北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(答案解析)

一、选择题

1．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）

A ．3

B ．8

C ．12

D ．16

2．己知平面向量,a b 满足1a a b =-=，则32a b a b -++的最大值为（ ） A ．4

B ．25

C ．325+

D ．6

3．已知两个单位向量a ，b ，其中向量a 在向量b 方向上的投影为

1

2

．若()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ）

A ．14

-

B ．12

-

C ．0

D ．

12

4．已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（ ） A ．4

B 37

C ．25

D ．5

5．已知,M N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则

2PM PN -的最大值为（ ）

A ．53+

B ．53

C ．523+

D ．5

6．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，

2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有

（ ）个．

A ．2

B ．4

C ．6

D ．0

7．已知向量1

32AB ⎛= ⎝⎭

，5AC =，3AB BC ⋅=，则BC =（ ） A ．3

B ．32

C ．4

D ．428．已知ABC ∆为等边三角形，则cos ,AB BC =( ) A ．3

B ．12

-

C ．

12

D 39．在ABC ∆中，060BAC ∠=，5AB =，6AC =，D 是AB 上一点，且

5AB CD ⋅=-，则BD 等于（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10．ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内（包括边界）的一动点，且32

()55

AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( ) A 33B 37

C 39

D 4111．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，23AB =2BC =，

1

3

BE BC =

，则（ ） A ．11

63AE AB AD =+ B ．12

63AE AB AD =+ C ．51

63

AE AB AD =

+ D ．51

66

AE AB AD =

+ 12．已知正项等比数列{}n a ，若向量()28,a a =，()8,2b a =，//a b ，则212229log log log (a a a ++⋯+= )

A ．12

B ．28log 5+

C ．5

D ．18

二、填空题

13．已知单位向量,a b 满足1a b +=，则|a b -=___________.

14．已知平面向量,,a b c 满足()()||2,||2||a c b c a b a b -⋅-=-==.则c 的最大值是________.

15．向量,a b 满足(1,3),2,()(3)12a b a b a b ==+⋅-=，则a 在b 方向上的投影为__________．

16．已知平面非零向量,,a b c 两两所成的角相等，1a b c ===，则a b c ++的值为_____．

17．已知(2,1)a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -⊥，则b =__________

18．如图所示，已知OAB ，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：①12=+OM OA OB ； ②231

43

OM OA OB =+；③33145=

+OM OA OB ；④448

99

=+OM OA OB .对于点1M ，2M ，3M ，4M 落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）

19．若平面向量a ，b 为单位向量，1

2

a b ⋅=

，空间向量c 满足||8c =，4a c ⋅=，5b c ⋅=，则对任意的实数12,t t ，12c t a t b --的最小值是___________．

20．已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB 和AC 的交点分别为M 和N ，若

AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为

25

54

，则实数λ=__________. 三、解答题

21．已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x =-． （1）若点A ，B ，C 三点共线，求x 的值；

（2）若ABC 为直角三角形，且B 为直角，求x 的值．

22．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =，()3,b k =-，

()2,4c =-.

（1）若()//(2)ma c a c +-，求m ； （2）若()a a b ⊥+，c a b λμ=+，求λμ+.

23．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．