浙江省名校协作体2021-2022学年高三上学期开学联考数学试题
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【详解】
如下图， ， ，则 ， ，
若 ，则 ， ，
若 ，由 ，
∴要使 最大，则 、 同向共线，如下图示，
此时， ，而 ，
∴当 时， 最大值为 .
要使 最小，则 、 反向共线且 ，如下图示，
此时 ，而 ，
∴当 时， 最小值为 .
综上， 取值范围为 .
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：作几何图形，并确定平面向量所对应线段，结合向量数量积的几何含义，分析 最大或最小时 、 的位置关系，进而得到 关于 的函数，并确定最值，即可得范围.
三、填空题
15．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与 的左右两支分别交于点 ， ，若 是以 为直角的等腰直角三角形，则 的离心率为____________.
16．已知正数 ， 满足 ， 的最小值是__________．
17．已知平面向量 ， ， 满足 ， ，则 的取值范围为__________．
四、解答题
18．已知函数 的部分图象如图所示．
（1）求函数 的周期及表达式；
（2）若函数 ，求 的最大值及单调递增区间．
19．如图，已知四棱锥 ， ，平面 平面 ， ， ．
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
20．已知 为数列 的前 项和， ， ， 成等差数列，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
【详解】
当 时， ，此时 恒有一个零点，
∴要使 有两个零点，即当 时， 有且仅有一个零点，此时，令 则 ，
∴在 上 有且仅有一个解，
若 ，则 ，
∴ 时， ，则 单调递增； 时， ，则 单调递减；而 ，
∵ ，可知 上 ，又 上有 ，
∴ 上 ，故 时 在 上有且仅有一个零点，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：利用分段函数的性质确定 上 有且仅有一个零点，再设 ，结合参变分离，并构造函数研究单调性并确定值域，进而求符合题设的参数集合.
当 时， ，两式相减得 ，
所以 是公比为2的等比数列，
即 ，即 ．由 ，得 ，
所以 的通项公式 ．
（2）由（1）知
，
又因为 ， ，
故
，
∴ ．
21．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）根据椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，再根据 恰是椭圆 的焦点，即可得出答案；
（2）设直线 ： ， ，联立 ，求得 的中点坐标，根据因为 恰好被 平分，则直线 的斜率等于 ，再根据点差法求得直线 的斜率，求得 ，根据由 的中点在椭圆内，求得p的最大值，从而可求得 面积的最大值．
∴ ， ， ， ，易知 面 ， 面 ，
∴仅有△ 是锐角三角形，
如下图示，一个长方体最少可以分割为3个阳马： 、 、
故答案为：1, 3
12．
【分析】
先根据复数的除法运算求出复数 ，进而根据复数的概念求出虚部，再利用复数的模长公式即可求出模长.
【详解】
因为 ，所以 ，
则 的虚部为 ， ，
故答案为： ； .
浙江省名校协作体2021-2022学年高三上学期开学联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知 为椭圆 上一点，若 到一个焦点的距离为1，则 到另一个焦点的距离为（）
已知 ，则 为等腰三角形，
∴ ．又因为 为等边三角形，∴ ，
因为 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ ．
（2）解：由题意可得，平面 平面 ， ，故 平面 ．
以 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，
不妨设 ，
则 ， ， ， ，
设 ， ，∵ ，即 ．
， ，∴ ， ．
又∵ ， ，∴ ．
，设平面 的法向量为 ，则 ，
解得平面 的一个法向量为 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
20．（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据数列前 项和与通项的关系求解 的递推公式 ，再求出 ，再得出通项公式即可；
（2）代入 的通项公式，化简可得 ，再分别对 进行裂项求和证明即可
【详解】
解：（1）因为 ， ， 成等差数列，即 ，
12．复数 满足 ，则 的虚部为__________， __________．
13．直线 ： 截圆 的弦为 ，则 的最小值为__________，此时 的值为__________．
14．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，则角 __________，若 ，则 的最大值为__________．
13．2 1
【分析】
设圆心到直线 的距离为 ，则 ，
然后由 ，可求出 ，
进而利用均值不等式可求解
【详解】
可化简为 ，
设圆心到直线 的距离为 ，则 ，可得
，当 时， 有最小值，当 时， 没有最小值，所以，当且仅当 时，等号成立，此时，
故答案为：①2；②1
【点睛】
关键点睛：解题关键在于求出 ，进而利用均值不等式求出答案，属于中档题
判断 的符号、 的取值，应用排除法即可确定函数图象.
【详解】
当 时， ，排除C、D；
当 时， ，排除B.
故选：A
7．C
【分析】
由题设，易得 ，结合等比数列前n项和公式可得 ，即知 ， ， 为等差数列.
【详解】
由题设， ，即 ，化简 ，
， ，
∴ ，
∴ ， ， 成等差数列.
故选：C
8．A
【分析】
由分段函数的性质知 上 恒有一个零点，要使 有两个零点，则 上 有且仅有一个零点，令 可知在 上 有且仅有一个解，构造 并研究单调性，进而确定区间值域，即可求 取值集合.
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
21．已知抛物线 ： 和椭圆 ： ，过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于 ， 两点，线段 的中垂线交椭圆 于 ， 两点．
（1）若 恰是椭圆 的焦点，求 的值；
（2）若 恰好被 平分，求 面积的最大值．
22．设函数 ．
（1）若 为单调递增函数，求 的值；
（2）当 时，直线 与曲线 相切，求 的取值范围；
8．已知 ，若 有两个零点，则实数 取值的集合是（）
A． B． C． D．
9．如图所示，将两块斜边等长的直角三角板拼接（其中 ， ），将 沿 翻折至 ，记 ， ， 所成角为 ， ， ，则在翻折过程中，下列选项一定错误的是（）
A． B． C． D．
10．正数数列 的前 项和为 ， ，则下列选项中正确的是（）
综上： ，故B一定不成立；
故选：B.
10．D
【分析】
根据题设求出 、 、 ，并猜想 的通项公式，再利用数学归纳法证明，进而判断各选项的正误.
【详解】
由题设，当 时， 得 ，
当 时， ，整理得 ，
∴ ；
，整理得 ，
∴ ；
猜想： ，由 时 ，
∴ 也成立，故 ， 成立.
所以 .
故答案为：
16．
【分析】
令 ， ，根据题意转化为 ，令 ，即 ，所以关于 的一元二次方程有正实数根即可，进而可求出结果.
【详解】
令 ， ，则
因为 ，所以 ，即 ，
令 ，即 ，所以关于 的一元二次方程有正实数根即可，
所以 ，即 ，等号成立时 ，故 的最小值是 ，
故答案为： .
17．
【分析】
利用平面向量的几何含义，作出 ， ， ，若 ，求 、 且 ，进而分析 最大或最小时 、 的位置关系，结合向量数量积的几何意义及三角恒等变换、二次函数的性质求 的取值范围.
【详解】
根据三视图还原几何体，如图：
所以该几何体的体积为 ，
故选：D.
5．C
【分析】
由题设画出线性可行域，结合 的几何意义判断 是否有最值.
【详解】
由题设，可得如下可行域，
∴ 表示直线 与可行域有交点时，与x轴的截距，故当目标函数与x-y+1=0交于x轴时， 有最大值，而无最小值.
故选：C
6．A
【分析】
14． 8
【分析】
第一空利用正弦定理边化角化简即可求出角 ，第二空结合余弦定理得到 的关系式，进而结合均值不等式即可求出结果最大值.
【详解】
因为 ，结合正弦定理得 ，因为 ，所以 ，故 ，显然 ，所以 ，故 ，
结合余弦定理得 ，即 ，故 ，因为 ，即 ，故 ，当且仅当 时，等号成立，此时 ，所以， 的最大值为 ，
当 的射影点在 上时， 为直角， 为锐角，故 ；
当 的射影点在 右侧时， 为锐角， 为锐角，
过 作 于 ，过 作 交 于 ,连接 ,因为 ,所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ，过 作 于 ，因为平面 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ,过 作 于 ，连接 ，则 平面 ，因为 平面 ，因此 ，所以 ，同理作过 作 于 ，连接 ，则 ，所以 , ，显然 ，所以 ，则 ；
9．B
【分析】
在 沿 翻折至 的过程中，点 的运动轨迹始终为射影垂直于 的弧上，当 的射影点在 左侧时， 为钝角， 为锐角，故 ；当 的射影点在 上时， 为直角， 为锐角，故 ；当 的射影点在 右侧时， 为锐角， 为锐角，作出辅助线得到 , ，进而比较 即可得到结果.
【详解】
在 沿 翻折至 的过程中，点 的运动轨迹始终为射影垂直于 的弧上，当 的射影点在 左侧时， 为钝角， 为锐角，故 ；
18．（1） ； ；（2）最大值 ；单调递增区间为 ．
【分析】
（1）先根据图像分析周期，求出 ；把点 代入求出 ，即可得到解析式；
（2）先求出 的解析式，即可求出 的最大值和单增区间.
【详解】
解：（1）由图得 ，所以 ，所以 ；此时 .
点 代入函数得： ，又 ，解得： ，即函数为 ．
（2） ．
所以 ， 时取得最大值 ．
A．有最小值，无最大值B．有最小值，也有最大值
C．有最大值，无最小值D．无最大值，也无最小值
6．函数 可能的图象为（）
A．
B．
C．
D．
7．已知 是公比不为1的等比数列， 为 的前 项和，若 ， ， 成等差数列，则（）
A． ， ， 成等比数列B． ， ， 成等比数列
C． ， ， 成等差数列D． ， ， 成等差数列
所以 到另一个焦点的距离为 ，
故选：B
3．B
【分析】
根据空间中的面面、线面、线线关系判断推出关系，进而确定题设条件间的充分、必要关系.
【详解】
， ，有 ，又 ，易知 ；
， ，有 ，若 ，则 或 ；
∴ 是 的充分不必要条件．
故选：B
4．D
【分析】
首先根据三视图还原几何体，然后结合圆柱和三棱柱的体积公式即可求出结果.
故答案为： ； .
15．
【分析】
设 ，根据 是以 为直角的等腰直角三角形，结合双曲线的定义，由 ，求得t，过 作 的垂线，垂足为 ，然后在 中利用勾股定理求解.
【详解】
如图：
设直线 的斜率大于0， ，则 .
由双曲线的定义知 ， ，
所以 ，
所以 .
过 作 的垂线，垂足为 ，则 ，则 .
在 中， ，
整理得 ，
A．3B．5C．8D．12
3．已知 ， 是两个不同的平面， ， 是空间两条不同的直线，且 ， ，则 是 的（）条件．
A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要
4．某几何体由圆柱的部分和一个多面体组成，其三视图（单位： ）如图所示，则该几何体的体积是（） ．
A． B． C． D．
5．已知实数 ， 满足约束条件 ，则 （）
A． B． C． D．
二、双空题
11．《九章算术》是中国古代的数学专著，收有246个与生产、生活有联系的应用问题．早在隋唐时期便已在其他国家传播．书中提到了“阳马”．它是中国古代建筑里的一种构件，抽象成几何体就是一底面为矩形，其中一条侧棱与底面垂直的直角四棱锥．问：在一个阳马中，任取其中3个顶点，能构成__________个锐角三角形，一个长方体最少可以分割为___________个阳马．
要求 的增区间，只需 ，
解得
所以 单调递增区间为 ．
19．（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
（1）取 中点 ，连接OA， ， ，证明 ， ，从而得出 平面 ，即可证明 ；
（2）以 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，不妨设 ，求出平面 的法向量，从而可计算出直线 与平面 所成角的正弦值．
【详解】
（1）证明：取 中点 ，连接OA， ， ，
（3）若 的值域为 ，证明： ．
参考答案
1．D
【分析】
根据整数集的概念列举法表示出集合 ，解指数不等式表示出集合 ，然后根据集合的基本运算即可求出结果.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，因此 ，
故选：D
2．B
【分析】
利用椭圆的定义求解.
【详解】
椭圆 的长轴长为 ，
由椭圆的定义得： ，
又因为 到一个焦点的距离为1，即 ，
∴ ，易知A、B错误；
， ，故C错误，D正确.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：应用数学归纳法证明猜想的 通项公式，进而判断各项正误.
11．1 3
【分析】
根据阳马的结构特征，排除掉所有的直角三角形，即可找到锐角三角形，结合长方体的性质及阳马的特征，可得最少分割阳马的个数.
【详解】
如下图示， 面 ，又底面为矩形，
如下图， ， ，则 ， ，
若 ，则 ， ，
若 ，由 ，
∴要使 最大，则 、 同向共线，如下图示，
此时， ，而 ，
∴当 时， 最大值为 .
要使 最小，则 、 反向共线且 ，如下图示，
此时 ，而 ，
∴当 时， 最小值为 .
综上， 取值范围为 .
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：作几何图形，并确定平面向量所对应线段，结合向量数量积的几何含义，分析 最大或最小时 、 的位置关系，进而得到 关于 的函数，并确定最值，即可得范围.
三、填空题
15．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与 的左右两支分别交于点 ， ，若 是以 为直角的等腰直角三角形，则 的离心率为____________.
16．已知正数 ， 满足 ， 的最小值是__________．
17．已知平面向量 ， ， 满足 ， ，则 的取值范围为__________．
四、解答题
18．已知函数 的部分图象如图所示．
（1）求函数 的周期及表达式；
（2）若函数 ，求 的最大值及单调递增区间．
19．如图，已知四棱锥 ， ，平面 平面 ， ， ．
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
20．已知 为数列 的前 项和， ， ， 成等差数列，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
【详解】
当 时， ，此时 恒有一个零点，
∴要使 有两个零点，即当 时， 有且仅有一个零点，此时，令 则 ，
∴在 上 有且仅有一个解，
若 ，则 ，
∴ 时， ，则 单调递增； 时， ，则 单调递减；而 ，
∵ ，可知 上 ，又 上有 ，
∴ 上 ，故 时 在 上有且仅有一个零点，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：利用分段函数的性质确定 上 有且仅有一个零点，再设 ，结合参变分离，并构造函数研究单调性并确定值域，进而求符合题设的参数集合.
当 时， ，两式相减得 ，
所以 是公比为2的等比数列，
即 ，即 ．由 ，得 ，
所以 的通项公式 ．
（2）由（1）知
，
又因为 ， ，
故
，
∴ ．
21．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）根据椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，再根据 恰是椭圆 的焦点，即可得出答案；
（2）设直线 ： ， ，联立 ，求得 的中点坐标，根据因为 恰好被 平分，则直线 的斜率等于 ，再根据点差法求得直线 的斜率，求得 ，根据由 的中点在椭圆内，求得p的最大值，从而可求得 面积的最大值．
∴ ， ， ， ，易知 面 ， 面 ，
∴仅有△ 是锐角三角形，
如下图示，一个长方体最少可以分割为3个阳马： 、 、
故答案为：1, 3
12．
【分析】
先根据复数的除法运算求出复数 ，进而根据复数的概念求出虚部，再利用复数的模长公式即可求出模长.
【详解】
因为 ，所以 ，
则 的虚部为 ， ，
故答案为： ； .
浙江省名校协作体2021-2022学年高三上学期开学联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知 为椭圆 上一点，若 到一个焦点的距离为1，则 到另一个焦点的距离为（）
已知 ，则 为等腰三角形，
∴ ．又因为 为等边三角形，∴ ，
因为 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ ．
（2）解：由题意可得，平面 平面 ， ，故 平面 ．
以 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，
不妨设 ，
则 ， ， ， ，
设 ， ，∵ ，即 ．
， ，∴ ， ．
又∵ ， ，∴ ．
，设平面 的法向量为 ，则 ，
解得平面 的一个法向量为 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
20．（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据数列前 项和与通项的关系求解 的递推公式 ，再求出 ，再得出通项公式即可；
（2）代入 的通项公式，化简可得 ，再分别对 进行裂项求和证明即可
【详解】
解：（1）因为 ， ， 成等差数列，即 ，
12．复数 满足 ，则 的虚部为__________， __________．
13．直线 ： 截圆 的弦为 ，则 的最小值为__________，此时 的值为__________．
14．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，则角 __________，若 ，则 的最大值为__________．
13．2 1
【分析】
设圆心到直线 的距离为 ，则 ，
然后由 ，可求出 ，
进而利用均值不等式可求解
【详解】
可化简为 ，
设圆心到直线 的距离为 ，则 ，可得
，当 时， 有最小值，当 时， 没有最小值，所以，当且仅当 时，等号成立，此时，
故答案为：①2；②1
【点睛】
关键点睛：解题关键在于求出 ，进而利用均值不等式求出答案，属于中档题
判断 的符号、 的取值，应用排除法即可确定函数图象.
【详解】
当 时， ，排除C、D；
当 时， ，排除B.
故选：A
7．C
【分析】
由题设，易得 ，结合等比数列前n项和公式可得 ，即知 ， ， 为等差数列.
【详解】
由题设， ，即 ，化简 ，
， ，
∴ ，
∴ ， ， 成等差数列.
故选：C
8．A
【分析】
由分段函数的性质知 上 恒有一个零点，要使 有两个零点，则 上 有且仅有一个零点，令 可知在 上 有且仅有一个解，构造 并研究单调性，进而确定区间值域，即可求 取值集合.
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
21．已知抛物线 ： 和椭圆 ： ，过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于 ， 两点，线段 的中垂线交椭圆 于 ， 两点．
（1）若 恰是椭圆 的焦点，求 的值；
（2）若 恰好被 平分，求 面积的最大值．
22．设函数 ．
（1）若 为单调递增函数，求 的值；
（2）当 时，直线 与曲线 相切，求 的取值范围；
8．已知 ，若 有两个零点，则实数 取值的集合是（）
A． B． C． D．
9．如图所示，将两块斜边等长的直角三角板拼接（其中 ， ），将 沿 翻折至 ，记 ， ， 所成角为 ， ， ，则在翻折过程中，下列选项一定错误的是（）
A． B． C． D．
10．正数数列 的前 项和为 ， ，则下列选项中正确的是（）
综上： ，故B一定不成立；
故选：B.
10．D
【分析】
根据题设求出 、 、 ，并猜想 的通项公式，再利用数学归纳法证明，进而判断各选项的正误.
【详解】
由题设，当 时， 得 ，
当 时， ，整理得 ，
∴ ；
，整理得 ，
∴ ；
猜想： ，由 时 ，
∴ 也成立，故 ， 成立.
所以 .
故答案为：
16．
【分析】
令 ， ，根据题意转化为 ，令 ，即 ，所以关于 的一元二次方程有正实数根即可，进而可求出结果.
【详解】
令 ， ，则
因为 ，所以 ，即 ，
令 ，即 ，所以关于 的一元二次方程有正实数根即可，
所以 ，即 ，等号成立时 ，故 的最小值是 ，
故答案为： .
17．
【分析】
利用平面向量的几何含义，作出 ， ， ，若 ，求 、 且 ，进而分析 最大或最小时 、 的位置关系，结合向量数量积的几何意义及三角恒等变换、二次函数的性质求 的取值范围.
【详解】
根据三视图还原几何体，如图：
所以该几何体的体积为 ，
故选：D.
5．C
【分析】
由题设画出线性可行域，结合 的几何意义判断 是否有最值.
【详解】
由题设，可得如下可行域，
∴ 表示直线 与可行域有交点时，与x轴的截距，故当目标函数与x-y+1=0交于x轴时， 有最大值，而无最小值.
故选：C
6．A
【分析】
14． 8
【分析】
第一空利用正弦定理边化角化简即可求出角 ，第二空结合余弦定理得到 的关系式，进而结合均值不等式即可求出结果最大值.
【详解】
因为 ，结合正弦定理得 ，因为 ，所以 ，故 ，显然 ，所以 ，故 ，
结合余弦定理得 ，即 ，故 ，因为 ，即 ，故 ，当且仅当 时，等号成立，此时 ，所以， 的最大值为 ，
当 的射影点在 上时， 为直角， 为锐角，故 ；
当 的射影点在 右侧时， 为锐角， 为锐角，
过 作 于 ，过 作 交 于 ,连接 ,因为 ,所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ，过 作 于 ，因为平面 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ,过 作 于 ，连接 ，则 平面 ，因为 平面 ，因此 ，所以 ，同理作过 作 于 ，连接 ，则 ，所以 , ，显然 ，所以 ，则 ；
9．B
【分析】
在 沿 翻折至 的过程中，点 的运动轨迹始终为射影垂直于 的弧上，当 的射影点在 左侧时， 为钝角， 为锐角，故 ；当 的射影点在 上时， 为直角， 为锐角，故 ；当 的射影点在 右侧时， 为锐角， 为锐角，作出辅助线得到 , ，进而比较 即可得到结果.
【详解】
在 沿 翻折至 的过程中，点 的运动轨迹始终为射影垂直于 的弧上，当 的射影点在 左侧时， 为钝角， 为锐角，故 ；
18．（1） ； ；（2）最大值 ；单调递增区间为 ．
【分析】
（1）先根据图像分析周期，求出 ；把点 代入求出 ，即可得到解析式；
（2）先求出 的解析式，即可求出 的最大值和单增区间.
【详解】
解：（1）由图得 ，所以 ，所以 ；此时 .
点 代入函数得： ，又 ，解得： ，即函数为 ．
（2） ．
所以 ， 时取得最大值 ．
A．有最小值，无最大值B．有最小值，也有最大值
C．有最大值，无最小值D．无最大值，也无最小值
6．函数 可能的图象为（）
A．
B．
C．
D．
7．已知 是公比不为1的等比数列， 为 的前 项和，若 ， ， 成等差数列，则（）
A． ， ， 成等比数列B． ， ， 成等比数列
C． ， ， 成等差数列D． ， ， 成等差数列
所以 到另一个焦点的距离为 ，
故选：B
3．B
【分析】
根据空间中的面面、线面、线线关系判断推出关系，进而确定题设条件间的充分、必要关系.
【详解】
， ，有 ，又 ，易知 ；
， ，有 ，若 ，则 或 ；
∴ 是 的充分不必要条件．
故选：B
4．D
【分析】
首先根据三视图还原几何体，然后结合圆柱和三棱柱的体积公式即可求出结果.
故答案为： ； .
15．
【分析】
设 ，根据 是以 为直角的等腰直角三角形，结合双曲线的定义，由 ，求得t，过 作 的垂线，垂足为 ，然后在 中利用勾股定理求解.
【详解】
如图：
设直线 的斜率大于0， ，则 .
由双曲线的定义知 ， ，
所以 ，
所以 .
过 作 的垂线，垂足为 ，则 ，则 .
在 中， ，
整理得 ，
A．3B．5C．8D．12
3．已知 ， 是两个不同的平面， ， 是空间两条不同的直线，且 ， ，则 是 的（）条件．
A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要
4．某几何体由圆柱的部分和一个多面体组成，其三视图（单位： ）如图所示，则该几何体的体积是（） ．
A． B． C． D．
5．已知实数 ， 满足约束条件 ，则 （）
A． B． C． D．
二、双空题
11．《九章算术》是中国古代的数学专著，收有246个与生产、生活有联系的应用问题．早在隋唐时期便已在其他国家传播．书中提到了“阳马”．它是中国古代建筑里的一种构件，抽象成几何体就是一底面为矩形，其中一条侧棱与底面垂直的直角四棱锥．问：在一个阳马中，任取其中3个顶点，能构成__________个锐角三角形，一个长方体最少可以分割为___________个阳马．
要求 的增区间，只需 ，
解得
所以 单调递增区间为 ．
19．（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
（1）取 中点 ，连接OA， ， ，证明 ， ，从而得出 平面 ，即可证明 ；
（2）以 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，不妨设 ，求出平面 的法向量，从而可计算出直线 与平面 所成角的正弦值．
【详解】
（1）证明：取 中点 ，连接OA， ， ，
（3）若 的值域为 ，证明： ．
参考答案
1．D
【分析】
根据整数集的概念列举法表示出集合 ，解指数不等式表示出集合 ，然后根据集合的基本运算即可求出结果.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，因此 ，
故选：D
2．B
【分析】
利用椭圆的定义求解.
【详解】
椭圆 的长轴长为 ，
由椭圆的定义得： ，
又因为 到一个焦点的距离为1，即 ，
∴ ，易知A、B错误；
， ，故C错误，D正确.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：应用数学归纳法证明猜想的 通项公式，进而判断各项正误.
11．1 3
【分析】
根据阳马的结构特征，排除掉所有的直角三角形，即可找到锐角三角形，结合长方体的性质及阳马的特征，可得最少分割阳马的个数.
【详解】
如下图示， 面 ，又底面为矩形，