高中数学选修1-1习题集

（数学选修1-1）第一章 常用逻辑用语 [基础训练A 组] 一、选择题
1．下列语句中是命题的是（ ）
A ．周期函数的和是周期函数吗
B ．0
sin 451= C ．2
210x x +-> D ．梯形是不是平面图形呢
2．在命题“若抛物线2
y ax bx c =++的开口向下，则{}
2|0x ax bx c φ++<≠”的 逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）
A ．都真
B ．都假
C ．否命题真
D ．逆否命题真 3．有下述说法：①0a b >>是22
a b >的充要条件. ②0a b >>是b
a 1
1<的充要条件. ③0a b >>是3
3
a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
4．下列说法中正确的是（ ）
A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价
C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则22
0a b +≠” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2
(1)20x a x a +++-=的一个根大于零, 另一根小于零,则A 是B 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题
1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。

2．12:,A x x 是方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的两实数根；12:b
B x x a
+=-
, 则A 是B 的 条件。

3．用“充分、必要、充要”填空：
①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的_____________________条件； ②p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件；
③:23A x -<, 2
:4150B x x --<, 则A 是B 的___________条件。

4．命题“2
230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是_______。

5．“a b Z +∈”是“2
0x ax b ++=有且仅有整数解”的__________条件。

三、解答题
1．对于下述命题p ，写出“p ⌝”形式的命题，并判断“p ”与“p ⌝”的真假：
（1） :p 91()A B ∈I （其中全集*
U N =，{}|A x x =是质数，{}
|B x x =是正奇数）. （2） :p 有一个素数是偶数；. （3） :p 任意正整数都是质数或合数； （4） :p 三角形有且仅有一个外接圆.
2．已知命题),0(012:,64:2
2>≥-+-≤-a a x x q x p 若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围。

3．若2
2
2
a b c +=，求证：,,a b c 不可能都是奇数。

4．求证：关于x 的一元二次不等式2
10ax ax -+>对于一切实数x 都成立的充要条件是
04a <<
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（数学选修1-1）第一章 常用逻辑用语
[综合训练B 组] 一、选择题
1．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ）
A ．p 或q 为假
B ．q 假
C ．q 真
D ．不能判断q 的真假
2．下列命题中的真命题是（ ） A ．3是有理数 B ．2
2
是实数
C ．e 是有理数
D ．{}
|x x 是小数
R
3．有下列四个命题：
①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若1q ≤ ,则2
20x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．③④ 4．设a R ∈，则1a >是1
1a
< 的（ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．命题：“若2
2
0(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ） A ． 若0(,)a b a b R ≠≠∈，则2
2
0a b +≠ B ． 若0(,)a b a b R =≠∈，则2
20a b +≠ C ． 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则2
2
0a b +≠ D ． 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则2
2
0a b +≠
6．若,a b R ∈,使1a b +>成立的一个充分不必要条件是(??? )
A ．1a b +≥
B ．1a ≥
C ．0.5,0.5a b ≥≥且?
D ．1b <-
二、填空题
1．有下列四个命题： ①、命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③、命题“若1m ≤，则022
=+-m x x 有实根”的逆否命题；
④、命题“若A B B =I ，则A B ⊆”的逆否命题。

其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）。

2．已知,p q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件，
则s 是q 的 ______条件，r 是q 的 条件，p 是s 的 条件. 3．“△ABC 中,若0
90C ∠=,则,A B ∠∠都是锐角”的否命题为 ； 4．已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b a p 与:无公共点；
命题βα//:q ， 则q p 是的 条件。

5．若“[]2,5x ∈或{}|14x x x x ∈<>或”是假命题，则x 的范围是___________。

三、解答题
1．判断下列命题的真假：
（1）已知,,,,a b c d R ∈若,,.a c b d a b c d ≠≠+≠+或则 （2）3
2
,x N x x ∀∈>
（3）若1,m >则方程2
20x x m -+=无实数根。

（4）存在一个三角形没有外接圆。

2．已知命题2:6,:p x x q x Z -≥∈且“p q 且”与“非q ”同时为假命题，求x 的值。

3．已知方程2
2
(21)0x k x k +-+=,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件。

4．已知下列三个方程：2
2
2
2
4430,(1)0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围。

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（数学选修1-1）第一章 常用逻辑用语
[提高训练C 组] 一、选择题
1．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数； ③梯形不是矩形；④方程2
1x =的解1x =±。

其中使用逻辑联结词的命题有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题
的真假情况是（ ） A ．原命题真，逆命题假
B ．原命题假，逆命题真
C ．原命题与逆命题均为真命题
D ．原命题与逆命题均为假命题
3．在△ABC 中，“︒>30A ”是“2
1
sin >
A ”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．一次函数n
x n m y 1
+-=的图象同时经过第一、
三、四象限的必要但不充分条件是（ ）
A ．1,1m n ><且
B ．0mn <
C ．0,0m n ><且
D ．0,0m n <<且
5．设集合{}{}|2,|3M x x P x x =>=<,那么“x M ∈,或x P ∈”是“x M P ∈I ”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．命题:p 若,a b R ∈，则1a b +>是1a b +>的充分而不必要条件；
命题:q 函数y =的定义域是(][),13,-∞-+∞U ，则（ ）
A ．“p 或q ”为假
B ．“p 且q ”为真
C ．p 真q 假
D ．p 假q 真
二、填空题
1．命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题 是 ； 2．用充分、必要条件填空：①1,2x ≠≠且y 是3x y +≠的
②1,2x ≠≠或y 是3x y +≠的
3.下列四个命题中
①“1k =”是“函数2
2
cos sin y kx kx =-的最小正周期为π”的充要条件；
②“3a =”是“直线230ax y a ++=与直线3(1)7x a y a +-=-相互垂直”的充要条件；
③ 函数3
42
2
++=x x y 的最小值为2 其中假命题的为 （将你认为是假命题的序号都填上）
4．已知0≠ab ，则1=-b a 是02
233=----b a ab b a 的__________条件。

5．若关于x 的方程2
2(1)260x a x a +-++=.有一正一负两实数根，
则实数a 的取值范围________________。

三、解答题
1．写出下列命题的“p ⌝”命题： （1）正方形的四边相等。

（2）平方和为0的两个实数都为0。

（3）若ABC ∆是锐角三角形， 则ABC ∆的任何一个内角是锐角。

（4）若0abc =，则,,a b c 中至少有一个为0。

（5）若(1)(2)0,12x x x x --≠≠≠则且。

2．已知1
:123
x p --
≤；)0(012:22>≤-+-m m x x q 若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，求实数m 的取值范围。

3．设0,,1a b c <<，
求证：(1),(1),(1)a b b c c a ---不同时大于4
1
.
4.命题:p 方程2
10x mx ++=有两个不等的正实数根，
命题:q 方程2
44(2)10x m x +++=无实数根。

若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围。

（数学选修1-1）第二章 圆锥曲线 [基础训练A 组] 一、选择题
1． 已知椭圆
116
252
2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3， 则P 到另一焦点距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）
A ．
116922=+y x B ．116252
2=+y x C ．
1162522=+y x 或125
162
2=+y x D ．以上都不对 3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线
4．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，
那么双曲线的离心率e 等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3 5．抛物线x y 102
=的焦点到准线的距离是（ ）
A ．
25 B ．5 C ．2
15 D ．10 6．若抛物线2
8y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ ）。

A ．(7,
B ．(14,
C ．(7,±
D ．(7,-±
二、填空题
1．若椭圆2
2
1x my +=_______________. 2．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

3．若曲线
22
141x y k k
+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 。

4．抛物线x y 62
=的准线方程为＿＿＿＿＿.
5．椭圆552
2
=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

三、解答题
1．k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22
236x y +=有两个公共点有一个公共点
没有公共点
2．在抛物线2
4y x =上求一点，使这点到直线45y x =-的距离最短。

3．双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。

4．若动点(,)P x y 在曲线
22
21(0)4x y b b
+=>上变化，则22x y +的最大值为多少
（数学选修1-1）第二章 圆锥曲线 [综合训练B 组] 一、选择题
1．如果22
2
=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）
A ．()+∞,0
B ．()2,0
C ．()+∞,1
D ．()1,0
2．以椭圆
116
252
2=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．
1481622=-y x B ．127
92
2=-y x
C ．
1481622=-y x 或127
92
2=-y x D ．以上都不对 3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠2
1π
=
Q PF ，
则双曲线的离心率e 等于（ ）
A ．12-
B ．2
C ．12+
D ．22+
4．21,F F 是椭圆17
92
2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（ ）
A ．7
B ．
47 C ．2
7
D ．257
5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆09622
2
=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）
A ．2
3x y =或2
3x y -= B ．2
3x y =
C ．x y 92
-=或2
3x y = D ．2
3x y -=或x y 92
=
6．设AB 为过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）
A ．
2
p
B ．p
C ．p 2
D ．无法确定
二、填空题
1．椭圆
22189x y k +=+的离心率为1
2
，则k 的值为______________。

2．双曲线2
2
88kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________。

3．若直线2=-y x 与抛物线x y 42
=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______。

4．对于抛物线2
4y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。

5．若双曲线142
2=-m
y x 的渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的焦点坐标是_________．
6．设AB 是椭圆22
221x y a b
+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，
则AB OM k k ⋅=____________。

三、解答题
1．已知定点(A -，F 是椭圆
22
11612
x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ， 使2AM MF +取得最小值。

2．k 代表实数，讨论方程2
2
280kx y +-=所表示的曲线
3．双曲线与椭圆
136
272
2=+y x 有相同焦点，且经过点4)，求其方程。

4． 已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15， 求抛物线的方程。

（数学选修1-1）第二章 圆锥曲线 [提高训练C 组] 一、选择题
1．若抛物线x y =2
上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ）
A ．1
(,44±
B ．1(,84±
C ．1(,44
D ．1(,84
2．椭圆
124
4922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，
则△21F PF 的面积为（ ） A ．20 B ．22 C ．28 D ．24
3．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22
=的焦点，点M 在 抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ） A ．()0,0 B ．⎪⎭
⎫
⎝⎛1,21 C ．()
2,1 D ．()2,2 4．与椭圆14
22
=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13
322=-y x D ．1222
=-y x 5．若直线2+=kx y 与双曲线62
2
=-y x 的右支交于不同的两点，
那么k 的取值范围是（ ） A ．（315,315-
） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,3
15
--） 6．抛物线2
2x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线
m x y +=对称，
且2
1
21-
=⋅x x ，则m 等于（ ） A ．23 B ．2 C ．2
5
D ．3
二、填空题
1．椭圆14
92
2=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 。

2．双曲线2
2
1tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则这双曲线的离心率为___。

3．若直线2y kx =-与抛物线2
8y x =交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则AB =______。

4．若直线1y kx =-与双曲线2
24x y -=始终有公共点，则k 取值范围是 。

5．已知(0,4),(3,2)A B -，抛物线2
8y x =上的点到直线AB 的最段距离为__________。

三、解答题
1．当0
0180α从到变化时，曲线2
2
cos 1x y α+=怎样变化
2．设12,F F 是双曲线
116
92
2=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且01260F PF ∠=， 求△12F PF 的面积。

3．已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直
平分线与x 轴相交于点0(,0)P x .证明：.2
2022a
b a x a b a -<<--
4．已知椭圆22
143
x y +=，试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同 两点关于直线4y x m =+对称。

（数学选修1-1）第一章 导数及其应用
[基础训练A 组]
一、选择题
1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000
()()
lim
h f x h f x h h
→+--
的值为（ ）
A ．'0()f x
B ．'02()f x
C ．'
02()f x - D ．0
2．一个物体的运动方程为2
1t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3
y x x =+的递增区间是（ ）
A ．),0(+∞
B ．)1,(-∞
C ．),(+∞-∞
D ．),1(+∞
4．3
2
()32f x ax x =++,若'
(1)4f -=,则a 的值等于（ ）
A ．
319 B ．316 C ．
313 D ．3
10 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．必要非充分条件
6．函数344
+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）
A ．72
B ．36
C ．12
D ．0
二、填空题
1．若3'
0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；
2．曲线x x y 43
-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin x
y x
=
的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；
5．函数552
3--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

三、解答题
1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3
2
35y x x =+-相切的直线方程。

2．求函数()()()y x a x b x c =---的导数。

3．求函数5
4
3
()551f x x x x =+++在区间[]4,1-上的最大值与最小值。

4．已知函数2
3
bx ax y +=，当1x =时，有极大值3； （1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值。

（数学选修1-1）第一章 导数及其应用
[综合训练B 组] 一、选择题
1．函数()323922y x x x x =---<<有（ ） A ．极大值5，极小值27- B ．极大值5，极小值11-
C ．极大值5，无极小值
D ．极小值27-，无极大值
2．若'
0()3f x =-，则000
()(3)
lim
h f x h f x h h
→+--=（ ）
A ．3-
B ．6-
C ．9-
D ．12-
3．曲线3
()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）
A ．(1,0)
B ．(2,8)
C ．(1,0)和(1,4)--
D ．(2,8)和(1,4)--
4．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足'
'
()()f x g x =,则
()f x 与()g x 满足（ ）
A ．()f x =()g x
B ．()f x -()g x 为常数函数
C ．()f x =()0g x =
D ．()f x +()g x 为常数函数 5．函数x
x y 1
42
+
=单调递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),2
1(+∞ D ．),1(+∞ 6．函数x
x
y ln =
的最大值为（ ） A ．1
-e B ．e C ．2
e D ．
3
10 二、填空题
1．函数2cos y x x =+在区间[0,
]2
π
上的最大值是 。

2．函数3
()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________。

3．函数3
2x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________。

4．若3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是 。

5．函数3
2
2
(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为________。

三、解答题
1． 已知曲线12-=x y 与3
1x y +=在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值。

2．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去 四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大
3． 已知c bx ax x f ++=2
4
)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =- （1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。

4．平面向量13(3,1),(,)2a b =-=r r
，若存在不同时为0的实数k 和t ，使 2
(3),,x a t b y ka tb =+-=-+r r r r r r 且x y ⊥r r ，试确定函数()k f t =的单调区间。

（数学选修1-1） 第一章 导数及其应用
[提高训练C 组]
一、选择题
1．若()sin cos f x x α=-,则'
()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+
D ．2sin α
2．若函数2
()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'
()f x 的图象是（ ）
3．已知函数1)(2
3--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的
取值范围是（ ）
A ．),3[]3,(+∞--∞Y
B ．]3,3[-
C ．),3()3,(+∞--∞Y
D ．)3,3(-
4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'
(1)()0x f x -≥，则必有（ ）
A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.
(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>
5．若曲线4
y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，
则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
1．若函数()()2
f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。

3．设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则ϕ
=__________ 4
．设3
2
1()252
f x x x x =-
-+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。

5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和的公式是 三、解答题
1．求函数3
(1cos 2)y x =+的导数。

2．求函数y =
3．已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间
(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2
()f x c <恒成立，求c 的取值范围。

4．已知23()log x ax b
f x x
++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列
两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由.
新课程高中数学训练题组参考答案
（数学选修1-1） 第一章 常用逻辑用语 [基础训练A 组]
一、选择题
1．B 可以判断真假的陈述句
2．D 原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题 3．A ①2
2
0a b a b >>⇒>，仅仅是充分条件 ②0a b >>⇒
b
a 1
1< ，仅仅是充分条件；③330a b a b >>⇒>，仅仅是充分条件 4．D 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性 5．A :,120A a R a a ∈<⇒-<，充分，反之不行
6．A :12,31p x x ⌝+≤-≤≤，2
2
:56,560,3,2q x x x x x x ⌝-≤-+≥≥≤或 p q ⌝⇒⌝，充分不必要条件 二、填空题
1．若,a b 至少有一个为零，则a b ⋅为零 2．充分条件 A B ⇒
3．必要条件；充分条件；充分条件，:15,:22A x B x A B -<<<<+⊆ 4．[3,0]- 2
230ax ax --≤恒成立，当0a =时，30-≤成立；当0a ≠时， 2
4120
a a a <⎧⎨
∆=+≤⎩得30a -≤<；30a ∴-≤≤
5．必要条件 左到右来看：“过不去”，但是“回得来” 三、解答题
1．解：（1） :91,91p A B ⌝∉∉或；p 真，p ⌝假；
（2） :p ⌝每一个素数都不是偶数；p 真，p ⌝假；
（3） :p ⌝存在一个正整数不是质数且不是合数；p 假，p ⌝真；
（4） :p ⌝存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆。

2．解：{}:46,10,2,|10,2p x x x A x x x ⌝->><-=><-或或
{}22:2101,1,|1,1q x x a x a x a B x x a x a -+-≥≥+≤-=≥+≤-，或记或
而,p q A
⌝⇒∴B ，即12110,030a a a a -≥-⎧⎪
+≤∴<≤⎨⎪>⎩。

3．证明：假设,,a b c 都是奇数，则2
2
2
,,a b c 都是奇数
得22a b +为偶数，而2c 为奇数，即222a b c +≠，与222
a b c +=矛盾 所以假设不成立，原命题成立
4．证明：2
10(0)ax ax a -+>≠恒成立2
040
a a a >⎧⇔⎨∆=-<⎩
04a ⇔<<
（数学选修1-1） 第一章 常用逻辑用语 [综合训练B 组]
一、选择题
1．B “p ⌝”为假，则p 为真，而p q ∧（且）为假，得q 为假 2．B 2
2
3和e 都是无理数；{}
|x x R =是小数
3．C 若0x y += , 则,x y 互为相反数，为真命题，则逆否命题也为真；
“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等相等” 为假命题； 若1440,q q ≤⇒-≥ 即440q ∆=-≥,则2
20x x q ++=有实根，为真命题 4．A 1a >⇒
1
1a
<，“过得去”；但是“回不来”，即充分条件 5．D 0a b ==的否定为,a b 至少有一个不为0
6．D 当1,0a b ==时，都满足选项,A B ，但是不能得出1a b +> 当0.5,0.5a b ==时，都满足选项C ，但是不能得出1a b +>
二、填空题
1．①，②，③ A B B =I ，应该得出B A ⊆
2．充要，充要，必要 ,;,;q s r q q s r q s r r q s r p ⇒⇒⇒⇔⇒⇒⇒⇔⇒⇒ 3．若0
90C ∠≠,则,A B ∠∠不都是锐角 条件和结论都否定 4．必要 q p ⇒ 从p 到q ，过不去，回得来
0,00,00,00,0a b a b a b a b ==≠==≠≠≠其中之一的否定是另外三个
5．[)1,2 []2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则2,5
14
x x x <>⎧⎨≤≤⎩或
三、解答题
1．解：（1）为假命题，反例：14521542≠≠+=+，或，而 （2）为假命题，反例：3
2
0,x x x =>不成立
（3）为真命题，因为1440m m >⇒=-<⇒V 无实数根
（4）为假命题，因为每个三角形都有唯一的外接圆。

2．解：非q 为假命题，则q 为真命题；p q 且为假命题，则p 为假命题，即
26,x x x Z -<∈且，得2260,23,60
x x x x Z x x ⎧--<⎪
-<<∈⎨-+>⎪⎩
1,0,1,2x ∴=-或
3．解：令2
2
()(21)f x x k x k =+-+，方程有两个大于1的实数根
22(21)40
21
1
2(1)0
k k k f ⎧∆=--≥⎪
-⎪⇔->⎨⎪
>⎪⎩即104k <≤ 所以其充要条件为1
04
k <≤
4．解：假设三个方程：2
2
2
2
4430,()0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=都没有实
数根，则2122
22
1(4)4(43)0(1)40(2)4(2)0a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩ ，即3
1221,1320
a a a a ⎧-<<⎪⎪
⎪><-⎨⎪-<<⎪⎪⎩
或 ，得312a -<<-
3,12
a a ∴≤-≥-或。

（数学选修1-1） 第一章 常用逻辑用语 [提高训练C 组]
一、选择题
1．C ①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④ 中有“或”
2．A 因为原命题若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1的逆否命题为，若,a b 都小于1，
则2a b +<显然为真，所以原命题为真；原命题若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1的逆命题为，若,a b 中至少有一个不小于1，则2a b +≥，是假命题，反例为 1.2,0.3a b == 3．B 当0
170A =时，00
1
sin170sin102
=<
，所以“过不去”；但是在△ABC 中， 0001
sin 30150302
A A A >
⇒<<⇒>，即“回得来” 4．B 一次函数n
x n m y 1
+-=的图象同时经过第一、三、四象限
1
0,00,00m m n mn n n
⇒-><⇒><⇒<且且，但是0mn <不能推导回来
5．A “x M ∈,或x P ∈”不能推出“x M P ∈I ”，反之可以
6．D 当2,2a b =-=时，从1a b +>不能推出1a b +>，所以p 假，q 显然为真 二、填空题
1．若△ABC 的两个内角相等，则它是等腰三角形
2．既不充分也不必要，必要 ①若 1.5, 1.53x y x y ==⇒+=且，143,1x +≠=而 ②1,2x ≠≠或y 不能推出3x y +≠的反例为若 1.5, 1.53x y x y ==⇒+=且，
3x y +≠⇒1,2x ≠≠或y 的证明可以通过证明其逆否命题1,23x y x y ==⇒+=且
3．①，②，③ ①“1k =”可以推出“函数2
2
cos sin y kx kx =-的最小正周期为π”
但是函数22
cos sin y kx kx =-的最小正周期为π，即2cos 2,,12y kx T k k
π
π==
==± ② “3a =”不能推出“直线230ax y a ++=与直线3(1)7x a y a +-=-相互垂直”
反之垂直推出25a =；③
函数22
y ===的最小值为2
min ,3t t y =≥== 4．充要 3
3
2
2
2
2
(1)()a b ab a b a b a ab b ----=--++ 5．(,3)-∞- 260a +<
三、解答题
1．解（1）存在一个正方形的四边不相等；（2）平方和为0的两个实数不都为0；
（3）若ABC ∆是锐角三角形， 则ABC ∆的某个内角不是锐角。

（4）若0abc =，则,,a b c 中都不为0；
（5）若(1)(2)0,12x x x x --≠==则或。

2．解：{}1
:12,2,10,|2,103
x p x x A x x x -⌝-
><->=<->或或 {}22:210,1,1,|1,1q x x m x m x m B x x m x m ⌝-+-><->+=<->+或或
p ⌝Q 是q ⌝的必要非充分条件，B ∴A ，即12
9,9110
m m m m -<-⎧⇒>∴>⎨
+>⎩。

3．证明：假设(1),(1),(1)a b b c c a ---都大于
41，即11
(1),(1),44
a b b c ->-> 1(1)4c a ->，而1111
(1),(1),2222
a b b c a b b c -+-+≥->≥->
11(1),22c a c a -+≥->得1113
2222a b b c c a -+-+-+++> 即33
22
>，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立。

4．解：“p 或q ”为真命题，则p 为真命题，或q 为真命题，或q 和p 都是真命题
当p 为真命题时，则21212
40
010m x x m x x ⎧∆=->⎪
+=->⎨⎪=>⎩，得2m <-；
当q 为真命题时，则2
16(2)160,31m m ∆=+-<-<<-得 当q 和p 都是真命题时，得32m -<<-
1m ∴<-
（数学选修1-1） 第二章 圆锥曲线 [基础训练A 组]
一、选择题
1．D 点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为210,1037a =-= 2．C 2
2
2
2218,9,26,3,9,1a b a b c c c a b a b +=+====-=-=
得5,4a b ==，2212516x y ∴
+=或125
162
2=+y x 3．D 2,2PM PN MN -==而，P ∴在线段MN 的延长线上
4．C 22222
22,2,2,2a c c c a e e c a
===== 5．B 210,5p p ==，而焦点到准线的距离是p
6．C 点P 到其焦点的距离等于点P 到其准线2x =-
的距离，得7,P p x y ==± 二、填空题
1．1,2或 当1m >时，
22
1,111
x y a m
+==； 当01m <<时，22222
223111,1,,4,21144y x a b e m m a a a m m -+===-===== 2．
22
1205
x y -=± 设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠，焦距2210,25c c == 当0λ>时，
2
2
1,25,204
4
x y λ
λλλ
λ
-
=+
==；
当0λ<时，
2
21,()25,2044
y x λλλλλ-=-+-==--- 3．(,4)(1,)-∞-+∞U (4)(1)0,(4)(1)0,1,4k k k k k k +-<+->><-或 4．32x =-
326,3,22
p p p x ===-=- 5．1 焦点在y 轴上，则2225
1,14,151y x c k k k
+==-== 三、解答题
1．解：由22
2236
y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得2223(2)6x kx ++=，即22
(23)1260k x kx +++= 2
2
2
14424(23)7248k k k ∆=-+=-
当2
72480k ∆=->
，即,33k k >
<-或时，直线和曲线有两个公共点； 当2
72480k ∆=-=
，即k k =
=或 当2
72480k ∆=-<
，即k <<
2．解：设点2
(,4)P t t ，距离为d
，2d ==
当1
2
t =时，d 取得最小值，此时1(,1)2P 为所求的点。

3．解：由共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，可设椭圆方程为22
22
125y x a a +=-； 双曲线方程为2222125y x b b +=-，点(3,4)P 在椭圆上，222
169
1,4025
a a a +==- 双曲线的过点(3,4)P
的渐近线为y x =
，即243,16b =
=
所以椭圆方程为
2214015y x +=；双曲线方程为22
1169
y x += 4．解：设点(2cos ,sin )P b θθ，2
2
2
24cos 2sin 4sin 2sin 4x y b b θθθθ+=+=-++ 令2
2,sin ,(11)T x y t t θ=+=-≤≤，2
424,(0)T t bt b =-++>，对称轴4
b
t = 当
1,44b b >>即时，max 1|2t T T b ===；当01,044
b
b <≤<≤即时， 2
max 4
|
44
b t b
T T =
==+ 2
2max 4,04
(2)4
2,4b b x y b b ⎧+<≤⎪∴+=⎨⎪>⎩
（数学选修1-1） 第二章 圆锥曲线 [综合训练B 组]
一、选择题
1．D 焦点在y 轴上，则2221,20122y x k k k +=>⇒<< 2．C 当顶点为(4,0)±
时，22
4,8,11648x y a c b ===-=； 当顶点为(0,3)±
时，22
3,6,1927
y x a c b ===-= 3．C Δ12PF F
是等腰直角三角形，21212,PF F F c PF ===
12
2,22,1
c
PF PF a c a e
a
-=-====
4．C
121221
6,6
F F AF AF AF AF
=+==-
22202
211211211
2cos4548
AF AF F F AF F F AF AF
=+-⋅=-+
22
1111
7
(6)48,,
2
AF AF AF AF
-=-+=
177
2222
S=⨯⨯=
5．D 圆心为(1,3)
-，设22
11
2,,
63
x py p x y
==-=-；
设22
9
2,,9
2
y px p y x
===
6．C 垂直于对称轴的通径时最短，即当,,
2
p
x y p
==±
min
2
AB p
=
二、填空题
1．
5
4,
4
-
或当89
k+>时，
2
2
2
891
,4
84
c k
e k
a k
+-
====
+
；
当89
k+<时，
2
2
2
9815
,
944
c k
e k
a
--
====-
2．1-焦点在y轴上，则
2281
1,()9,1
81
y x
k
k k
k k
-=-+-==-
--
3．(4,2)
2
2
121212
4
,840,8,44
2
y x
x x x x y y x x
y x
⎧=
-+=+=+=+-=
⎨
=-
⎩
中点坐标为1212
(,)(4,2)
22
x x y y
++
=
4．(],2
-∞设
2
(,)
4
t
Q t，由PQ a
≥得
2
22222
(),(168)0,
4
t
a t a t t a
-+≥+-≥22
1680,816
t a t a
+-≥≥-恒成立，则8160,2
a a
-≤≤
5．
(
渐近线方程为y x
=
，得3,
m c
==x轴上6．
2
2
b
a
-设
1122
(,),(,)
A x y
B x y，则中点1212
(,)
22
x x y y
M
++
，得21
21
,
AB
y y
k
x x
-
=
-
2121OM
y y k x x +=+，222122
21
AB OM y y k k x x -⋅=-，222222
11,b x a y a b += 2
2
2
2
22
22,b x a y a b +=得2
2
2
2
2
221
21
()()0,b x x a y y -+-=即222
2122
221y y b x x a
-=-- 三、解答题
1．解：显然椭圆
2211612x y +=的1
4,2,2
a c e ===，记点M 到右准线的距离为MN 则
1
,22
MF e MN MF MN ===，即2AM MF AM MN +=+ 当,,A M N 同时在垂直于右准线的一条直线上时，2AM MF +取得最小值，
此时y y M A ==22
11612
x y +=
得x M =±而点M
在第一象限，M ∴
2．解：当0k <时，曲线
22
184y x k
-=-为焦点在y 轴的双曲线； 当0k =时，曲线2
280y -=为两条平行的垂直于y 轴的直线；
当02k <<时，曲线22
184x y k
+=为焦点在x 轴的椭圆； 当2k =时，曲线2
2
4x y +=为一个圆；
当2k >时，曲线
22
18
4y x k
+=为焦点在y 轴的椭圆。

3．解：椭圆
2213627y x +=的焦点为(0,3),3c ±=，设双曲线方程为22
22
19y x a a -=-
过点4)，则
221615
19a a
-=-，得24,36a =或，而29a <， 2
4a ∴=，双曲线方程为22
145
y x -=。

4．解：设抛物线的方程为2
2y px =，则22,21
y px
y x ⎧=⎨=+⎩消去y 得
2121221
4(24)10,,24
p x p x x x x x ---+=+=
=
12AB x =-=
==，
24120,2,6p p p =--==-或 22412y x y x ∴=-=，或
（数学选修1-1） 第二章 圆锥曲线 [提高训练C 组]
一、选择题
1．B 点P 到准线的距离即点P 到焦点的距离，得PO PF =，过点P 所作的高也是中线
18
x P ∴=
，代入到x y =2
得4y P =±
，1(,84P ∴±
2．D 2222
12121214,()196,(2)100PF PF PF PF PF PF c +=+=+==，相减得
12121
296,242
PF PF S PF PF ⋅==
⋅= 3．D MF 可以看做是点M 到准线的距离，当点M 运动到和点A 一样高时，MA MF +取
得最小值，即2y M =，代入x y 22
=得2x M =
4．A
2
41c c =-=，且焦点在x 轴上，可设双曲线方程为22
22
13x y a a
-=-过点(2,1)Q 得22
222
4112,132
x a y a a -=⇒=-=- 5．D 222
2226,(2)6,(1)41002
x y x kx k x kx y kx ⎧-=-+=---=⎨
=+⎩有两个不同的正根 则2
2122
1224024040,11001k k x x k x x k ⎧∆=->⎪⎪
⎪
+=>⎨-⎪
-⎪=>⎪-⎩
得13k -<<-
6．A 22212121212111,2(),2AB y y k y y x x x x x x -=
=--=-+=--而得，且212122
x x y y
++(,)
在直线y x m =+上，即
2121
2121,222
y y x x m y y x x m ++=++=++ 2
2
2
21212121213
2()2,2[()2]2,23,2
x x x x m x x x x x x m m m +=+++-=++== 二、填空题 1
．(55
-
可以证明12,,PF a ex PF a ex =+=-且2221212PF PF F F +<
而3,2,3
a b c e ===
=
，则22222222
()()(2),2220,1a ex a ex c a e x e x ++-<+<< 22
111
,,x x e e e
<
-<<
即e <<2
渐近线为y =，其中一条与与直线210x y ++=
11
,24
t ==
221,2,42
x y a c e -==== 3
． 222122
848
,(48)40,42
y x k k x k x x x k y kx ⎧=+-++=+==⎨=-⎩ 得1,2k =-或，当1k =-时，2
440x x -+=有两个相等的实数根，不合题意 当2k =
时，12AB x =-===
4
．1,±
222
224,(1)4,(1)2501
x y x kx k x kx y kx ⎧-=--=-+-=⎨
=-⎩ 当2
10,1k k -==±时，显然符合条件；
当2
10k -≠
时，则2
20160,2
k k ∆=-==±
5
．
5
直线AB 为240x y --=，设抛物线2
8y x =上的点2(,)P t t
22d =
==≥=
三、解答题
1．解：当00α=时，0
cos01=，曲线2
2
1x y +=为一个单位圆；
当0
090α<<时，0cos 1α<<，曲线22
111cos y x α
+=为焦点在y 轴上的椭圆； 当090α=时，0cos900=，曲线2
1x =为两条平行的垂直于x 轴的直线；
当0
90180α<<时，1cos 0α-<<，曲线
22
11
1cos x y α
-=-为焦点在x 轴上的双曲线； 当0180α=时，0
cos1801=-，曲线2
2
1x y -=为焦点在x 轴上的等轴双曲线。

2．解：双曲线
116
92
2=-y x 的3,5,a c ==不妨设12PF PF >，则1226PF PF a -== 22201212122cos 60F F PF PF PF PF =+-⋅，而12210F F c ==
得222
12121212()100PF PF PF PF PF PF PF PF +-⋅=-+⋅=
012121
64,sin 602
PF PF S PF PF ⋅==
⋅=3．证明：设1122(,),(,)A x y B x y ，则中点1212
(
,)22
x x y y M ++，得2121,AB y y k x x -=-
22222211,b x a y a b +=22222222,b x a y a b +=得2222222121()()0,b x x a y y -+-=
即222
21222
21y y b x x a
-=--，AB 的垂直平分线的斜率2121,x x k y y -=-- AB 的垂直平分线方程为12211221(),22
y y x x x x
y x y y +-+-
=--- 当0y =时，22222212121
0221(1)
2()2
y y x x x x b x x x a -+-+==--
而2122a x x a -<+<，2222
0.a b a b x a a
--∴-<<
4．解：设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，21211
,4
AB y y k x x -=
=--
而22113412,x y +=22223412,x y +=相减得2222
21213()4()0,x x y y -+-=
即1212003(),3y y x x y x +=+∴=，000034,,3x x m x m y m =+=-=-
而00(,)M x y 在椭圆内部，则22
91,43
m m +<
即m <<。

新课程高中数学训练题组参考答案
（数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [基础训练A 组]
一、选择题
1．B 000000()()()()
lim
lim 2[]2h h f x h f x h f x h f x h h h
→→+--+--=
'0000()()
2lim 2()2h f x h f x h f x h
→+--==
2．C '
'
()21,(3)2315s t t s =-=⨯-= 3．C '
2
310y x =+>对于任何实数都恒成立 4．D '2'
10
()36,(1)364,3
f x ax x f a a =+-=-==
5．D 对于3
'
2
'
(),()3,(0)0,f x x f x x f ===不能推出()f x 在0x =取极值，反之成立 6．D '3'3''
44,0,440,1,1,0;1,0y x y x x x y x y =-=-==<<>>令当时当时 得1|0,x y y ===极小值而端点的函数值23|27,|72x x y y =-===，得min 0y = 二、填空题
1．1± '2
000()33,1f x x x ===±
2．
3
4
π '2'1334,|1,tan 1,4x y x k y ααπ==-==-=-=
3．2
cos sin x x x x - '''
22(sin )sin ()cos sin x x x x x x x y x x -⋅-==
4．1,0x ey e
-= '
'1111,|,1(),x e y k y y x e y x x e e e
==
==-=-= 5．5(,),(1,)3-∞-+∞ '2
53250,,13
y x x x x =+-><->令得或
三、解答题
1．解：设切点为(,)P a b ，函数3235y x x =+-的导数为'2
36y x x =+
切线的斜率'2|363x a k y a a ===+=-，得1a =-，代入到32
35y x x =+-
得3b =-，即(1,3)P --，33(1),360y x x y +=-+++=。

2．解：'
'
'
'
()()()()()()()()()y x a x b x c x a x b x c x a x b x c =---+---+--- ()()()()()()x b x c x a x c x a x b =--+--+--
3．解：)1)(3(515205)(2
2
3
4
++=++='x x x x x x x f ,
当0)(='x f 得0x =，或1x =-，或3x =-， ∵0[1,4]∈-，1[1,4]-∈-，3[1,4]-∉- 列表:
又(0)0,(1)0f f =-=；右端点处(4)2625f =；
∴函数1553
45+++=x x x y 在区间[1,4]-上的最大值为2625，最小值为0。

4．解：（1）'2
32,y ax bx =+当1x =时，'11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=，
即320
,6,93
a b a b a b +=⎧=-=⎨
+=⎩
（2）3
2
'
2
69,1818y x x y x x =-+=-+，令'
0y =，得0,1x x ==或
0|0x y y =∴==极小值
（数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [综合训练B 组]
一、选择题
1．C '
2
3690,1,3y x x x x =--==-=得，当1x <-时，'0y >；当1x >-时，'
0y <
当1x =-时，5y =极大值；x 取不到3，无极小值 2．D '000000
0()(3)()(3)
lim
4lim 4()124h h f x h f x h f x h f x h f x h h
→→+--+--===-
3．C 设切点为0(,)P a b ，'
2
'
2
()31,()314,1f x x k f a a a =+==+==±，
把1a =-，代入到3
()2f x x x =+-得4b =-；把1a =，代入到3
()2f x x x =+-得
0b =，所以0(1,0)P 和(1,4)--
4．B ()f x ,()g x 的常数项可以任意
5．C 令3'
2
22181180,(21)(421)0,2
x y x x x x x x x -=-=>-++>>
6．A 令'''
22
(ln )ln 1ln 0,x x x x x y x e x x
-⋅-====，当x e >时，'
0y <；当x e <时，'0y >，1()y f e e ==极大值，在定义域内只有一个极值，所以max 1
y e
=
二、填空题
1．
36
+π '12sin 0,6
y x x π
=-==
，比较0,
,
62ππ处的函数值，得max 6
y π
=
+2．37- '2'
3()34,(1)7,(1)10,107(1),0,7f x x f f y x y x =+==-=-==-时
3．2(0,)3 2(,0),(,)3-∞+∞ '2
2320,0,3
y x x x x =-+===或
4．2
0,3a b ac >≤且 '
2
()320f x ax bx c =++>恒成立，
则22
,0,34120
a a
b a
c b ac >⎧><⎨∆=-<⎩且 5．4,11- '
2
'
2
()32,(1)230,(1)110f x x ax b f a b f a a b =++=++==+++=
22334
,,3119a b a a b b a a b +=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨==-++=⎩
⎩⎩或，当3a =-时，1x =不是极值点 三、解答题
1．解：00'
'
'
2
'
2
10202,|2;3,|3x x x x y x k y x y x k y x ========。