第16章 平行四边形的复习

例3.如图所示，四边形ABED与四边形AFCD都是平行 四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm, □ABED的面积是36cm2 ,则四边形ABCD的周长为（D） A. 49cm B. 43cm
A
5
D
C.Байду номын сангаас41cm
∵
D. 46cm
12
B
3 G 4
9
S□ABED= AB×AG
=AB×3=36 5
∴ AB=ED=12 ∵
S□AFCD= CD×GD
=CD×4=36
F 5 C 10 在Rt△EGF中 E
∵
EG=12－4＝8 GF=9－3＝6
∴ CD=AF=9
EF 82 62 10
例4. 如图，在矩形ABCD中，AB=3,E为BC上一点，连
结DE，BE=1，EC=4,过点A作AF⊥DE，垂足为F. ⑴ 试说明∠EDC=∠DAF； ⑵ 求AF的长.
A M D
【解析】在□ABCD中，AO=OC 又 OM⊥AC,垂足为O
O B
C
即 MO垂直平分线段AC
∴ AM=MC ∵ MD+MC+CD=a ∴ MD+AM+CD=a
∴ AD+CD=a
□ABCD的周长是
2(AD+CD) = 2a
例2. 如图，E、F分别是□ABCD的边AB、CD上的
点，AF与DE相交于点G，BF与CE相交于点H，若 S△AGD =15cm2 , S△BHC =25cm2 ,则阴影部分的面积 为 40 cm2. 【解析】 连结EF 则 S△EFC =S△BFC S△EFC －S△FHC =S△BFC －S△FHC 即 S△EFH =S△BHC = 25 同理 S△EDF =S△ADF S△EDF －S△GDF =S△ADF －S△GDF S△EGF =S△AGD =15
两组对边 分别平行
有一直角
平行四边形
矩形
邻边相等
四 边 形
对边平行且相等； 对角相等；对角线 相互平分.
对边平行且相等； 四角相等；对角线 相等且相互平分.
正方形
四边相等；对角线 邻边相等 菱形 相互垂直平分，且 每一条对角线平分 一组对角. 两腰相等 只有一组 等腰梯形 对边平行
有一直角
梯形
同一底上的 角相等；两 对角线相等.
A
解：⑵ 设过y秒钟后四边形 PQCD为等腰梯形， 作DE⊥BC于E PF⊥BC于F, 则 CE=QF=2
B
F
E
C Q
EF=PD=24－y, CQ=3y ∴ 24－y = 3y－2×2 ∴ y=7
答：7秒后四边形PQCD为等腰梯形.
1. 如图，把大小完全相同的两个矩形拼成“L”型图 案，则∠FAC= 90° , ∠FCA= 45°.
结DE，BE=1，EC=4,过点A作AF⊥DE，垂足为F. ⑴ 试说明∠EDC=∠DAF； ⑵ 求AF的长. 解：⑵ 在矩形ABCD中, ∠C=90°
A
D
3
F C
CD=AB=3, BE=1, EC=4 B 1E 4 ∴AD=BC=5 2 2 在Rt△ECD中，由勾股定理得: ED 3 4 5 ∴AD=ED 连结AE, 则 ∠DAE=∠DEA
A
D
3
F B 1E
2
AD=BC=5
4
2
C
在Rt△ECD中，由勾股定理得: ED 3 4 5
1 1 连结AE, 则 S AED AD CD ED AF 2 2
∴ AD×CD=ED×AF
即 5×3=5×AF
∴ AF=3
例4. 如图，在矩形ABCD中，AB=3,E为BC上一点，连
A
D
3
F B 1E
解：⑴ 在矩形ABCD中, ∠ADC=90°
即 ∠EDC+∠ADE=90° 在△AFD中，∵ AF⊥DE
∴ ∠DAF+∠ADE=90° ∴ ∠EDC=∠DAF
4
C
例4. 如图，在矩形ABCD中，AB=3,E为BC上一点，连
结DE，BE=1，EC=4,过点A作AF⊥DE，垂足为F. ⑴ 试说明∠EDC=∠DAF； ⑵ 求AF的长. 解：⑵ 在矩形ABCD中, ∠C=90° CD=AB=3, EC=4
有一直角
直角梯形
四边形
平行四边形 菱 形 梯形 等腰 梯形 直角 梯形
正 方 形
矩 形
E
A B
D O A
D
C B
C
A
D F CB
A
D
C
平移一腰
E
E
作高线
延长两腰
平移对角线
B
E
转化思 想
例1 . 如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且
AD≠CD, 过点O作OM⊥AC，交AD于M点，如果△CDM 的周长为a，那么□ABCD的周长是 2a .
A
解：⑴ 设过x秒钟后四边形 PQCD为平行四边形， 此时必有 CQ=PD 即 24－x = 3x ∴ x=6
B Q C
3x
答：6秒后四边形PQCD是平行四边形.
例5 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC, AB⊥BC,
AD=24cm,BC=26cm,动点P从A点出发，沿直线AD以 1cm/s的速度向D点运动；与此同时，Q点从C点出发 沿CB的方向以3cm/S的速度向B点运动，问：几秒后 四边形PQCD是平行四边形，几秒后四边形PQCD为 等腰梯形？ P D
由对称性可知： S△PQE = S△DQF S△AOB = S△AOD
【解析】因为四边形ABCD是菱形
所以CD∥AB, AD∥BC
因为PE∥AB, PF∥BC 所以PE∥DF, PF∥ED
S阴影 S ADC
1 1 5 所以四边形DEPF是平行四边形 AC BD 2 2 2
则 ∠AEB=∠DEA ∴ AF=AB=3 ∵ AD∥BC ∴ ∠DAE=∠AEB 又 AF⊥DE ，AB⊥BC
例5 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC, AB⊥BC,
AD=24cm,BC=26cm,动点P从A点出发，沿直线AD以 1cm/s的速度向D点运动；与此同时，Q点从C点出发 沿CB的方向以3cm/S的速度向B点运动，问：几秒后 四边形PQCD是平行四边形，几秒后四边形PQCD为 等腰梯形？ P 24－x D
F B E D A C B
3 4
E
4 3 C
C
D
D
G
A
2. 在□ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，若点
E分BC为3和4两部分，则□ABCD的周长为 22 或20 .
3. 如图，菱形ABCD的 对角线的长分别是2和5， P是对角线BD上任一点 （点P不与点BD重合）且 PE∥AB交AD于E， PF∥BC交CD于F，则阴 影部分的面积是 2.5 。