第6章++水力压裂力学
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
块体（椭圆）模型中，假设垂向剖面由中心相连 的两个半椭圆组成，每一时间步长计算出水平裂 缝和井筒中裂缝缝端的垂向延伸，假设的裂缝形 态也要拟合到这些位置；采用固有的假设条件， 分析得到：流体沿射孔到椭圆边缘的流线流动， 而且流线有专门的形状。
单元体模型将裂缝视为一系列相连的单元对待， 不需要对裂缝形态进行假设，但一般假设为平面 应变，流体垂向流动计算与裂缝几何形状之间没 有做完全耦合。
压裂设计是通过由Carter的方法得到与时间有 关的缝长与由Kern模型确定的缝宽之间反复迭代， 直到得到相容解
Nordgren（1972）
连续性方程（即质量守恒）：
qx qL
A0 t
（6.18）
q —— 流体通过某一横截面的体积流速 A—— 裂缝的横截面积（对于PKN模型为πwhf/4） qL——单位长度上滤失体积流速 qL 2hfuL
为了包括瞬时滤失Sp的影响，应该以 ww+(8/π)Sp代替ww 。
6.2.2.4 PKN 和 KGD 模型的假设
平面裂缝（裂缝沿最小主应力垂直方向扩展） 流动沿缝长一维流动 流体为牛顿流体 滤失特性由滤失理论（6.13）得到的简单表达式所控制 地层岩石为连续、均匀、各向同性的线弹性体 裂缝被认为缝高不变，完全在某一给定的地层中扩展
R3 23F3E2 312 2qit
（6.7）
整理得到R：
15
R12981Eqi22t22qit
（6.8）
6.2.2 水力压裂二维模拟
PKN模型
假设每一垂向截面独立作用，即假设截面的压力是由
高度控制的而非由缝长控制的。
在缝长远大于缝高的条件下成立 没有考虑断裂力学和缝端的影响，而主要考虑了缝内
假设裂缝是平面的，并且其方向与最小主应 力方向垂直，没有考虑由于偏离平面引起的 复杂状况
这种模型的模拟软件也需大量的计算，一般 不用于常规压力设计
模型用于研究裂缝的主体在裂缝起裂地层以 外或者压裂液垂向流动比水平流动更强烈的 情况
这种模型在6.3.1节介绍
拟三维模型
主要类型有块体和单元体两种
第6章 水力压裂力学
6.1 引言 6.2 早期水力压裂模拟 6.3 三维和拟三维模型 6.4 滤失 6.5 支撑剂铺置 6.6 热传递模型
第6章 水力压裂力学
6.7 缝端效应 6.8 裂缝弯曲以及其它近井筒效应 6.9 酸压裂 6.10 多层压裂 6.11 泵注程序设计 6.12 压裂历史拟合
L pnetxdx 0 （6.23）
0 1x L2
裂缝宽度方程：
ww
4 E
Lpnet
（6.24） 图6.3 Barenblatt 的缝端状况
通过解方程（6.22）至方程（6.24）三个方程，得 到Perkins和Kern（1961）给出的表达形式。
14
pnet,w
6241hqf Li 2
定义平面应变模量E‘更为方便：
E
1
E
2
（6.5）
Perkin 和 Kern （1961）
径向裂缝扩展的压力：
pnet
3213F23E2V2
1
5
（6.6）
泵注排量qi保持不变，裂缝中的流体摩擦阻 力不计，没有滤失时：
15
பைடு நூலகம்
qi 161 3E 2
D Dxut p x2zu2xgx
假设流动为稳定流动，得到：
（6.35） （6.36） （6.37）
p x
2zu2x
64CL5Ehf
3qf 2
23
t
（6.20）
6.2.2.3 Khristianovich-geerssma-de Klerk 模型的导出
Khristianovich 和 Zheltov（2019）导出了缝高远大于 缝长，即离开井筒任意距离时缝宽与垂向位置无关 这种水力裂缝延伸的解。
6E 拟三维模型中的水平耦合
质量守恒方程（描述流体流动）：
w xx u w yy u tw 2 u L 0 （6.32）
上式中的前两项与质量流量的矢量的变化有关， 后两项分别表示由宽度增加和滤失引起的流体存储。
可以写为矢量形式：
这种模型在 6.3.2 和 6.3.3 节介绍
6.3.1 平面三维模型
定义：缝内流体的二维流动与岩石三维弹性响应耦 合的模型。
任意水力压裂模型求解的复杂性在于不同过程 裂缝的几何形状和流体流动的密切耦合。在求解过 程中应考虑的问题：
已知形态和压力的裂缝的宽度剖面
裂缝形态
已知形态和宽度（已知几何形状）的裂 缝内的流体流动
流体的流动以及相应的压力梯度的影响
KGD模型
假设每一水平截面独立作用，即假设裂缝面任一点处裂
缝宽度沿垂向变化远比水平方向的变化慢。
在缝高远大于缝长或者储积层边界产生完全滑移的条件
下成立
缝端区域起着很重要的作用，而缝内压力可以估算
6.2.2.1 垂向裂缝的Perkins 和 Ken模型的推导
6.1 引 言
水力压裂力学是对压裂工艺和压裂机理的简单描述。 水力压裂力学
流体力学
固体力学
断裂力学
描述单相、两相 或三相流体在裂
缝中的流动
描述由于流体压 力变化引起的 岩石变形或张开
描述与水力裂缝 端部附近发生的 破坏和裂开的
各种内容
所有的响应是耦合的，相互影响
热力学
描述压裂流体 与地层之间的
热交换
解决办法： 利用平面三维3D和拟三维（P3D）模型来弥补
包括缝高增长的三种主要水力压裂模型
普通三维模型
没有对裂缝方位作假设 计算量大，需要专人对结果作解释 模型适合于研究水力裂缝起裂的细节以及 近
井筒的复杂情况，而非裂缝整个延伸过程
在此不对该模型作进一步的讨论。
平面三维模型
（6.1）
V1（ 612）R3
3E
pnet
半径为R的裂缝扩展的压力：
（6.2）
pnet
F E 212 R
（6.3）
对于缝高hf不变和无限大（即平面应变）裂 缝其最大宽度为：
w2pnehtf 12 E
（6.4）
裂缝的形状为椭圆，平均缝宽 w4w。
6.2.2.2 模型中考虑流体滤失
Cater（1957）
裂缝任一点处的滤失速度：
uL
CL t texp
CL——滤失系数
texp——该点滤失速率
质量平衡方程：
qi qLqf
（6.13） t——当前时间 uL——持续的时间
（6.14）
qL —— 整个裂缝的滤失速度 qf —— 缝内流体存储体积流速
假设流体滤失对裂缝形态或压力分布没有影响， 将模型推广到包括流体滤失的情况下：
一个两翼KGD裂缝的体积为：
Vf
2
hf
Lww
（6.29）
运用体积平衡和与Carter相似的解法，得到：
L qiww 6C 4Lhf
es2erfSc
21
（6.30）
其中：
S 8CL t ww
对于x分量
方程（6.34）变为：
D D x u t p x x xx y yx z zx gx
应力与流速之间的本构方程：
xz
zx
ux
z
yz
zy
uzy
方程（6.34可写为）：
压力和缝宽的关系
Hirth 和Lother（1968）以及Bui（1977） 裂缝中压力和缝宽的关系式：
w x,yfxx,yyp x,y x,yd xd y
（6.31）
式中：σ——应力
f —— 弹性影响函数，一般情况下只有 对于均质线弹性材料，才可以导出该方程的可 用的形式（见旁注6E）。在实际应用中，一般 假设岩石为各向同性。
通过假设缝内流速恒定；除缝端没有流体穿 透（即没有压力）外，缝中的压力大部分处的压 力以定压近似。可用解析法解该问题。
流体滞后的概念一直是缝端力学的中的重要组 成部分，已经在现场得到证明（Warpinski，1985）。 如果缝端无流体穿透区很小（约为总缝长的百分之 几），他们发现裂缝主体中沿整个缝的压力几乎等 于井中的压力，只是在靠近缝端剧减。
假设裂缝在空间和时间上都保持恒定，上式变为：
即：
qi 2Af0tuLdAf wAtf qi 20 tultA f dA f wA tf
利用拉普拉斯变换得到：
（6.15） （6.16）
Af 4qiC w L2es2erfSc21 （6.17）
PKN模型假设缝长远大于缝高，忽略了有关断裂力学
的影响
KGD模型假设缝高远大于缝长，包括了缝端动态过程
控制裂缝延伸的假设
6.3 三维和拟三维模型
前面简单模型的局限性： 需要给定缝高或假设产生的是径向缝
原因： 不能断定裂缝是否被限制在某一特定的地层中 由井筒（压力最高处）至缝端的过程中缝高是 变化的
开发和利用水力压裂施工的重要原因
进行经济优化
（确定多大施工规模得到最高回报率）
泵注程序优化
模拟特定的泵注程序得到相应
的裂缝几何形状和支撑剂铺置
施工评估
6.2 早期水力压裂模拟
6.2.1 基本的压裂模拟
Sneddon 和 Elliot（1946）
半径为R的静态扁平裂缝的宽度：
w (r)8p(R 1E 2) 1(rR)2 椭圆裂缝的体积为：
流动的基本方程：
dp dx
64q hf w3
将缝宽方程 （6.4） 代入上式
（6.9）
并用注入速度的一半代替q，并假设流速沿缝不变得到：
pne3tdpnet4
qiE3
hf 4
dx
（6.10）
沿裂缝半长L对上式积分，并利用边界条件pnet=0 得到：
14
pnet
16qiE3 hf 4
裂缝的形态随时间不断演化，假设该过程用线 弹性断裂力学描述。
• 简单的裂缝形态和缝内压力分布如定压下的 椭圆形裂缝，破裂准则：方程（6.3）
• 复杂的裂缝形态和压力分布，破裂准则用缝端
附近的缝宽和临界应力集中系数或断裂韧性
KIC表示：
wx 4 2KIC x
E
（6.32）
式中：x——距离缝端的距离
E3
（6.25）
井壁裂缝宽度：
14
ww
84
qiL2
Ehf
（6.26）
在没有滤失的情况下，解得缝长和缝宽:
16
Lt0.38
Eqi3
hf 3
t2 3
（6.27）
ww
1.48
qi3
Ehf 3
16
t1
3
（6.28）
Geertsma 和 de Klerk（1969）对于缝端区域很小这 个问题给出了解。
对于矩形横截面，流动的基本方程为：
dp dx
12 q
hf w3
（6.21）
可以积分形式写为：
pnet
6qi
hf
L 0
dx w3
（6.22）
应用Barenblatt缝端条件，意味着应力集中 系数为零。
L
（6.11）
实际的裂缝宽度：
w(x)3qiELx1/4
重要发现：
（6.12）
• 垂向平面应变特性的假设
• 断裂韧性可忽略（裂缝延伸所需的能量远比流体沿 缝长方向流动所需的能量最小）
• 缝中流体滤失和存储或者体积变化可以忽略的假设
• 固定缝高的假设
• 没有直接给出作为解的一部分
w u tw 2uL0
（6.33）
动量守恒方程：
Du pg
Dt
（6.34）
式中：τ——剪应力 g —— 重力加速度
方程（6.34）的左边为动量改变速率；右边分 别为压力、粘滞力和重力，它可解释为小的流体 单元在力的作用下而加速。该方程可以扩展并根 据压裂地层的不同形状而简化（见旁注6F）。
其中：uL由方程（6.13）得到，横截面面积不是 裂缝面的面积Af
压力用缝宽表示代替，方程（6.18）写为：
E
12h8f
2xw 24
t8C teLxpxw t
（6.19）
以无量纲形式对该方程数值求解，得到与时间有 关的缝宽和缝长。方程解中的无量纲时间定义如 下：
tD
单元体模型将裂缝视为一系列相连的单元对待， 不需要对裂缝形态进行假设，但一般假设为平面 应变，流体垂向流动计算与裂缝几何形状之间没 有做完全耦合。
压裂设计是通过由Carter的方法得到与时间有 关的缝长与由Kern模型确定的缝宽之间反复迭代， 直到得到相容解
Nordgren（1972）
连续性方程（即质量守恒）：
qx qL
A0 t
（6.18）
q —— 流体通过某一横截面的体积流速 A—— 裂缝的横截面积（对于PKN模型为πwhf/4） qL——单位长度上滤失体积流速 qL 2hfuL
为了包括瞬时滤失Sp的影响，应该以 ww+(8/π)Sp代替ww 。
6.2.2.4 PKN 和 KGD 模型的假设
平面裂缝（裂缝沿最小主应力垂直方向扩展） 流动沿缝长一维流动 流体为牛顿流体 滤失特性由滤失理论（6.13）得到的简单表达式所控制 地层岩石为连续、均匀、各向同性的线弹性体 裂缝被认为缝高不变，完全在某一给定的地层中扩展
R3 23F3E2 312 2qit
（6.7）
整理得到R：
15
R12981Eqi22t22qit
（6.8）
6.2.2 水力压裂二维模拟
PKN模型
假设每一垂向截面独立作用，即假设截面的压力是由
高度控制的而非由缝长控制的。
在缝长远大于缝高的条件下成立 没有考虑断裂力学和缝端的影响，而主要考虑了缝内
假设裂缝是平面的，并且其方向与最小主应 力方向垂直，没有考虑由于偏离平面引起的 复杂状况
这种模型的模拟软件也需大量的计算，一般 不用于常规压力设计
模型用于研究裂缝的主体在裂缝起裂地层以 外或者压裂液垂向流动比水平流动更强烈的 情况
这种模型在6.3.1节介绍
拟三维模型
主要类型有块体和单元体两种
第6章 水力压裂力学
6.1 引言 6.2 早期水力压裂模拟 6.3 三维和拟三维模型 6.4 滤失 6.5 支撑剂铺置 6.6 热传递模型
第6章 水力压裂力学
6.7 缝端效应 6.8 裂缝弯曲以及其它近井筒效应 6.9 酸压裂 6.10 多层压裂 6.11 泵注程序设计 6.12 压裂历史拟合
L pnetxdx 0 （6.23）
0 1x L2
裂缝宽度方程：
ww
4 E
Lpnet
（6.24） 图6.3 Barenblatt 的缝端状况
通过解方程（6.22）至方程（6.24）三个方程，得 到Perkins和Kern（1961）给出的表达形式。
14
pnet,w
6241hqf Li 2
定义平面应变模量E‘更为方便：
E
1
E
2
（6.5）
Perkin 和 Kern （1961）
径向裂缝扩展的压力：
pnet
3213F23E2V2
1
5
（6.6）
泵注排量qi保持不变，裂缝中的流体摩擦阻 力不计，没有滤失时：
15
பைடு நூலகம்
qi 161 3E 2
D Dxut p x2zu2xgx
假设流动为稳定流动，得到：
（6.35） （6.36） （6.37）
p x
2zu2x
64CL5Ehf
3qf 2
23
t
（6.20）
6.2.2.3 Khristianovich-geerssma-de Klerk 模型的导出
Khristianovich 和 Zheltov（2019）导出了缝高远大于 缝长，即离开井筒任意距离时缝宽与垂向位置无关 这种水力裂缝延伸的解。
6E 拟三维模型中的水平耦合
质量守恒方程（描述流体流动）：
w xx u w yy u tw 2 u L 0 （6.32）
上式中的前两项与质量流量的矢量的变化有关， 后两项分别表示由宽度增加和滤失引起的流体存储。
可以写为矢量形式：
这种模型在 6.3.2 和 6.3.3 节介绍
6.3.1 平面三维模型
定义：缝内流体的二维流动与岩石三维弹性响应耦 合的模型。
任意水力压裂模型求解的复杂性在于不同过程 裂缝的几何形状和流体流动的密切耦合。在求解过 程中应考虑的问题：
已知形态和压力的裂缝的宽度剖面
裂缝形态
已知形态和宽度（已知几何形状）的裂 缝内的流体流动
流体的流动以及相应的压力梯度的影响
KGD模型
假设每一水平截面独立作用，即假设裂缝面任一点处裂
缝宽度沿垂向变化远比水平方向的变化慢。
在缝高远大于缝长或者储积层边界产生完全滑移的条件
下成立
缝端区域起着很重要的作用，而缝内压力可以估算
6.2.2.1 垂向裂缝的Perkins 和 Ken模型的推导
6.1 引 言
水力压裂力学是对压裂工艺和压裂机理的简单描述。 水力压裂力学
流体力学
固体力学
断裂力学
描述单相、两相 或三相流体在裂
缝中的流动
描述由于流体压 力变化引起的 岩石变形或张开
描述与水力裂缝 端部附近发生的 破坏和裂开的
各种内容
所有的响应是耦合的，相互影响
热力学
描述压裂流体 与地层之间的
热交换
解决办法： 利用平面三维3D和拟三维（P3D）模型来弥补
包括缝高增长的三种主要水力压裂模型
普通三维模型
没有对裂缝方位作假设 计算量大，需要专人对结果作解释 模型适合于研究水力裂缝起裂的细节以及 近
井筒的复杂情况，而非裂缝整个延伸过程
在此不对该模型作进一步的讨论。
平面三维模型
（6.1）
V1（ 612）R3
3E
pnet
半径为R的裂缝扩展的压力：
（6.2）
pnet
F E 212 R
（6.3）
对于缝高hf不变和无限大（即平面应变）裂 缝其最大宽度为：
w2pnehtf 12 E
（6.4）
裂缝的形状为椭圆，平均缝宽 w4w。
6.2.2.2 模型中考虑流体滤失
Cater（1957）
裂缝任一点处的滤失速度：
uL
CL t texp
CL——滤失系数
texp——该点滤失速率
质量平衡方程：
qi qLqf
（6.13） t——当前时间 uL——持续的时间
（6.14）
qL —— 整个裂缝的滤失速度 qf —— 缝内流体存储体积流速
假设流体滤失对裂缝形态或压力分布没有影响， 将模型推广到包括流体滤失的情况下：
一个两翼KGD裂缝的体积为：
Vf
2
hf
Lww
（6.29）
运用体积平衡和与Carter相似的解法，得到：
L qiww 6C 4Lhf
es2erfSc
21
（6.30）
其中：
S 8CL t ww
对于x分量
方程（6.34）变为：
D D x u t p x x xx y yx z zx gx
应力与流速之间的本构方程：
xz
zx
ux
z
yz
zy
uzy
方程（6.34可写为）：
压力和缝宽的关系
Hirth 和Lother（1968）以及Bui（1977） 裂缝中压力和缝宽的关系式：
w x,yfxx,yyp x,y x,yd xd y
（6.31）
式中：σ——应力
f —— 弹性影响函数，一般情况下只有 对于均质线弹性材料，才可以导出该方程的可 用的形式（见旁注6E）。在实际应用中，一般 假设岩石为各向同性。
通过假设缝内流速恒定；除缝端没有流体穿 透（即没有压力）外，缝中的压力大部分处的压 力以定压近似。可用解析法解该问题。
流体滞后的概念一直是缝端力学的中的重要组 成部分，已经在现场得到证明（Warpinski，1985）。 如果缝端无流体穿透区很小（约为总缝长的百分之 几），他们发现裂缝主体中沿整个缝的压力几乎等 于井中的压力，只是在靠近缝端剧减。
假设裂缝在空间和时间上都保持恒定，上式变为：
即：
qi 2Af0tuLdAf wAtf qi 20 tultA f dA f wA tf
利用拉普拉斯变换得到：
（6.15） （6.16）
Af 4qiC w L2es2erfSc21 （6.17）
PKN模型假设缝长远大于缝高，忽略了有关断裂力学
的影响
KGD模型假设缝高远大于缝长，包括了缝端动态过程
控制裂缝延伸的假设
6.3 三维和拟三维模型
前面简单模型的局限性： 需要给定缝高或假设产生的是径向缝
原因： 不能断定裂缝是否被限制在某一特定的地层中 由井筒（压力最高处）至缝端的过程中缝高是 变化的
开发和利用水力压裂施工的重要原因
进行经济优化
（确定多大施工规模得到最高回报率）
泵注程序优化
模拟特定的泵注程序得到相应
的裂缝几何形状和支撑剂铺置
施工评估
6.2 早期水力压裂模拟
6.2.1 基本的压裂模拟
Sneddon 和 Elliot（1946）
半径为R的静态扁平裂缝的宽度：
w (r)8p(R 1E 2) 1(rR)2 椭圆裂缝的体积为：
流动的基本方程：
dp dx
64q hf w3
将缝宽方程 （6.4） 代入上式
（6.9）
并用注入速度的一半代替q，并假设流速沿缝不变得到：
pne3tdpnet4
qiE3
hf 4
dx
（6.10）
沿裂缝半长L对上式积分，并利用边界条件pnet=0 得到：
14
pnet
16qiE3 hf 4
裂缝的形态随时间不断演化，假设该过程用线 弹性断裂力学描述。
• 简单的裂缝形态和缝内压力分布如定压下的 椭圆形裂缝，破裂准则：方程（6.3）
• 复杂的裂缝形态和压力分布，破裂准则用缝端
附近的缝宽和临界应力集中系数或断裂韧性
KIC表示：
wx 4 2KIC x
E
（6.32）
式中：x——距离缝端的距离
E3
（6.25）
井壁裂缝宽度：
14
ww
84
qiL2
Ehf
（6.26）
在没有滤失的情况下，解得缝长和缝宽:
16
Lt0.38
Eqi3
hf 3
t2 3
（6.27）
ww
1.48
qi3
Ehf 3
16
t1
3
（6.28）
Geertsma 和 de Klerk（1969）对于缝端区域很小这 个问题给出了解。
对于矩形横截面，流动的基本方程为：
dp dx
12 q
hf w3
（6.21）
可以积分形式写为：
pnet
6qi
hf
L 0
dx w3
（6.22）
应用Barenblatt缝端条件，意味着应力集中 系数为零。
L
（6.11）
实际的裂缝宽度：
w(x)3qiELx1/4
重要发现：
（6.12）
• 垂向平面应变特性的假设
• 断裂韧性可忽略（裂缝延伸所需的能量远比流体沿 缝长方向流动所需的能量最小）
• 缝中流体滤失和存储或者体积变化可以忽略的假设
• 固定缝高的假设
• 没有直接给出作为解的一部分
w u tw 2uL0
（6.33）
动量守恒方程：
Du pg
Dt
（6.34）
式中：τ——剪应力 g —— 重力加速度
方程（6.34）的左边为动量改变速率；右边分 别为压力、粘滞力和重力，它可解释为小的流体 单元在力的作用下而加速。该方程可以扩展并根 据压裂地层的不同形状而简化（见旁注6F）。
其中：uL由方程（6.13）得到，横截面面积不是 裂缝面的面积Af
压力用缝宽表示代替，方程（6.18）写为：
E
12h8f
2xw 24
t8C teLxpxw t
（6.19）
以无量纲形式对该方程数值求解，得到与时间有 关的缝宽和缝长。方程解中的无量纲时间定义如 下：
tD