2008高考解答题专题训练三 立体几何参考答案

1.
（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME .
ABCD 是正方形，∴ E 是BD 的中点.
∵M 是SD 的中点，∴ME 是DSB ∆的中位线.∴//ME SB . 又∵ME ⊂平面ACM ， -------------------------------3分 又SB ⊄平面ACM ，∴SB //平面ACM . --------------------------------4分
（Ⅱ）解：取AD 中点F ，则MF //SA .作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ . -------------------------------------5分 ∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD . ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影. ∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC .
∴FQM ∠为二面角D AC M --的平面角. 7分 设SA AB a ==，在Rt MFQ ∆中，
11,2224
a MF SA FQ DE a =
===，
∴tan a
FQM ==∴ 二面角D AC M --
的大小为. ------------------------------------------------------------9分
（III ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥ ---------------------------------------10分 又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥ ∴AM ⊥平面.SDC
----------------------------------------11分 ∴.SC AM ⊥
由已知,SC MN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN
又SC ⊂平面,SAC ∴平面SAC ⊥平面.AMN 方法二：
解：（Ⅱ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， ---------------------------------------------5分
由SA AB =故设1AB AD AS ===，则
11
(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22
A B C D S M SA ⊥底面ABCD ，
∴AS 是平面ABCD 的法向量，AS (0,0,1)=． 设平面ACM 的法向量为(,,)x y z =n ,
11
(1,1,0),(,0,)22
AC AM ==,
---------------------------------7分
则0,0.AC AM ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩n n 即00,11
00.22
x y x z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ ,
.
y x z x =-⎧⎨
=-⎩ 令1x =,则(1,1,1)=--n .
∴cos ,3||||AS AS AS ⋅<>=
==-⋅
n n n , ∴二面角D AC
M --的大小为．9分 （III ）
11,0,22AM ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， ()1,1,1CS =--，
11
022
AM CS ∴⋅=-+=AM CS ∴⊥ 12分
又SC AN ⊥且AN AM A =
SC AMN ∴⊥平面. 又SC ⊂平面,SAC
∴平面SAC ⊥平面AMN . 14分 2．
2.
（Ⅰ）证明：连结1BC ，设1BC 与1B C 的交点为E ，连结DE . D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，1 //.DE AC ∴ ………….. 3分
111 DE CDB AC CDB ⊂⊄平面， 平面， 11 //.AC CDB ∴平面 ………….. 4分
（Ⅱ）解： 设点B 到1CDB 平面的距离为.h 在三棱锥1B BCD -中，11 B BCD B B CD V V --=，
且
1 B B BCD ⊥平面，1
1 BCD B CD S B B S h ∆∆∴⋅=⋅.
易求得111
1 2
BCD B CD S S CD B D ∆∆==⋅=，
，
11 BCD B CD S B B h S ∆∆⋅∴==
即点B 到1CDB 平面
….. 9分 （Ⅲ）解：在平面ABC 内作DF BC ⊥于点F ， 过点F 作1FG B C ⊥于点G ，连结.DG 易证明 11DF BCC B ⊥平面，从而GF 是DG 在平面11BCC B 内的射影，根据三垂线定理得
1.B C GD ⊥
DGF ∴∠是二面角1B B C D --的平面角 易求得1
12
DF AC =
=
，12GF BE ==
在Rt DFG ∆
中， tan DF
DGF GF
==，
∴ 二面角1B B C D --
的大小是
-------------------------------------------14分
解法二： 在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===， AC BC ⊥，
1 AC BC CC ∴、、两两垂直 .
如图，以C 为原点，直线1CA CB CC ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则1(0 0 0)(2 0 0)(0 2 0)(0 0 2)C A B C ，，，，，，，，，，，，(1 1 0).D ，， （Ⅰ）证明：设1BC 与1B C 的交点为E ，则(0 1 1).E ，，
1111
(1 0 1)(2 0 2) //.2
DE AC DE AC DE AC =-=-∴=
∴，，， ，，， ， A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
E
F G
111 DE CDB AC CDB ⊂⊄平面， 平面，
11 //.AC CDB ∴平面
（Ⅱ）解：设点B 到1CDB 平面的距离为.h 在三棱锥1B BCD -中，
11 B BCD B B CD V V --=，且 1 B B BCD ⊥平面，
11 BCD B CD S B B S h ∆∆∴⋅=⋅
易求得
111
1 2
BCD B CD
S S CD B D ∆∆==⋅=， ，
11 BCD B CD S B B h S ∆∆⋅∴==
即点B 到1CDB 平面
…….. 9分 （Ⅲ）解：在平面ABC 内作DF BC ⊥于点F ， 过点F 作1FG B C ⊥于点G ，连结.DG 易证明 11DF BCC B ⊥平面， 从而GF 是DG 在平面11BCC B 内的射影，根据三垂线定理得 1.B C GD ⊥
DGF ∴∠是二面角1B B C D --的平面角.
易知11(0 1 0)0 22F G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，11 2222GF GD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
110，，-，1，，-， cos GF GD
GF GD GF GD
∴
〈〉==，3
∴ 二面角1B B C D --的大小是arccos 3
3． 解法一：
（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 为正方形，∴AB BC ⊥，又PB BC ⊥，∴⊥BC 平面PAB ， ∴PA BC ⊥. ………………2分 同理PA CD ⊥， ………………4分
∴⊥PA 平面ABCD ． ………5分
（Ⅱ）解：设M 为AD 中点，连结EM ，又E 为PD 中点，可得PA EM //，从而
⊥EM 底面ABCD ．过 M 作AC 的垂线MN ，垂足为N ,连结EN ．
由三垂线定理有AC EN ⊥，∴E N M ∠为二面角D AC E --的平面角.………………7分 在EMN Rt ∆中，可求得,2
2
,1==MN EM ∴2tan ==
MN
EM
ENM ．………………9分 ∴ 二面角D AC E --的大小为2arctan ．
（Ⅲ）解：由E 为PD 中点可知,要使得点E 到平面PAF 的距离为
5
5
2，即要点D 到平面PAF 的距离为
5
5
4. 过 D 作AF 的垂线DG ，垂足为G ,∵⊥PA 平面ABCD ，∴平面⊥PAF 平面ABCD ，∴⊥DG 平面PAF ，即DG 为点D 到平面PAF 的距离. ∴5
5
4=
DG ， ∴5
5
2=
AG ．……12分 设x BF =，由ABF ∆与DGA ∆相似可得
GA DG BF AB =
，∴22
=x
，即1=x ． ∴在线段BC 上存在点F ，且F 为BC 中点，使得点E 到平面PAF 的距离为5
5
2． 解法二：
（Ⅰ）证明：同解法一．
（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标xyz A -， 则，，，
)000(A ，，，)022(C )110(，，E . 设m ),,(z y x =为平面AEC 的一个法向量，则m ⊥，m ⊥．
又),1,1,0(=AE ),0,2,2(=AC ⎩
⎨⎧=+=+∴.022,
0y x z y 令,1=x 则,1,1=-=z y
得m )1,1,1(-=．………………8分
又)2,0,0(=是平面ACD 的一个法向量，设二面角D AC E --的大小为 θ，
则3
3
2
32,cos cos =
⋅=
>=
<=m θ． ∴ 二面角D AC E --的大小为3
3arccos
． （Ⅲ）解：设),20()02(≤≤t t F ，，n ),,(c b a =为平面PAF 的一个法向量，则n ⊥，
n ⊥．又)2,0,0(=，),0,,2(t =
⎩
⎨
⎧=+=∴.02,
02tb a c 令,t a =则,0,2=-=c b 得n )0,2,(-=t ． …………12分
又),1,1,0(=∴点E 到平面PAF
的距离4
22+=
=t ，∴
=
+4
22t 5
5
2， 解得1=t ，即 )012(，，F .
∴在线段BC 上存在点F ，使得点E 到平面PAF 的距离为5
5
2，且F 为BC 中点． 4． 解法1：
（Ⅰ）取A 1D ，则A 1D//B 1C 知，B 1C 与DE 所成角即为A 1D 与DE 所成角，连结A 1E.由正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，可设其棱长为a ，
分
则3.510
2cos ,25,2121221111 =⋅⋅-+=∠∴=
==DE D A E A DE D A DE A a DE E A a D A
（Ⅱ）取B1C 的中点F ，B1D 的中点G ，连结BF ，EG ，GF.
.
,,.
,1111111CD B BF C C B CD C B BF BF DC B BCC BF B BCC CD 平面又平面且平面⊥∴=⋂⊥⊥∴⊂⊥
∵GF CD 2
1
，BE 2
1
CD ， ∴BE
GF ，
∴四边形BFGE 是平行四边形， ∴BF//GE.
.
,.
1111CD B D EB D EB GE CD B GE 平面平面平面平面⊥∴⊂⊥∴
（Ⅲ）连结EF.
分的余弦值为
二面角中则在设正方体的棱长为的平面角是二面角平面又13.3
3
.3
3
cos ,2
3,21,,..,.,//,111111 D C B E EF GF EFG a EF a GF EFG a D C B E EFG C B EF CD B EG C B GF CD GF C B CD --∴==
∠∴==∆--∠∴⊥∴⊥⊥∴⊥ 解法2：
如图建立空间直角坐标系A —xyz .则A （0，0，0），B （2a ，0，0）,C(0，2a ，0) A 1（0，0，2a ），B （2a ，2，2a ），C 1（0，2a ，2a ） （Ⅰ）取AB 的中点H ，连结CH. )0,0,(),,0,(),,2,0(a H a a D a a E
ABC
DE ABC DE ABC CH DE CH a a a a 面分平面而平面//4.,.//),0,2,(),0,2,(∴⊄⊂∴-=-=∴
)
8(.,
.,,00)2()(,0)()2()()().0,,(),,,(),2,,().
0,,(),0,2,0(),0,0,2()1(111111分平面 AEF F B F AF EF AF F B EF F B a a a a a AF F E a a a a a a B a a a a a a a a B a a F a C a B ⊥∴=⋂⊥⊥∴=⋅-+⋅+⋅-=⋅=-⋅-+-⋅+⋅-=⋅∴=--=--=∴
（Ⅲ）设平面AB 1E 的一个法向量为),,(z y x m =
,
02,022),
,2,0(),2,0,2(11=+=⋅=+=⋅==az ay m az ax AB m a a a a AB ).,2
1
,(,.21
.a a a m a z z y z x --==⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=∴则令
由于平面AEF 的一个法向量为),2,,(1a a a F B --= 故设B 1与m 所成角为θ.
.612
36221
cos 2
221-=⋅--==∴a a a a a θ
由于平面AB 1E 与平面AEF 所成的二面角为锐二面角，
F AE B --∴1二面角的平面角的余弦值
.6
151的正切值为二面角F AE B --∴.
5． 解法一:
（Ⅰ） 连结BD ．在ABC ∆中，90B ︒
∠=.
∵AB BC =，点D 为AC 的中点，∴BD AC ⊥． ∵,PB ABC ⊥面即BD 为PD 在平面ABC 内的射影， ∴PD AC ⊥．…………………………2分 ∵E F 、分别为AB BC 、的中点,∴//EF AC , ∴EF PD ⊥．…………4分
（Ⅱ）∵,PB ABC ⊥平面∴EF PB ⊥．连结BD 交EF 于点O ，∵EF PB ⊥，EF PD ⊥ ∴PBD EF ⊥平面，∴FPO ∠为直线PF 与平面PBD 所成的EF PO ⊥.……………6分 ∵,PB ABC ⊥面∴PB AB ⊥，PB BC ⊥，又∵45PAB ︒
∠=，∴2==AB PB .
∵2
241==
AC OF ，∴522=+=BF PB PF ，
∴在Rt △FPO 中，10
10
sin ==
∠PF OF FPO ，∴1010arcsin =∠FPO ．……… 8分
（Ⅲ）过点B 作BM PF ⊥于点F ，连结EM ，
∵,,AB PB AB BC ⊥⊥∴,AB PBC ⊥平面即BM 为EM 在平面PBC 内的射影， ∴EM PF ⊥，∴EMB ∠为二面角E PF B --的平面角．………11分 ∵Rt P F B ∆中，PB BF
PF BM ⋅=
=,
∴tan 2
EB EMB BM ∠==13分 解法二：
建立空间直角坐标系B −xyz,如图，则(),0,0,0B (),0,0,2A ()0,2,0C ，()0,1,1D ，()0,0,1E ，
()0,1,0F ，()2,0,0P .
（Ⅰ）∵()0,1,1-=，()2,1,1-=， ∴110EF PD ⋅=-+= ∴EF PD ⊥.………4分
（Ⅱ）由已知可得，()0,1,1-=为平面PBD 的法向量，()2,1,0-=,
∴ cos ,10
PF EF PF EF PF EF
⋅<>=
=
=⋅，
∴直线PF 与面PBD ∴直线PF 与面PBD 所成的角为10
10arcsin
. （Ⅲ）设平面PEF 的一个法向量为a (),,x y z =，∵()0,1,1-=，()2,1,0-=
∴ a 0EF x y =-+=，a 20PF y z =-=，令1=z
，∴ a ()2,2,1=由已知可得，
向量()0,0,2=BA 为平面PBF 的一个法向量，∴ cos < a 42,323
a BA BA a BA
⋅>=
=
=⨯⋅， ∴tan < a 5,BA >=
.
∴ 二面角E PF B --的正切值为2
5
.………14分 6．
（Ⅰ）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA BC ⊥．又AB ⊥BC ，PA AB A =，
∴BC ⊥平面PAB ．又BC ⊂平面PCB ，∴平面PAB ⊥平面PCB ．
（Ⅱ）∵PA ⊥底面ABCD ，∴AC 为PC 在平面ABCD 内的射影．又∵PC ⊥AD ，∴AC ⊥AD ．在梯形ABCD 中，由AB ⊥BC ，AB =BC ，得4
BAC π
∠=，
∴4
DCA BAC π∠=∠=．
又AC ⊥AD ，故DAC ∆为等腰直角三角形．
∴)
2DC AB ==．
连接BD ，交AC 于点M ，则 2.DM DC
MB AB
==
在BPD ∆中，2PE DM
EB MB
==，∴//PD EM
又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC ．
（Ⅲ）在等腰直角PAB ∆中，取PB 中点N ，连结AN ，则AN PB ⊥．∵平面PAB ⊥平面PCB ，且平面PAB
平面PCB =PB ，∴AN PBC ⊥平面．
在平面PBC 内，过N 作NH ⊥直线CE 于H ，连结AH ，由于NH 是AH 在平面CEB 内的射影，故AH CE ⊥．∴AHN ∠就是二面角A —CE —P 的平面角---------------------12分 在Rt PBC ∆中，设CB a =，则
PB ==，
13BE PB ==
，16NE PB ==
，CE ==，
由NH CE ⊥，EB CB ⊥可知：NEH ∆∽CEB ∆， ∴
.NH CB
NE CE =
代入解得：NH =．
在Rt AHN ∆
中，AN =
，
∴tan AN AHN NH
== 即二面角A —CE —P
的大小为 解法二：
（Ⅱ）以A 为原点，,AB AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系． 设PA AB BC a ===，则()0,0,0A ，()0,,0B a ，
(),,0C a a ()0,0,P a ，20,,33a a E ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
设(),,0D a y ，则
()(),,,,,0CP a a a AD a y =--=，
CP AD ⊥，
∴2
0CP AD a ay ⋅=--=，
解得：y a =-．2DC AB ∴=．
连结BD ，交AC 于点M ， 则
2DM DC
MB AB
==.---------------7分
在BPD ∆中，2PE DM
EB MB ==， ∴//PD EM ．又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC ．
（Ⅲ）设()1,,1x y =n 为平面EAC 的一个法向量，则11,AC AE ⊥⊥n n ，
∴0,
20.3
3ax ay ay a +=⎧⎪
⎨+=⎪⎩
解得：11,22x y =
=-，∴111
(,,1)22
=-n ． 设()2',',1x y =n 为平面EBC 的一个法向量，则22,BC BE ⊥⊥n n ，又(),0,0BC a =，
(0,,)33a a BE =-，∴'0,'0,3
3ax ay a =⎧⎪
-⎨+=⎪⎩
H
A
C
B
D
1
A
1
C
1
B
E
F
解得：'0,'1x y ==，∴(
)20,1,1=n ． 121212cos ,6
⋅=
=
n n n n n n ．13分 ∴二面角A —CE —P 的大小为arccos 6
．14分
7．解法一：
（Ⅰ）在直三棱柱111ABC A B C -中,11A B //AB .∴BAC ∠是11A B 与AC 所成的角. 2分 在Rt ABC ∆中，,90AB BC ABC =∠=︒，45BAC ∴∠=︒. ∴11A B 与AC 所成角为45︒. （Ⅱ）取AC 中点E ，连结,DE BE ，D 是1A C 的中点，则1//DE AA .
1AA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC . 则BE 是BD 在平面ABC 内的射影.
AB BC =,BE AC ∴⊥.∴BD AC ⊥.
同理可证1BD B C ⊥. 8分
又1AC B C C =，BD ∴⊥平面1AB C .
（III ）取1AB 中点F ，连结,CF BF ，
1AB BB =,1BF AB ∴⊥
1
AC BC ==1.CF AB ∴⊥ 则BFC
∠为二面角1C AB B --的平面角. 12分 在Rt BFC ∆
中，1,902
BF BC FBC =
=
∠=︒，则tan BFC =∴BFC ∠
=. 14分
即二面角1C AB B --的大小为arctan . 解法二： （Ⅰ）同法一.
（Ⅱ）建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(1,0,0)A ，(0,1,0),C 1(0,0,1)B ，
1(1,0,1)A ， D （111
,,)222
.------------------6分
则111
(,,)222
BD =，1(1,1,0),(1,0,1)AC AB =-=-.
10,0BD AC BD AB ∴⋅=⋅=. ---------------8分
1,BD AC BD AB ∴⊥⊥，且1AC
AB A =. BD ∴⊥平面1AB C .---------------9分 （III ）
11,,BC BB BC AB AB
BB B ⊥⊥=,BC ∴⊥平面1ABB .
(0,1,0)BC ∴=是平面1ABB 的法向量.由（Ⅱ）可知111
(,,)222
BD =是平面1AB C 的法向
量
.1
2cos ,3||||3BC BD BC BD BC BD ⋅
<>===
. 即二面角1C AB B --的大小为arccos 3
8．解法一：
（Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB
平面ABC AB =，且BC AB ⊥，
BC PAB ∴⊥平面 .
PA ⊂平面 PAB ， PA BC ∴⊥.
又
PA PB ⊥，∴ PA PBC ⊥平面 .
（Ⅱ）解：作PO AB ⊥于点O ，OM AC ⊥于点M ，连结PM . ∵平面PAB ⊥平面ABC ，
PO ABC ∴⊥平面 ，根据三垂线定理得 PM AC
⊥，
PMO ∴∠是二面角P AC B --的平面角.………….. 6分
设PA PB ==
PA PB ⊥，
AB PO BO AO ∴====， 30OM AM MAO ⊥∠=︒，，
sin 302
AO
OM AO ∴=⋅︒=
，
tan 2PO AO
PMO OM OM
∴===，
即二面角P AC B --的大小是arctan 2.
（Ⅲ）解：在底面ABC 内分别过A C 、作BC AB 、的平行线，交于点D ，连结
OC OD PD ，，.则PCD ∠是异面直线AB 和PC 所成的角或其补角.
30AB BC BAC ⊥∠=︒，，
tan302BC AB ∴=⋅︒=
， OC
PC ∴=.
易知底面ABCD 为矩形，从而OC OD =，.PC PD =在
PCD ∆中，1
2cos CD
PCD PC =
∴异面直线AB 和PC 所成角的大小为. 解法二：
作PO AB ⊥于点O ， 平面PAB ⊥平面ABC ， PO ∴⊥平面ABC .过点O 作BC 的平行线，交AC 于点D .如图，以O 为原点，直线OD OB OP ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 . ………….. 2分
PA PB ==设.
PA PB ⊥，
AB PO BO AO ∴====， 30AB BC BAC ⊥∠=︒，， tan302BC AB ∴=⋅︒=.
(0 0 0)(0 (0(2O A B C ∴，，，，，，，(0 0P ，(1 0 0).D ，，
----------------------------------------------4分 （Ⅰ）证明：
(0 33)(2 00)PA BC =--=，，， ，，， 0PA BC ∴=，
PA BC ∴⊥. 又 PA PB ⊥，
∴PA PBC ⊥平面 .
（Ⅱ）解：作OM AC ⊥于点M ，连结PM .
PO ⊥平面ABC ， 根据三垂线定理得 PM AC ⊥， PMO ∴∠是二面角P AC B --
的平面角. 在Rt AMO ∆中， sin 3022AO OM AO =⋅︒==，3 04M ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭
，，
从而333044MO MP ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝，，， ，
5
cos 5
MO MP MO
MP MO MP
∴〈〉=
=
，， 即二面角P
AC B --的大小是arccos 5
. （Ⅲ）解：
()( 023023AB PC ==，，， ，，，
30
cos 10
AB PC
AB PC AB PC
∴〈〉=
=，， ∴异面直线AB 和PC 所成角的大小为arccos
10
.
9． 解法一：
（Ⅰ）证明：由直三棱柱性质，B 1B ⊥平面ABC ，∴B 1B ⊥AC ，又BA ⊥AC ，B 1B ∩BA=B ， ∴AC ⊥平面 ABB 1A 1，又AC ⊂平面B 1AC ， ∴平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1. …………4分 （Ⅱ）解：过A 1做A 1M ⊥B 1A 1，垂足为M ，连结CM ，
∵平面B 1AC ⊥平面ABB 1A ，且平面B 1AC ∩平面ABB 1A 1=B 1A ，∴A 1M ⊥平面B 1AC. ∴∠A 1CM 为直线A 1C 与平面B 1AC 所成的角， ∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角，∴∠B 1CB=30°. 设AB=BB 1=a ，可得B 1C=2a ，BC=a AC a 2,3=
，
.6
6
sin ,2
2
,311111==
==C A M A CM A a M A a C A 又从而
∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为
.6
6
…………9分 （III ）解：过A 做AN ⊥BC ，垂足为N ，过
N
做NO ⊥B 1C ，垂足为O ，连结AO ， 由AN ⊥BC ，可得AN ⊥平面BCC 1B 1，由三垂线定理，可知AO ⊥B 1C ，
∴∠AON 为二面角B —B 1C —A 的平面角，
.3
6
sin ,,3611==∴=⋅==⋅=
AO AN AON a C B AC AB AO a BC AC AB AN ∴二面角B —B 1C —A 的大小为.3
6
arcsin …………14分 解法二：
（Ⅰ）证明：同解法一. …………4分
（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标系A —xyz ， ∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角， ∴∠B 1CB=30°. 设AB=B 1B=1，
).
1,1,0(),1,0,0(),0,0,2(),0,1,0(),0,0,0(.
2,311B A C B A AC BC 则则==
,666
1|
|||,cos ),1,0,2(),1,1,0(,,11111111111==⋅>=
<∴=-=C A B A A A A A AC B A B A 又的一个法向量易知连结
∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为
.6
6
…………9分 （III ）解：设),,(z y x n =为平面BCC 1B 1的一个法向量， .3
3
232,cos cos ,,).
0,2,
1(,
0,2,1,02,0),0,1,2(),1,0,0(,
,1111111=
⋅
=
=
<=--====⎩⎨
⎧=-=∴-==⊥⊥B A n A C B B AC B A n z y x y x z BC BB n BB n θθ则的大小为设二面角的一个法向量是平面又得则令又则
∴二面角B —B 1C —A 的大小为.3
3
arccos …………14分
A
B
C
D
P
E F
A B
C D
P
x
y
z
10． 解法一：
（Ⅰ）∵PC ⊥平面ABC ，⊂AB 平面ABC ， ∴PC ⊥AB ．…………………………2分 ∵CD ⊥平面PAB ，⊂AB 平面PAB ， ∴CD ⊥AB ．…………………………4分 又C CD PC = ，
∴AB ⊥平面PCB ． …………………………5分
（Ⅱ）过点A 作AF//BC ，且AF=BC ，连结PF ，CF ．则 PA F ∠为异面直线PA 与BC 所成的角．
由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ， ∴CF ⊥AF ．
由三垂线定理，得PF ⊥AF ．
则AF=CF=2，PF=6 CF PC 22=+， 在PFA Rt ∆中，
tan ∠PAF=
2
6AF
PF
==3，
∴异面直线PA 与BC 所成的角为
3
π． （III ）取AP 的中点E ，连结CE 、DE ．∵PC=AC=2，∴CE ⊥PA ，CE=2． ∵CD ⊥平面PAB ，由三垂线定理的逆定理，得 DE ⊥PA ． ∴CED ∠为二面角C-PA-B 的平面角．
由（Ⅰ）AB ⊥平面PCB ，又∵AB=BC ，可求得BC=2．在PCB Rt ∆中， PB=6B C PC 22=
+，
3
2
622PB BC PC CD =
⨯=⋅=
． 在CDE Rt ∆中，
sin ∠CED=
362
32
CE
CD
==． ∴二面角C-PA-B 的大小为arcsin 3
6
． 解法二： （Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由(I) AB ⊥平面PCB ，∵PC=AC=2，又∵AB=BC ，可求得BC=2．
以B 为原点，如图建立坐标系．则Ａ（０，2，０），Ｂ（0，0，0），C （2，０，0），P （2，０，2）．),22,2(AP -=，)0,0,2(B C =．则22⨯=
⋅+0+0=2．
,cos >=
<=
2
222⨯=
21．∴异面直线AP 与BC 所成的角为3
π
． （III ）设平面PAB 的法向量为m = (x ，y ，z)．)0,2,0(AB -=，),22,2(AP -=，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0.
m ,0m 即⎪⎩⎪⎨
⎧=+-=-.02z y 2x 2,0y 2
解得⎩⎨⎧-==z
2x ,0y 令z = -1, 得 m = (2，0，-1)．
设平面PAC 的法向量为n =('
'
'
z ,y ,x )．
)0,-2,0(=，),02,2(-=， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0.
n ,
0n 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-.0y 2x 2,02z '
'' 解得⎪⎩⎪⎨⎧=='''
y
x ,0z 令'
x =1, 得 n = (1，1，0)．…………………12分
n m n m n ,m cos ⋅>=
<=33
2
32=⨯． ∴二面角C-PA-B 的大小为arccos 3
3
．………14分 11．
A
B
C
A B 1
C
E
F 方法1：
（Ⅰ）证明：依条件有CB ∥C 1B 1，又C 1B 1⊂平面A B 1C 1，CB ⊄平面A B 1C 1， 所以CB ∥平面A B 1C 1.…………………3分
（Ⅱ）解：因为D 为AB 的中点，依条件可知C 1D ⊥A 1B 1. 所以
111B C AD V -=111C D AB V -=13×C 1D 1×(12×A 1A×D 1B 1)= 13×
12×(1
2
×
1×2)=24.……………7分
（Ⅲ）解：因为D 1是A 1B 1上一动点， 所以当D 1与A 1重合时，二面角D 1-AC 1-C 的大小为π；
当D 1与B 1重合时，如图，分别延长A 1C 1和AC 1，
过B 1作B 1E ⊥A 1C 1延长于E ，依条件可知平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1， 所以B 1E ⊥平面ACC 1A 1.
过点E 作EF ⊥A 1C 1，垂直为F. 连结FB 1，
所以FB 1⊥A 1C 1.所以∠B 1FE 是所求二面角的平面角.
容易求出B 1
E=
2，FE=4
. 所以tan ∠
B 1FE=1B E
FE
.所以∠B 1
.
（或arccos
7
）
所以二面角D 1-AC 1-C 的取值范围是
，π]（或[arccos 7
，π]）.……13分 方法2：
（Ⅰ），（Ⅱ）略
（Ⅲ）解：如图建立空间直角坐标系，则
有A(1，0，0)，
B 1(-1
2
，1)，C 1(0，
0，1).
因为D 1是A 1B 1上一动点，所以当D 1与A 1重合时，二面角D 1-AC 1-C 的大小为π；当D 1与B 1重合时， 显然向量n 1=(0，1
，
1(D 1)
0)是平面ACC 1A 1的一个法向量.
因为1C A =(1，0，-1)， 11C B =(-
12
1)，
设平面C 1AB 1的法向量是n 2=(x ，y ，z )，
由1C A ·n 2=0，11C B ·n 2=0，解得平面C 1AB 1的一个法向量n 2=(13，1).因为n 1·n 2=3
，
| n 1|=1，| n 2B 1-AC 1-C 的大小为β，所以cos β.即β.
所以二面角D 1-AC 1-C 的取值范围是π]（或，π]）---------13分 12． 解法一:
（Ⅰ）证明：∵ P A ⊥底面ABCD,BC ⊂平面ABCD,PA BC ∴⊥，∠ACB =90︒
，
BC AC ∴⊥.又PA AC A ⋂=，∴ BC ⊥平面PAC .4分
（Ⅱ）∵AB // CD , 0
120DAB ∴∠=. ∠ADC=600
, 又AD =CD=1,
ADC ∴∆为等边三角形,且 AC=1.取AC 的中点O ，则DO AC ⊥，
∵P A ⊥底面ABCD ，,PA DO DO ∴⊥∴⊥面PAC
过O 作OH PC ⊥，垂足为H ，连DH ，由三垂线定理知DH PC ⊥.
DHO ∴∠为二面角D PC A --的平面角.由OH DO ==tan 2,arctan 2DO
DHO DHO OH
∴=
=∴∠=. ∴二面角D PC A --的大小为arctan 2.
（Ⅲ）设点B 到平面PCD 的距离的距离为d .
∵AB //CD ,AB ⊄平面,PCD CD ⊂面PCD ,
//AB ∴平面PCD .
∴点B 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离.
, A PCD P ACD V V --==分
,
5
d ∴=
. 解法二:
（Ⅰ）同解法一 -----------4分
（Ⅱ）取CD 的中点E ，则,AE CD AE AB ⊥∴⊥.又P A ⊥底面ABCD,AE ⊂面
ABCD ,PA AE ∴⊥ --------------5分
建立空间直角坐标系，如图. 则(
)(
110,0,0,,,0,,022A P C D ⎫⎫
-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()
31310,0,3,,,0,,,0,
22AP AC PD ⎛⎫⎛⎫
===- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
设()1
111,,n
x y z =为平面PAC 的一个法向量，
()2222,,n x y z =为平面PDC 的一个法向量，则
11111111
1002000n AC x y y z n AP ⎧⎧⋅=+==⎪⎪
⇒⇒⎨
⎨⎨
=⋅=⎪⎪⎩⎪⎩=⎩ 可取(
)1
3,3,0
n =
-；
22122222200012002
y n DC y x z x y n DP =⎧
⎧⋅==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=++=⋅=⎩⎪
⎪⎩⎩，
可取()2
2,0,1n =. ------------ 9分
1212
12
cos , 10
n n n n n n ⋅∴=
⋅=
=
分
故所求二面角的大小为arccos 5
.
（Ⅲ）又()(0,2,0,0,2,B PB =.
由（Ⅱ）取平面PCD 的一个法向量()2
2,0,1n =,
∴点B 到平面PCD 的距离的距离为
22
13n PB d n ⋅=
分
.
=
=
分
13．
（Ⅰ）解： AB ∥平面DEF . 在△ABC 中，
∵ E 、F 分别是AC 、BC 上的点，且满足CE CF k CA CB ==，∴ AB ∥EF .
∵ AB ⊄平面DEF ，EF ≠
⊂平面DEF ，
∴ AB ∥平面DEF . …………… 3分 （Ⅱ）过D 点作DG ⊥AC 于G ，连结BG ， ∵ AD ⊥CD , BD ⊥CD ,
∴ ∠ADB 是二面角A -CD -B 的平面角. ∴ ∠ADB=90, 即BD ⊥AD . ∴ BD ⊥平面ADC . ∴ BD ⊥AC . ∴ AC ⊥平面BGD . ∴ BG ⊥AC .
∴ ∠BGD 是二面角B -AC -D 的平面角. ……5分 在
ADC 中，AD =a , , AC=2a ,
∴
3AD DC a DG AC ==
=.
在Rt △BDG 中，tan
BD BGD DG ∠==∴ BGD
∠=.
即二面角B -AC -D 的大小为…… 8分
（Ⅲ）∵ AB ∥EF , ∴ ∠DEF (或其补角)是异面直线AB 与
DE 所成的角.… 9分 ∵
AB =，∴
EF =.又
, 2CE kCA ak ==， ∴
DF DE =
G
A
B
C
D E
F
=
==
∴
222cos 22DE EF DF EF DEF DE EF DE +-∠===
∴
234a k +解得 1
2
k =.…………………… 13分 14．
（Ⅰ）解：∵直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，∴B 1B ⊥面ABC ，∴B 1B ⊥AB . 又∵AB ⊥BC ， ∴AB ⊥面BCC 1B 1. 连结BC 1，则∠AC 1B 为AC 1与平面B 1BCC 1所成角. 依题设知，BC 1=22，在Rt △ABC 1中，.2
2
222tan 11===∠BC AB B AC …………5分 （Ⅱ）如图，连结DF ，在△ABC 1中， ∵D 、F 分别为AB 、BC 1的中点，∴DF ∥AC 1， 又∵DF ⊂平面B 1DC ，AC 1⊄平面B 1DC ， ∴AC 1∥平面B 1DC .……10分 （Ⅲ）PB 1=x ，.21
=∆BCC S
当点P 从E 点出发到A 1点，即]2,1[∈x 时， 由（Ⅰ）同理可证PB 1⊥面BB 1C 1C ，
.3
231111x
PB s V BCC BCC P =⨯=
∴∆- 当点P 从A 1点运动到A 点，即]22,2[∈x 时，3
4
3111=⨯=∆-AB S V BCC BCC P . ∴三棱锥P —BCC 1的体积表达式
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧∈=].
22,2[3
4]2,1
[3
2)(x x x
x V
…………14分
15．
（Ⅰ）证明： E 是AB 的中点，AB 21BE =
∴，又EB //DC ,AB 2
1
DC ,AB //CD ∴= 且EB DC =∴四边形DCBE 是平行四边形，BC //ED ∴ ⊄DE 面PBC ，⊂BC 面PBC ，//DE ∴平面PBC 。

（Ⅱ）连接EC ，据（Ⅰ）知，AE //CD 且CD=AE ，
∴四边形ADCE 为平行四边形，又AD=DC ，∴四边形ADCE 是菱形。

连接AC 交DE 于F ，连接
PF ，则AC DE ⊥，PF DE ⊥，⊥∴=⋂DE ,F PF AC 平面PFC 。

又⊂PC 平面PFC ，
PC DE ⊥∴。

（Ⅲ）⊥DE 平面PFC ，⊂DE 平面BCDE ，∴平面⊥PFC 平面BCDE ，且两平面交于AC ， 过点P 作AC PH ⊥于H ，则⊥PH 平面BCDE ，连接DH ，则DH 为PD 在平面BCDE 上的射影，
PDH ∠∴就是直线PD 与平面BCDE 所成的角。

由（Ⅱ）知，PFC ∠就是二面角C DE P --的平面角，︒=∠∴︒=∠∴60PFA ,120PFC 。

设a DE BC AE AD ====，则a 23PF AF =
=在PHF Rt ∆中，a 4
360sin PF PH =︒⋅= ∴在PHD Rt ∆中，4
3
PD PH PDH sin ==
∠ 16．
（Ⅰ）证明：连结A 1C 1、AC 、AC 和BD 交于O ，连结C 1O ．∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ，BD =CD ．又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C= C 1C ，∴ △C 1BC ≌△C 1DC ∴ C 1B =C 1D ，∵ DO =OB ∴ C 1O ⊥BD ，但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O =O ，∴ BD ⊥平面AC 1，又C 1C ⊂平面AC 1 ∴ C 1C ⊥BD ． （Ⅱ）解：由(Ⅰ)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ，∴ ∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角． 在△C 1BC 中，BC =2，C 1C=
23，∠BCC 1=60º，∴ C 1B 2=22＋(23)2－2×2×23×cos60º=413
∵ ∠OCB=30º，∴ OB=21BC=1．∴C 1O 2= C 1B 2－OB 2=
4
9
1413=-， ∴ C 1O =
2
3
即C 1O = C 1C ．作 C 1H ⊥OC ，垂足为H ．∴ 点H 是OC 的中点，且OH =23，
所以cos ∠C 1OC=
O C OH
1=3
3．
（Ⅲ）当
1CC CD =1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD 证明一：∵ 1
CC CD
=1，∴ BC =CD = C 1C ， 又∠BCD=∠C 1CB=∠C 1CD ，由此可推得BD = C 1B =
C 1
D ．∴ 三棱锥C －C 1BD 是正三棱锥．
设A 1C 与C 1O 相交于G ．
∵ A 1 C 1∥AC ，且A 1 C 1∶OC =2∶1，∴ C 1G ∶GO =2∶1． 又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线 ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心，
∴ CG ⊥平面C 1BD ．即A 1C ⊥平面C 1BD ．
证明二：
由（Ⅰ）知，BD ⊥平面AC 1，∵ A 1 C 平面AC 1，∴BD ⊥A 1 C ． 当
1
CC CD
=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD ⊥A 1 C 的证法可得BC 1⊥A 1C ，又BD ⊥BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面C 1BD.
O
H
G
C 1
C
D A
B
D 1B 1
A 1。