的值．
【详解】解：如图，过点C 作CE ⊥y 轴垂足为E
由于反比例函数y ＝k
x （x ＜0）的图像经过C 点，
可设点C （a ，k
a ），则CE ＝－a
点A （－4，0），点C （a ，k
a ），点D 是AC 的中点
点D （4
22a k
a －，）
又∵反比例函数y ＝k
x （x ＜0）的图像经过D 点，
4
22a k
a ∴⨯－＝k
解得a ＝4
3
-经检验a ＝4
3-是原方程的根，∴4
3
CE = ∠ABC ＝90°
∴∠ABO ＋∠CBE ＝90°
∠ABO ＋∠BAO ＝90°
∴∠BAO ＝∠CBE
∠AOB ＝∠BEC ＝90°
∴△AOB BEC ∴CE
OB
BE OA
=又∵A （－4，0），B （0，2），
∴OA ＝4，OB ＝2，
∴BE ＝2CE ＝8
3
∴OE ＝OB ＋BE ＝2＋
83＝143，∴点C （43-，143
）∴k ＝43-⨯143＝569
-，故选：B ．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，掌握反比例函数图像上点的坐标特征是解决问题的前提．
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 分解因式：244x -=_____________．
【答案】()()
411x x +-【解析】
【分析】提取公因式4后再运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：244
x -=24(1)x -
=()()
411x x +-故答案为：()()
411x x +-【点睛】此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式，关键是灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12. 在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红随机摸一个球，摸到白球的概率为0.2，则布袋中黑球的个数为__．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的解法，利用概率求数量，熟记概率公式是解本题的关键．
【详解】解：设黑球的个数为x ，则根据题意可得：
摸到白球的概率为
40.24x
=+，解得16x =，经经验，16x =是原方程的解，
∴黑球个数为16，
故答案为：16．
13. 关于x 的一元二次方程223(1)0x x m +--=有实数根，则m 的取值范围是__．【答案】18
m ≥-
##0.125m ≥-【解析】
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式为24b ac ∆=-，且当0∆>时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，该方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解： 关于x 的一元二次方程223(1)0x x m +--=有实数根，
∴[]224342(1)180
b a
c m m ∆=-=-⨯⨯--=+≥解得：18
m ≥-．故答案为：18m ≥-
．14. 如图，某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户AB 高为1.5米，BCD 表示直角遮阳棚，墙BC 长度为0.5米，此地一年的正午时刻，太阳光与地面的最大夹角为α，测得
5tan 3
α=，要使太阳光刚好不射入室内，遮阳棚水平宽CD 应设计为__米．
【答案】1.2
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意可知当太阳光线恰好与AD 平行时，此时太阳光刚好不射入室内，过点A 作地面的平行线
AF ，过点D 作DF AF ⊥，解Rt AFD △求出AF 的长即可得到答案．
【详解】如图，过点A 作地面的平行线
AF ，过点D 作DF AF ⊥， 太阳光与地面的最大夹角为α，
DAF α∴∠=，
CE 垂直于地面，
CE AF ∴⊥，
CD CE ⊥ ，DF AF ⊥，
∴四边形AFDC 是矩形，
CD AF ∴=，AC DF =，
1.5AB = 米，0.5BC =米，
1.50.52AC AB BC ∴=+=+=（米)，
2DF ∴=米，
5tan 3
α= ，∴53DF AF =，即253
AF =，解得 1.2AF =（米)，
∴遮阳棚水平宽CD 应设计为1.2米．
故答案为：1.2．
15. 如图，在矩形ABCD 中，AB BC <，点E ，F 分别在CD ，AD 边上，且BCE 与BFE 关于直线BE 对称．点G 在AB 边上，GC 分别与BF ，BE 交于P ，Q 两点．若
45
AB BC =，CE CQ =，则GP CQ =__．【答案】
910
##09【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判断与性质，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判断与性质是解题的关键．连接FQ ，根据题意可证明四边形CQFE 是菱形，从而得到AB FQ CE ∥∥，然后利用平行线分线段成比例可得:GQ CQ 的值，再证明BGQ 是等腰三角形，可得GBP QFP ∽，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接FQ
，
.
四边形ABCD 是矩形，
AB CD ∴∥，90BAF ∠=︒，BC AD =， 4
5AB
BC =，
∴设4AB a =，5BC a =，
BCE 与BFE 关于直线BE 对称，
5BF BC a ∴==，CQ FQ =，CE FE =，
3AF a ∴===，
532DF AD AF a a a ∴=-=-=，
CQ CE = ，
CQ FQ FE CE ∴===，
∴四边形CQFE 是菱形，
FQ CE ∴∥，
AB FQ CE ∴∥∥，∴33
22GQ
AF
a
CQ DF a ===，
∴设2CQ k =，3GQ k =，
CQ CE = ，
CQE CEQ ∴∠=∠，
AB CD ，
ABQ CEQ ∴∠=∠，
CQE GQB ∠=∠ ，
GBQ GQB ∴∠=∠，
BG QG ∴=，
AB FQ ∥，
ABF BFQ ∴∠=∠，BGQ ECQ ∠=∠，
GBP QFP ∴ ∽，∴32
GP BG GQ PQ FQ CQ ===，3955
GP GQ k ∴==，∴995210
k GP CQ k ==，故答案为：910
．三．解答题（共55分）
16.
计算：2
0120243tan 303-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭
【答案】8
-【解析】
【分析】本题考查含特殊角的三角函数的混合运算、负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算，掌握相关运算法则是关键．先化简各数，再加减运算即可．
【详解】解：2
0120243tan 303-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝
⎭193=-
8=-8=-．
17. 先化简，再求值：2421(1()326
a a a a -+-÷++，其中2a =．【答案】
2a 1
-，值为2．【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将a 的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：2421(1)(326
a a a a -+-÷++()2
342(3)31a a a a +-+=⋅+-()22(1)1a a -=
-21
a =-，当2a =时，原式2221
==-．18. 为了解双减背景下学生每天完成作业的时间情况，某中学对n 名学生每天完成作业时间进行抽样调查，根据时间（单位：分钟）分成()060E x ≤<，()6090D x ≤<，()90120C x ≤<，()120150B x ≤<．()150A x ≥五个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：
（1）n =________，m =________，扇形统计图中A 的圆心角度数为________；（2）补全条形统计图，学生每天完成作业时间的中位数落在________组；
（3）若全校共有2000名学生，请估计该校每天完成作业时间不低于120分钟的学生有多少人？
【答案】（1）40n =，20m =，36°
（2）图见解析，C
（3）800人
【解析】
【分析】（1）根据条形图和扇形图中C 组数据信息可求出总人数n ，从而求出D 所占的百分比即m ，再计算A 所占的圆心角即可；
（2）由（1）可求出B 组人数，结合条形统计图将数据从小到大排列即可分析出中位数；（3）用每天完成作业时间不低于120分钟的学生数即A 组、B 组的人数所占的比例乘以总人数即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可知：1025%40n =÷=（人）；
D 所占的百分比为：8100%20%40
⨯=20m ∴=，扇形统计图中A 的圆心角度数为：43603640︒⨯
=︒，故答案为：40，20，36︒；
【小问2详解】
由（1）可知，B 组人数为：
406810412----=（人）
补充条形统计图如图所示：
将所有数据从小到大排列，结合条形图可知：
第20和第21名数据落在C 组，故中位数落在C 组，
故答案为：C ；
【小问3详解】
由（2）可知该校每天完成作业时间不低于120分钟的学生约有：
124200080040
+⨯=（人），答：该校每天完成作业时间不低于120分钟的学生约有800人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合，中位数，以及用样本估计总体；解题的关键是根据条形统计图和扇形统计图求出样本容量．
19. 已知一箱苹果比一箱梨子的价格高30元，且用400元购买苹果的箱数和用250元购买
梨子的箱数相等．
（1）求苹果、梨子每箱各多少元？
（2）若要购进苹果、梨子共60箱，且苹果的箱数不少于梨子的箱数的2倍，试求购买这两种水果总费用的最小值．
【答案】（1）苹果的价格是80元/箱，梨子的价格是50元/箱
（2）购买这两种水果总费用最小值为4200元
【解析】
【分析】（1）设梨子每箱x 元,则一箱苹果()30x +元，根据用400元购买苹果的箱数和用250元购买梨子的箱数相等列出方程解决即可；
（2）设购进苹果m 箱，则购进梨子()60m -箱，根据苹果的箱数不少于梨子的箱数的2倍，可列出不等式求出m 取值范围，再设购买这两种水果总费用为w 元，得出w 关于m 的函数关系式，利用一次函数性质即可解决．
【小问1详解】
解：设梨子每箱x 元,则
40025030x x
=+，解得：50x =，
经检验，50x =是所列方程的解，且符合题意，
30503080x ∴+=+=．
答：苹果的价格是80元/箱，梨子的价格是50元/箱；
【小问2详解】
解：设购进苹果m 箱，则购进梨子()60m -箱，
根据题意得：()260m m ≥-，
解得：40m ≥．
设购买这两种水果总费用为w 元，
则()805060w m m =+-，
即303000w m =+，
300> ，
w ∴随m 的增大而增大，
的
∴当40m =时，w 取得最小值，最小值304030004200=⨯+=．
答：购买这两种水果总费用的最小值为4200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，解题关键是找准等量关系和数量关系列方程或函数关系式解决问题．
20. 如图，AB 是O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是O 的切线，D 为切点，连接BD ，过点O 作OF AD ⊥于点E ，交CD 于点F ．
（1）求证：ADC AOF ∠=∠；
（2）若1sin 3
C =，8B
D =，求OF 的长．【答案】（1）见解析
（2）6OF =【解析】
【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质，证明三角形相似，是解题的关键；
（1）根据切线的性质，结合等角的余角相等，即可得证；
（2）设O 的半径为r ，根据锐角三角函数的定义，推出4BC r =，证明CFO CDB △∽△，列出比例式进行求解即可。

【小问1详解】
证明：连接OD ，
CD 是O 的切线，D 是切点，
OD CD ∴⊥，
90CDO ∴∠=︒，
90ADC ADO ∴∠+∠=︒，
OF AD ⊥ 于点E ，
90OEA ∴∠=︒，
90AOF DAO ∴∠+∠=︒，
OA OD = ，
ODA DAO ∴∠=∠，
∴∠=∠ADC AOF ；
【小问2详解】
解：设O 的半径为r ，则OD OB r ==，
1sin 3
OD C OC == ，3OC r ∴=，4BC r =，
AB 是O 的直径，
90ADB ∴∠=︒，
OF AD ⊥ 于点E ，
90AEO ∴∠=︒，
90AEO ADB ∴∠=∠=︒，
OF BD ∴ ，
CFO CDB ∴△∽△，∴
OF OC BD BC
=，∴384OF r r =，6OF ∴=．
21. 九年级（1）班同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展数学活动.
AI AI
（1）如图①，ABC 为等边三角形，将ABC 绕点A 旋转180︒，得到ADE V ，连接BE ，则CBE =∠___︒， 若F 是BE 的中点，连接AF ，则AF 与DE 的数量关系是 （2）如图②，（1）中的其他条件不变，将ABC 绕点A 逆时针旋转30︒，得到ADE V ，求出此时EBC ∠的度数及AF 与DE 的数量关系；
（3）如图③，在Rt ABC △中，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 旋转，得到ADE V ，连接BE ，F 是BE 的中点，连接
AF ，当15EBC ∠=︒时，求AF 的长.【答案】（1）90；12
AF DE =
（2）15EBC ∠=︒，AF DE =
（3或1
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得60ABC BAC C ∠=∠=∠=︒，由旋转的性质得AE AC AB ==，可求得30AEB ABE ∠=∠=︒，即可求得CBE ∠，由中位线定理即可得到AF 与DE 的数量关系．
（2）由旋转的性质可得90BAE ∠=︒，AE AC AB ==，根据等边对等角求得45ABE AEB ∠=∠=︒，进而可求得EBC ABC ABE ∠=∠-∠，由F 是BE 的中点，利用
等腰直角三角形的特征可得AF AB =，即可求得AF 与DE 的数量关系．（3）根据等边对等角求得45ABE AEB ∠=∠=︒，分两种情况：当点E 在BC 下方时，当点E 在BC 上方时，根据等腰三角形三线合一及30︒角所对的直角边等于斜边一半和勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：ABC 为等边三角形，将ABC 绕点A 旋转180︒得到ADE V ，
AC AE AB BC \===，
AEB ABE ∴∠=∠，ABC C ∠=∠，
()2180ABE ABC \Ð+Ð=°，
90CBE ∴∠=︒，
F 是BE 的中点，A 是CE 的中点，
12
AF DE ∴=，故答案为：90；12AF DE =
．【小问2详解】
由旋转性质，可知：
的
AB AD AE DE ===，30BAD ∠=︒，60∠∠︒DAE BAC ==，
90BAE BAD DAE \Ð=Ð+Ð=°，
ABE ∴ 是等腰直角三角形，
45ABE ∴∠=︒，
15EBC ABC ABE \Ð=Ð-Ð=°，
F 是BE 的中点，
AF AB \，
AF ∴=．
【小问3详解】
分两种情况进行讨论：
①如图，当点E 在BC 下方时，
根据题意，得ABC 为等腰直角三角形，
45ABC ∴∠=︒，
15EBC ∠=︒ ，
60ABF ∴∠=︒，
AB AE = ，F 是BE 的中点，
AF BE ∴⊥，
AF AB \②如图，当点E 在BC 上方时，
2AB AC == ，90BAC ∠=︒，
45ABC ACB ∴∠=∠=︒，
15EBC ∠=︒ ，
30ABF ABC CBE ∴∠=∠-∠=︒，
由旋转的性质得：AE AC AB ==，
F 是BE 的中点，
AF BE ∴⊥，
112122
AF AB ∴==⨯=综上所述，AF
1．
【点睛】本题是考查了旋转性质，等边三角形的性质，等腰三角形三线合一，直角三角形的特征，勾股定理，熟练掌握知识点，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．22. 在平面直角坐标系中，抛物线212
y x bx c =-++与x 轴交于()2,0A -、()4,0B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，连接OP 交BC 于点Q ，连接BP ．当12
=PBQ
OBQ S S △△时，求点P 的坐标；（3）点M 为抛物线上的点，当BCM ACO ∠=∠时，直接写出点M 的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为2142y x x =-
++； （2）()2,4P
（3）点M 的坐标为828,
39⎛⎫ ⎪⎝⎭
或()8,20-．【解析】分析】（1
）运用待定系数法即可求得答案；
的【
（2）运用待定系数法求得直线BC 的解析式为4y x =-+，如图1，过点P 作PD y ∥轴交BC 于点D ，设P （m ，-1
224m m ++）
，则D （m ，4m -+），证明PDQ OCQ ∽，得出：2212112(2)482
m m PQ PD m OQ OC -+===--+，根据已知条件可
得出答案；
（3）分当点M 在x 轴下方和当点M 在x 轴上方两种情况讨论，利用三角函数的定义求解即可．
【小问1详解】
解： 抛物线212
y x bx c =-
++与x 轴交于A （2-，0）、B （4，0）两点（点A 在点B 的左侧），∴()221220214402b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩，解得：14b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的函数表达式为2142y x x =-
++；【小问2详解】
解： 抛物线2142
y x x =-++与y 轴交于点C ，∴()0,4C ，
∴4OC =，
设直线BC 的解析式为y kx d =+，把()4,0B ，()0,4C 代入，得：
404k d d +=⎧⎨=⎩，解得14k d =-⎧⎨=⎩
，∴直线BC 的解析式为4y x =-+，
如图，过点P 作PD y ∥轴交BC 于点D ，
设21,42P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
，则(),4D m m -+，∴2122
PD m m =-+， PD OC ∥，
∴PDQ OCQ ∽△△，∴()22121122482
m m PQ PD m OQ OC -+===--+， 12
=PBQ
OBQ S S △△∴12
PQ OQ =，∴当2m =时，
12PQ OQ =，此时，()2,4P ；【小问3详解】
解：①如图，当点M 在x 轴下方时，在x 轴上取一点F ，使BCF ACO ∠=∠，延长CF 交抛物线于点1M ，过点F 作FG BC ⊥于点G ，过点G 作GH AB ⊥于点H
．
点B ，C 的坐标分别为()4,0，()0,4，
∴OB OC =，
∴45CBO ∠=︒，
∴FG BG =， 2
1
tan tan 42OA
BCM ACO OC ∠=∠===，
∴22CG FG BG ==．
在Rt BOC
中，BC ==，设FG BG n ==，
则2CG n =，3BC n =，
∴3n =
，解得n =，
∴8
3BF ==，∴4
3OF OB BF =-=，
∴点F 的坐标为4,03⎛⎫
⎪⎝⎭．
设直线CF 的表达式为11y k x b =+，∴1114
034
k b b ⎧
+=⎪⎨⎪=⎩
，
∴11
34k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CF 的表达式为34y x =-+，∴214234
y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=-+⎩，解得1104x y =⎧⎨=⎩（舍去），22
820x y =⎧⎨=-⎩，∴点M 的坐标为()8,20-．
②如图，当点M 在x 轴上方时，过点B 作BH BC ⊥，交2CM 于点H ，过点H 作HN x ⊥轴于点N ，
∴90CBH ∠=︒．
OB OC =，
∴45CBO ∠=︒，
∴45BHN HBN ∠=∠=︒，
∴BN HN =．
BCM ACO ∠=∠，∴21tan tan 42BH OA BCM ACO BC OC ∠=∠=
===，
∴12
BH BC ==，∴2
HN BN ==∴6ON OB BN =+=
，
∴点H的坐标为()
6,2．
设直线CH的表达式为y px q
=+，
∴
62
4
p q
q
+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
1
3
4
p
q
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴直线CH的表达式为
1
4
3
y x
=-+，
∴
2
1
4
2
1
4
3
y x x
y x
⎧
=-++⎪⎪
⎨
⎪=-+
⎪⎩
解得1
10 4
x y =
⎧
⎨
=⎩（舍去），
2
2
8
3
28
9
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴点M的坐标为
828
,
39
⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
综上可知，点M的坐标为
828
,
39
⎛⎫
⎪
⎝⎭
或()
8,20
-．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．。