北师大版2018-2019学年度九年级上学期第一次月考数学试题

2018-2019学年度九年级上学期第一次月考数学试题一．填空题（满分30分，每小题3分）
1．一元二次方程x2+2x﹣6＝0的根是．
2．方程x（x﹣5）＝2x的根是．
3．若二次函数y＝ax2+2x+1的图象与x轴有两个不相同的交点，则a的取值范围是．4．已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+1，那么这个二次函数的图象在对称轴右侧部分是的．（填“上升”或“下降”）
5．如图，抛物线y＝x2﹣2x+k（k＜0）与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，其中x1＜0＜x2，当x＝x1+2时，y0（填“＞”“＝”或“＜”号）．
6．两抛物线y＝﹣x2+1，y＝﹣x2﹣1与两条和y轴平行的直线x＝﹣2，x＝2围成的封闭图形的面积为．
7．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1＝0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m （m﹣1）的值为．
8．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x（x＞0），十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是．9．设a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为．
10．为响应“足球进校园”的号召，我县教体局在今年11月份组织了“县长杯”校园足球比赛．在某场比赛中，一个球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可用公式h＝﹣5t2+v0t 表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，v0（m/s）是足球被踢出时的速度，如果足球的最大高度到20m，那么足球被踢出时的速度应达到m/s．
二．选择题（满分30分，每小题3分）
11．下列方程是一元二次方程的是（）
A．x2﹣y＝1 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+＝3 D．x﹣5y＝6 12．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）13．二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A．b＜0，c＞0 B．b＜0，c＜0 C．b＞0，c＜0 D．b＞0，c＞0 14．若一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣6
15．已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，代数式a2﹣3a+4的值为（）A．6 B．9 C．14 D．﹣6
16．如图，A1、A2、A3是抛物线y＝ax2（a＞0）上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C．A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数n﹣1、n、n+1，则线段CA2的长为（）
A．a B．2a C．n D．n﹣1
17．某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（）
A．（80﹣x）（200+8x）＝8450 B．（40﹣x）（200+8x）＝8450
C．（40﹣x）（200+40x）＝8450 D．（40﹣x）（200+x）＝8450
18．如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（）
A．B．C．D．
19．某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（）
A．56元B．57元C．59元D．57元或59元20．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝2 D．（x+1）2＝4 三．解答题（满分60分，每小题10分）
21．（10分）解方程：
（1）x2+2x＝1；
（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0．
22．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+b的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若将抛物线y＝ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y＝|ax2+b|图象上的任意一点P，直线l是经过（0，1）且平行与x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
（注：在解题过程中，如果你觉得有困难，可以阅读下面的材料）
附阅读材料：
1．在平面直角坐标系中，若A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为|AB|＝，这个公式叫两点间距离公式．
例如：已知A，B两点的坐标分别为（﹣1，2），（2，﹣2），则A，B两点间的距离为|AB|＝
＝5．
2．因式分解：x4+2x2y2+y4＝（x2+y2）2．
23．（10分）如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点
D的横坐标是2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；
（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接P A，PB使得△P AB的面积最大，并求出这个最大值．
24．（10分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
（3）当每斤的售价定为多少元时，每天获利最大？最大值为多少？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C 在y轴的负半轴上．已知OA：OB＝1：5，OB＝OC，△ABC的面积S△ABC＝15，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）点P（2，﹣3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；
（3）设点E是抛物线上异于点A，B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一
点F．以EF为直径画⊙Q，则在点E的运动过程中，是否存在与x轴相切的⊙Q？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）用配方法证明：代数式﹣x2+6x﹣10恒小于零．
参考答案一．填空题
1．x1＝，x2＝﹣3．
2．x1＝0，x2＝7．
3．a＜1且a≠0．
4．下降．
5．＜．
6．8
7．
8．y＝10（x+1）2
9．2010．
10．20m/s．
二．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）11．B．12．A．13．A．14．A．15．B．16．A．17．B．18．A．19．A．20．D．
三．解答题（共6小题，满分60分，每小题10分）21．解：（1）方程配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2，开方得：x+1＝±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）分解因式得：（x﹣3）（x﹣3+2）＝0，
解得：x1＝3，x2＝1．
22．解：（1）根据题意设抛物线解析式为y＝ax2﹣1，
将点A（﹣2，0）代入，得：4a﹣1＝0，
解得：a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣1；
（2）如图，
根据题意，当﹣2≤x≤2时，y＝﹣x2+1；
当x＜﹣2或x＞2时，y＝x2﹣1；
由可得点M（﹣2，1）、点N（2，1），
①当﹣2≤x≤2时，设点P坐标为（a，﹣a2+1），
则PO﹣PD＝﹣[1﹣（﹣a2+1）]
＝a2+1﹣a2
＝1；
②当﹣2≤x＜﹣2或2时，设点P的坐标为（a，a2﹣1），则PO﹣PD＝﹣[1﹣（a2﹣1）]
＝a2+1﹣2+a2
＝a2﹣1；
③当x＜﹣2或x＞2时，设点P的坐标为（a，a2﹣1），
则PO﹣PD＝﹣[（a2﹣1）﹣1]
＝a2+1﹣a2+2
＝3；
综上，当x＜﹣2、﹣2≤x≤2或x＞2时，PO与PD的差为定值．23．解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣＝2…①，
抛物线过是A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，
把B点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…②，
联立①、②解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，
当x＝2时，y＝﹣，即顶点D的坐标为（2，﹣）；
（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB＝13，
①当AB＝AC时，设点C坐标（m，0），
则：（m）2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4，
即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；
②当AB＝BC时，设点C坐标（m，0），
则：（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5，
即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0），
③当AC＝BC时，设点C坐标（m，0），
则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点，
则点C坐标为（，0），
故：存在，
点C的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或（5，0）或（5﹣2，0）或（，0）；
（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，
设：AB所在的直线过点A（0，﹣3），则设直线AB的表达式
为y＝kx﹣3，
把点B坐标代入上式，9＝5k﹣3，则k＝，
故函数的表达式为：y＝x﹣3，
设：点P坐标为（m，m2﹣m﹣3），则点H坐标为（m，
m﹣3），
S△P AB＝•PH•x B＝（﹣m2+12m），
当m＝2.5时，S△P AB取得最大值为：，
答：△P AB的面积最大值为．
24．解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x （斤）；
故答案为：100+200x；
（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，
解得：x＝或x＝1，
当x＝时，销售量是100+200×＝200＜260；
当x＝1时，销售量是100+200＝300（斤）．
∵每天至少售出260斤，
∴x＝1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元；
（3）设每斤的售价降低x元，每天获利为y元，
根据题意得：y＝（4﹣2﹣x）（100+200x）＝﹣200x2+300x+200＝﹣200（x﹣）2+，当x＝时，100+200x＝250＜260，
∴当x＝0.8时，最大值为312元，
4﹣0.8＝3.2（元）．
答：当每斤的售价定为3.2元时，每天获利最大，最大值为312元．
25．解：（1）∵|OA|：|OB|＝1：5，|OB|＝|OC|，
设OA＝m，则OB＝OC＝5m，AB＝6m，
由S△ABC＝AB×OC＝15，得×6m×5m＝15，
解得m＝1（舍去负值），
∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），将C点坐标代入，得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣5），
即y＝x2﹣4x﹣5；
（2）∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣5，
∵点M的运动时间为t，
∴M（0，﹣2t），
∵直线MH平行于直线BC，
∴直线MH为y＝x﹣2t，
设直线MH与对称轴交于点D，点D的坐标为（2，2﹣2t），
∴DP＝（2﹣2t）﹣（﹣3）＝5﹣2t，
∴S△PMH＝×2t（5﹣2t）＝﹣2t2+5t＝﹣2（t﹣）2+，（0＜t＜），∴当t＝时，S有最大值是；
（3）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，
∴设点E的坐标为（x，x2﹣4x﹣5），
又∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴点E到对称轴的距离为EF＝|x﹣2|，
∵以EF为直径的⊙Q与x轴相切，
∴|x﹣2|＝|x2﹣4x﹣5|，
①x﹣2＞0，x2﹣4x﹣5＞0时，即x＞5时，x﹣2＝x2﹣4x﹣5，
整理得，x2﹣5x﹣3＝0，
解得x＝，x＝（舍去），
∴x﹣2＝，
此时点E的坐标为（，），
②x﹣2＞0，x2﹣4x﹣5＜0时，即2＜x＜5时，x﹣2＝﹣（x2﹣4x
﹣5），
整理得，x2﹣3x﹣7＝0，
解得x＝，x＝（舍去），
∴﹣（x﹣2）＝﹣（﹣2）＝，
此时点E的坐标为（，），
③x﹣2＜0，x2﹣4x﹣5＞0时，即x＜﹣1时，﹣（x﹣2）＝x2﹣4x﹣5，整理得，x2﹣3x﹣7＝0，
解得x＝，x＝（舍去），
∴﹣（x﹣2）＝﹣（﹣2）＝，
此时点E的坐标为（，），
④x﹣2＜0，x2﹣4x﹣5＜0时，即﹣1＜x＜2时，﹣（x﹣2）
＝﹣（x2﹣4x﹣5），
整理得，x2﹣5x﹣3＝0，
解得x＝，x＝（舍去），
∴x﹣2＝﹣2＝，
此时点E的坐标为（，），
综上所述，存在点E：（，），（，），（，），（，）使得以EF为直径的⊙Q与x轴相切．
26．证明：﹣x2+6x﹣10＝﹣（x2﹣6x）﹣10
＝﹣（x2﹣6x+9﹣9）﹣10
＝﹣（x﹣3）2+9﹣10
＝﹣（x﹣3）2﹣1，
∵（x﹣3）2≥0，
∴﹣（x﹣3）2≤0，
∴﹣（x﹣3）2﹣1≤﹣1，
即代数式﹣x2+6x﹣10恒小于零．。