高中数学第三章导数及其应用3-3导数在研究函数中的应用学案苏教版选修1

高中数学第三章导数及其应用3-3导数在研究函数中的应用学案苏教版
选修1
3．3.1 单调性
已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝.
问题1：试作出上述三个函数的图像．
提示：图像为
问题2：试根据上述图像说明函数的单调性．
提示：函数y1＝x在R上为增函数，y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋
∞)上为增函数，y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．
问题3：判断它们导函数的正负．
提示：y1′＝1>0；y2′＝2x，
当x>0时，y2′>0，
当x<0时，y2′<0，y3′＝－<0.
问题4：由问题2、3试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．提示：当f′(x)>0时，f(x)为增函数，当f′(x)<0时，f(x)为减函数．问题5：试用y＝ex，y＝e－x说明函数的单调性与其导函数正负的关系．
提示：y＝ex的导函数y′＝ex>0，所以y＝ex在R上为增函数，y＝e－x的导
函数y′＝－e－x<0，所以y＝e－x在R上为减函数．
一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系
1
切线的斜率大于零，函数单调增加；即该函数是增函数；反之，函数为减函数．2．在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件，若出现个别点的导数为零，不影响函数在该区间上的单调性．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，而f(x)＝x3在R上是增函数．
[例1]
[思路点拨] 先利用求导法则求出导数f′(x)，再证明f′(x)在内恒正，得出结论．
[精解详析] ∵函数f(x)＝sin x＋tan x在内恒有意义，且f′(x)＝(sin x)′＋(tan x)′
＝cos x＋－
cos2x
＝cos x＋＝.
又∵x∈，
∴0<cos x≤1，
∴f′(x)>0，
∴y＝f(x)在内为增函数．
[一点通]
用导数判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的步骤：
(1)求出y＝f(x)的导数f′(x)；
(2)证明导数y＝f′(x)在区间(a，b)内恒正(恒负)；
(3)下结论y＝f(x)在区间(a，b)内为增函数(减函数)．
1．已知函数y＝f(x)，x∈[0,2π]的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则y ＝f(x)的单调增区间为________．
解析：根据f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
f′(x)<0时，f′(x)单调递减，
由图得到x∈[0，π]时，f′(x)>0，
故y＝f(x)的单调增区间为(0，π)．
答案：(0，π)
2．讨论下列函数的单调性：
(1)f(x)＝x3＋ax；
(2)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)．
解：(1)f′(x)＝3x2＋a.
①当a≥0时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增．
②当a<0时，f′(x)＝3(x＋)(x－)．易知当x≤－时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增．。