高考练习之求极值的方法与技巧

求极值的方法与技巧

极值一般分为无条件极值和条件极值两类。

无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；

条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。

一、求解无条件极值的常用方法

1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型

定理1(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令

f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,

则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下：

(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值；

(2) AC -B 2<0时没有极值；

(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值。

极值的求法：

第一步 解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0, 求得一切实数解, 即可得一切驻点。

第二步 对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C 。

第三步 定出AC -B 2的符号, 按定理1的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值 还是极小值。

应注意的几个问题：

⑴对于二元函数z =f (x , y ),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；

⑵AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值，还需另作讨论；

⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。

例1求函数2222()()x y z x y e -+=+的极值。

解 令222222()22()2(1)02(1)0x y x y z x x y e x z y x y e y

-+-+∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩

得驻点(0,0)及22 1.x y +=

又由22222222()2[2(13)4(1)]x y z y x x x y e x

-+∂=-----∂ 22222()4(2)x y z xy x y e x y

-+∂=---∂∂ 22222222()2[2(13)4(1)]x y z x y y x y e y

-+∂=-----∂ 22(0,0)2,z A x ∂==∂ 2(0,0)0,z B x y ∂==∂∂ 22(0,0)

2z C y ∂==∂ 240,0B AC A ∆=-=-<>

故(0,0)0f =为极小值。

由于2222121

4,x y z A x e x -+=∂==-∂

222114,x y z B xye x y

-+=∂==-∂∂ 2222121

4x y z C y e y -+=∂==-∂

20B AC ∆=-=，此时有通常的方法无法判定。

令22(0)x y t t +=≥，则t z te -=，由

(1)0t dz e t dt

-=-= 得驻点 1.t = 又21211(2)0t t t d z t e e dt --===-=-<

故t z te -=在1t =处取极大值，即函数2222()()x y z x y e -+=+在圆周221x y +=上取极大值1.z e -=

2．对于三元及更多元的函数定理1并不适用，而在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决。

定义 1 设n 元函数12()(,,)n f X f x x x = 在12(,,,)T n n X x x x R =∈ 的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导

数。 记1

2()()()(),,,n f X f X f X f X x x x ⎛⎫∂∂∂∇= ⎪∂∂∂⎝⎭ , ()f X ∇称为函数()f X 在点12(,,,)T n X x x x = 处的梯度。 定义2 满足0()0f X ∇=的点0X 称为函数()f X 的驻点。

定义3 222211212222212()()()()()()

()()n i j n n n n n f X f X f X x x x x x f X H X x x f X f X f X x x x x x ⨯⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪⎛⎫∂ ⎪== ⎪ ⎪∂∂ ⎪⎝⎭∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭

称为函数12()(,,)n f X f x x x = 在点n X R ∈处的黑塞矩阵。显然()H X 是由()f X 的2n 个二阶偏导数构成的n 阶实对称矩阵。

定理2(极值存在的必要条件) 设函数()f X 在点000012(,,,)T n X x x x = 处存在一阶偏导数，

且0X 为该函数的极值点，则0()0f X ∇=。

定理3(极值的充分条件) 设函数()f X 在点0n X R ∈的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且

00001

2()()()(),,,0n f X f X f X f X x x x ⎛⎫∂∂∂∇== ⎪∂∂∂⎝⎭ 则(1)当0()H X 为正定矩阵时，0()f X 为()f X 的极小值

(2)当0()H X 为负定矩阵时，0()f X 为()f X 的极大值

(3)当0()H X 为不定矩阵时，0()f X 不是()f X 的极值。

应注意的问题：

利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立.

例1 求三元函数222(,,)23246f x y z x y z x y z =++++-的极值。

解 先求驻点，由

220440660

x y z f x f y f z ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=-=⎩ 得1,1,1x y z =-=-=

所以驻点为0(1

,1,1)P --。 再求(Hessian)黑塞矩阵

因为2,0,0,4,0,6xx xy xz yy yz zz f f f f f f ======