北师大版高中数学必修五章末质量评估(三)

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章末质量评估(三)
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．设m ∈R ，则下列式子正确的是 ( )． A ．3－2m ＞1－2m B ．m 3＞m 2 C. 1
m ＜m D ．－2m ＞－3m 解析 对于A ，可算得为3＞1，显然成立． 答案 A
2．已知集合P ＝{0，m }，Q ＝{x |2x 2－5x ＜0，x ∈Z }，若P ∩Q ≠∅，则m 等于 ( )． A ．1 B ．2 C ．1或2
5 D ．1或2
解析 ∵Q ＝{x |0＜x ＜5
2，x ∈Z }＝{1,2}∴m ＝1或2.
答案 D
3．不等式x －1
x ≥2的解集为 ( )．
A ．[－1,0)
B ．[－1，＋∞)
C ．(－∞，－1]
D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞) 解析 由x －1x ≥2得x ＋1
x ≤0，∴其解集为{x |－1≤x ＜0}．
答案 A
4．已知ab ＞0，且b a ＋a
b ≥m 恒成立，则m 的取值范围是 ( )．
A ．{2}
B ．[2，＋∞)
C ．(－∞，2]
D ．[－2，＋∞) 解析 ∵ab ＞0，∴b a ＋a
b ≥2
b a ·a
b
＝2，∴m ≤2. 答案 C
5．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0的解集为R ，则实数a 的取值范围是 ( )． A ．{a |－2＜a ＜2} B ．{a |－2≤a ＜2} C ．{a |－2＜a ≤2} D ．{a |a ≥2} 解析 当a ＝2时，原不等式即为－4＜0恒成立．
当a ≠2时，由题意⎩
⎪⎨⎪⎧
a －2＜0，Δ＝4(a －2)2
＋16(a －2)＜0， 解得－2＜a ＜2，∴－2＜a ≤2. 答案 C
6．二次函数f (x )的图像如图所示，则f (x －1)＞0的解集为 ( )． A ．(－2,1) B ．(0,3) C ．(－1,2]
D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析 ∵－1＜x －1＜2，∴0＜x ＜3. 答案 B
7．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，
x ≤a
(a 为常数)表示的平面区域面积是9，
那么实数a 的值为 ( )． A ．32＋2 B ．－32＋2 C ．－5 D ．1
解析 画出图形，知可行域表示的图形为直角三角形，可求三角形的三个顶点坐标 (－2,2)，(a ，－a )，(a ，a ＋4)．
∴S △＝1
2|a ＋2|·|2a ＋4|＝9，∴a ＝1，(a ＝－5舍去)．故选D 项．
答案 D
8．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4，
所表示的平面区域的面积等于 ( )．
A.32
B.23
C.43
D.3
4
解析 不等式组表示的平面区域如图所示．
A ⎝⎛⎭
⎫0，4
3，B ()1，1，C ()0，4. ∴S △ABC ＝12|AC |·h ＝12×⎝⎛⎭⎫4－43×1＝4
3.故选C. 答案 C
9．在R 上定义运算：x y ＝x
2－y
，若关于x 的不等式
x (x ＋1－a )＞0的解集是集合{x |－2≤x ≤2}的子集，则实数a 的取值范围是 ( )． A ．[－1,3] B ．[－3,1] C ．[－3，－1)∪(－1,1] D ．[－1,1)∪(1,3] 解析 x (x ＋1－a )＝x 2－x －1＋a ＝－x x －(a ＋1)＞0⇒x x －(a ＋1)
＜0，
(1)⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞－1
0＜x ＜a ＋1≤2⇒－1＜a ≤1 (2)⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＜－1－2≤a ＋1＜x ＜0⇒－3≤a ＜－1 (3)a ＝－1时，不等式为x
x －0
<0，x ∈∅显然成立，故选B. 答案 B
10．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场
分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N ＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大？ ( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析 求得函数式为y ＝－(x －6)2＋11， 则营运的年平均利润
y x ＝－(x －6)2
＋11
x
＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤12－225＝2， 此时x ＝25
x ，解得x ＝5.
答案 C
二、填空题(本题6个小题，每小题5分，共30分)
11．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．
①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b
≥2.
答案 ①③⑤
12．已知0＜x ＜6 ，则(6－x )·x 的最大值是________． 解析 ∵0＜x ＜6，∴6－x ＞0. ∴(6－x )·x ≤⎝⎛
⎭⎫6－x ＋x 22
＝9.
当用仅当6－x ＝x ，即x ＝3时，取等号． 答案 9
13．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是________． 解析 由题意，k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2. 又k ≠0，∴k 的取值范围是k ≥4或k ≤2且k ≠0. 答案 (－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)
14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x －1x ，x ≥2，x ，x ＜2，若使不等式f (x )＜8
3
成立，则x 的取值范围为________．
解析 当x ≥2时，解x －1x ＜83得x ＜－1
3或0＜x ＜3，
∴2≤x ＜3.当x ＜2时，x ＜8
3，∴x ＜2，∴x ＜3.
答案 {x |x ＜3}
15．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析 2x 2＋2ax －a －1≥0⇔x 2＋2ax －a ≥0，对x ∈R 恒成立，∴Δ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案 [－1,0]
16．关于x 的不等式ax 2
＋bx ＋c ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ＜－2或x ＞－12，则关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为________．
解析 由题设知a ＜0且－b a ＝－52，c
a
＝1，
从而ax 2－bx ＋c ＞0可以变形为x 2－b a x ＋c a ＜0即x 2－52x ＋1＜0，∴1
2＜x ＜2.所以不等式
ax 2－bx ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫
12，2. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，2
三、解答题(本大题共4小题，共40分．)
17．(10分)已知x ，y ，z ∈R ＋
，且x ＋y ＋z ＝1，求证：1x ＋4y ＋9z ≥36.
证明 ∵(x ＋y ＋z )⎝⎛⎭⎫
1x ＋4y ＋9z
＝14＋y x ＋4x y ＋z x ＋9x z ＋4z y ＋9y z
≥14＋4＋6＋12＝36，
∴1x ＋4y ＋9z ≥36，当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2， 即x ＝16，y ＝13，z ＝1
2
时，等号成立．
18．(10分)已知函数f (x )在定义域(－∞，1]上是减函数，是否存在实数k ，使得f (k －sin x )≥f (k 2
－sin 2 x )对一切x ∈R 恒成立？并说明理由． 解 ∵f (x )在(－∞，1]上是减函数，
∴k －sin x ≤k 2－sin 2 x ≤1.假设存在实数k 符合题意， ∵k 2－sin 2 x ≤1，即k 2－1≤sin 2x 对一切x ∈R 恒成立， 且sin 2 x ≥0，∴k 2－1≤0， ∴－1≤k ≤1①
由k －sin x ≤k 2－sin 2x 得⎝⎛⎭⎫sin x －122≤k 2－k ＋1
4， ∵⎝⎛⎭⎫sin x －122的最大值为9
4
， ∴k 2－k ＋14≥9
4，解得k ≤－1或k ≥2②
由①②知k ＝－1为符合题意的实数． 19．(10分)设m 为实数，若⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫(x ，y )⎪⎪⎪
⎩⎪⎨⎪
⎧ x －2y ＋5≥03－x ≥0
mx ＋y ≥0⊆{(x ，y )|x 2
＋y 2
≤25}，求实数m 的取值范围．
解 根据题意可知，直线mx ＋y ＝0不能与直线x －2y ＋5＝0，3－x ＝0平行，∴m ≠1
2.
不等式组所确定的区域如下图所示．
因此只需要满足
⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫－52m ＋12＋⎝⎛⎭⎫5m 2m ＋12≤25，32＋(－3m )2≤25
⇒0≤m ≤43. 20．(10分)玩具所需成本费用为P 元，且P 与生产套数x 的关系为P ＝1 000＋5x ＋1
10x 2，而
每套售出的价格为Q 元，其中Q (x )＝a ＋x
b (a ，b ∈R )，
(1)问：该玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本费用最少？
(2)若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a ，b 的值．(利润＝销售收入－成本) 解 (1)每套玩具所需成本费用为 P x
＝1 000＋5x ＋
110x 2x
＝110x ＋1 000
x
＋5≥2100＋5＝25， 当110x ＝1 000
x ，即x ＝100时等号成立， 故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少． (2)利润为x ·Q (x )－P ＝x ⎝⎛⎭⎫a ＋x b －⎝
⎛⎭⎫1 000＋5x ＋x
2
10＝ ⎝⎛⎭
⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000，
由题意⎩⎪⎨⎪⎧
5－a
2⎝⎛⎭
⎫1b －110＝150，a ＋150b
＝30，1b －1
10
＜0，解得a ＝25，b ＝30.。