上海市上海大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

上海市上海大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考
试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．不等式201
x x +<-的解集为. 2．已知复数1i z =-（i 为虚数单位），则满足z w z ⋅=的复数w 为.
3．已知向量(1,2)a =-r ，(3,4)b =r ，则向量a r 在向量b r 方向上的数量投影为.
4．在ABC V 中，D 为BC 边上一点，且满足2BD DC =，设A D x A B yA C
=+u u u r u u u r u u u r ，则3x y -=. 5．若3sin ,,452⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
ππθθπ，则cos θ=. 6．若函数tan y x ω=在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上为严格增函数，则实数ω的取值范围是. 7．已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数()y f x =在区间[](),a b a b <上的取值范围与在区间[],b a --上的取值范围是相同的；②周期函数()y f x =在一个周期内的取值范围也就是()y f x =在定义域上的值域，由此可求函数(
)tan g x x x =+的值域为.
8．已知正六边形ABCDEF 的边长为2，点P 为其边界上的一个动点，则AB AP ⋅u u u r u u u r
的取值范围是. 9．如图所示为()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤ ⎪⎝
⎭的部分图像，点A 和点B 之间的距离为5，那么()1f -=.
10．已知()[]()()2024sin π0,2log 12,x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩
，，，若满足()()()f a f b f c ==（,,a b c 互不相等），则a b c ++的取值范围是.
11．若平面上的三个单位向量a r 、b r 、c r 满足12a b ⋅=r r
，a c ⋅r r ，则b c ⋅r r 的所有可能的值组成的集合为．
12．已知k 是正整数，且12024k ≤≤
，则满足方程
sin1sin2sin sin1sin2sin k k ︒︒+︒+⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅︒︒︒的k 有个.
二、单选题
13．已知a 、b ∈R ，a b >，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A ．22a b +>+
B ．22a b >
C ．22a b >
D ．1122a b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 14．下列各项与sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭
一定相等的是（ ） A ．cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝
⎭ B ．3sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．cos()πα-
D ．sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭ 15．已知a r 、b r 均为非零向量，有下列四个命题：
①若m 为任意实数，则a b =r r 是ma mb =r r 的充分非必要条件； ②已知a r 、b r 为两个不平行向量，则0a b λμ+=r r r 是0λμ==的必要非充分条件；
③“//a b r r ”是“a b a b
=r r r r ”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
16．已知(
)3x x f x x ⎧=，为无理数
为有理数，有下列两个结论： ①设()f x 的值域为A ，则[)0,R A ∞+⊂⊂；
②对于任意的正数a ，()()g x f x a =-存在奇数个零点.
则下列判断正确的是（ ）
A ．①②均正确
B ．①②均错误
C ．①对②错
D ．①错②对
三、解答题
17．已知a r ，b r 满足1a =r ，3b =r ，π,3
a b =r r ，求2a b -r r . 18．已知幂函数()()223Z m m f x x m --=∈为奇函数，且在区间()0,∞+上是严格减函数.
(1)求函数()y f x =的表达式；
(2)对任意实数1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，不等式()4x f x t ≤+恒成立，求实数t 的取值范围.
19．已知ABC V 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量()m a b =r ,，
()sin ,sin n B A =r ，()2,2p b a =--r .
(1)若m n r r ∥，试判断ABC V 的形状并证明；
(2)若m p ⊥r r ，边长c =π3
C =，求ABC V 的面积. 20．某农场计划圈出一块平面四边形区域种植两种农作物.如图，经测量已知
4AB BC CD ===，AD =现在将BD 连接，在ABD △区域内种植农作物甲，在BCD △区域内种植农作物乙.
(1)计算发现：无论BD cos A C -始终为定值.请你验证该结论，并求出这个定值；
(2)已知农作物甲的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为1；农作物乙的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为2.记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S .请你帮助该农场规划四边形区域的大小，使得该种植计划经济收益最大.
21．已知()()22sin cos cos 0f x x x x x ωωωωω=+->的最小正周期为π.
(1)化简函数()y f x =的表达式，并求出ω的值；
(2)若不等式()2f x m -<在π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上有解，求实数m 的取值范围； (3)将函数()y f x =图像上所有的点向右平移ϕ（2π0,ϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
）个单位长度，得到函数()y g x =，且()y g x =为偶函数.若对于任意的实数a ，函数()y g x λ=，,5πx a a ⎡⎤∈+⎢⎥⎣
⎦与1y =的公共点个数不少于6个且不多于10个，求实数λ的取值范围.。