大学物理——机械振动.ppt

•周期T 物体完成一次全振动所需时间.
T 2
•频率 单位时间内振动的次数.
•角频率
相位 t 初相位
决定谐振动物体的运动状态
3.振动速度及加速度
x, v, a
简谐振动的加
av x
速度和位移成 正比而反向.
O
t
T
4.振动初相及振幅由初始条件决定
初始条件：当t = 0时, x = x0 ，v = v0
平衡位置：
A O A
弹簧为原长时，振动物体所处的位置. x=0 , F=0
位移为x处:
由牛顿第二定律
2 x
d2x dt 2

2x

0
x Acos(t )
角频率 k 完全由振动系统本身的性质决定。
m
固有角频率 固有周期
固有频率
2. 单摆(simple pendulum)
y

m
A
t +
x
O
P
2.简谐振动的旋转矢量表示法

A

O
x
3.两同频率简谐振动的相位差（phase difference）
两个谐振动
x1 A1 cos(t 1 ) x来自百度文库 A2 cos(t 2 )
相位差
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
例:如图所示，振动系统由一倔强系数为k的 轻弹簧、 一半径为R、转动惯量为J的 定滑轮和一质量为m的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振 动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.
解：取位移轴ox，m在平 衡位置时，设弹簧伸长量
为l，则
mg kl 0
RJ k
T F2
m
aT
o
示t 时刻相位
2
1 s1
A vm 31.4 10cm 3.14
x 10 cos(t )cm 6

2 t 0
2
3

o

2
t

6

v
1s
三、简谐振动实例
1. 弹簧振子(blockspring system)
kF
m
小幅摆动时 由刚体的转动定律
M =mgh
或 令 得 谐振动微分方程
结论：复摆的小角度 摆动是简谐振动。
归纳与总结
简谐振动的判断及振动方程的确定
线性谐振动 F kx, a 2 x,
角谐振动 M K , 2 ,
例：判断下列运动是否为简谐振动 1.乒乓球在地面上的上下跳动
=2 1 两同频率的谐振动的相位
差等于它们的初相差。



A2
A1
x
O

A1
A2
x
O

A1

A2 O
x

0, x2超前x1 = 0, 同相
= ，反相
4.谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x, v, a
x, v, a
av x

A
A
O
O
t
2A
a F k x mm
令 2 k
m
a 2 x
又a

d2x dt 2

d2 dt
x
2


2
x

0
其简通谐振动微分方程 解为：
x Acos(t ) 谐振动运动方程
2、描述简谐振动的特征量 运动方程
kF
m
x Acos(t )
A O A
•振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初条件.
始计时。取平衡位置为坐标原点、向右为x轴正方 向，求其振动方程。
M m
A v
解：mv=(m+M)V
0.01×103=(4.99+0.01)V
V=2m.s-1
1 (m M )V 2 1 kA2
2
2

k
mM
1 (4.99 0.01) 22 1 8 103 A2
2
2
A=0.05m
m
mg
x
mg kl 0
当m有位移x时
RJ k
mg T ma
T k(l x)R J a T
F2
o
m
联立得
Rm

kx


R

J R2
a
aT mg
x
d 2x
dt 2

m
k J
R2
x0
物体作简谐振动
2 m
k J
R2
T 2 2 m J R2
2.小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动 切向运动
mg sin ma t

at

R

d 2
R dt 2
很小 sin
d 2 g
dt 2

0 R
mg
令2 g R
mR
d 2O dt 2
mg
d 2 dt 2

2

0
简谐振动
振动的角频率 和周期分别为：
代入
得
= arctan ( v0 ) x0
k m
A O
A
例6-1. 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅A= 0.12 m，周期 T= 2 s， 当t = 0 时，质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06 m, 此时刻质点向x 正向运动。求此简谐振动的表达式。
解 取平衡位置为坐标原点。
设简谐振动的表达式为
m
O
x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2
x
v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2
x=9.810-2cos(10t+3/2) m
x
对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变 1 g 1.6Hz 固有频率
2 2 l
a0 0,则cos 0
6
t 1 v1 15.7cms 1
即
v1 15.7
Asin( 1
34.1sin(

6 1
)

)
得 sin( 1 ) 1 6
a 2 Acos( t )
v(cms 1)
令向下有位移 x, 则 f=mg-k(l +x)=-kx
作谐振动 设振动方程为 x Acos(t 0 )
k g 9.8 10rad / s
m l 0.098
初条件:
t=0 时 x0= -0.098m，v0=0
10rad / s
x0=Acos0= -0.098m

Acos(t ) Asin 15.7cms1
A vm 31.4cms1
v Asin( t )
a 2 Acos( t
sin v0 15.7 1 A 31.4 2
)

或5
66
a0 2 Acos 0
机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。
m
A O A
广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近反复变化。
K i
q
L
q
6-1 简谐振动（simple harmonic motion)
一、简谐振动的基本特征
1、简谐振动的定义 动力学定义:
弹簧振子
kF
m
运动学定义:
A O A
v0=-Asin0 =0
A
x02

( v0

)2

0.098m
sin0 0 0,
m
O
x
由x0=Acos0=-0.098<0 cos0<0, 取0=
x
振动方程为：x=9.810-2cos( 10t+ ) m
A 0.098m 10rad / s
(2)按题意 t=0 时 x0=0，v0>0
2. 拍的应用
拍的现象常被用于校正乐器。例如我们可以利用 标准音叉来校准钢琴的频率：因为音调有微小差别 就会出现拍音，调整到拍音消失，钢琴的一个键就 被校准了。
由题设T= 2 s，则 2 ,
由初条件 x0 = 0.06 m，Tv0 0
得
简谐振动的表达式为
A= 0.12 m
3
3
例6-2. 如图所示，倔强系数为 8×103N·m-1的轻质 弹簧一端固定于A，另一端系一质量为M=4.99kg 的木块静止于水平光滑桌面上。 质量 m=0.01kg 的子弹以水平速度v =103 m·s-1 射入木块使其作简 谐振动。若在木块经过平衡位置且向右运动时开
31.4
15.7 0
15.7
31.4
1
t(s)
1
6

62 7 或 11 66
a1 0, 则
cos( 1 )

0 1

6

7
6
3.14s1 A vm 31.4 10cm 3.14
故振动方程为 x 10 cos(t )cm 6

k
6-2 简谐振动的合成
一、同方向、同频率谐振动的合成

合振动


A2
2
A
A1
1
O x2
x1 x
合振动是简谐振动,其频率仍为。
分析 若两分振动同相：
合振动的振幅取得最大，两分振 动相互加强。 若两分振动反相:
合振幅最小，两分振动相互减弱。 如 A1=A2 , 则 A=0，两个等幅反相的振动合 成的结果将使质点处于静止状态。

g l

at
0

mgsin
d 2
mg
l dt 2 .
谐振动微分方程
结论：单摆的小角度摆动是简谐振动。
2 g,
l
g , T 2 2 l
l

g
3. 复摆(compound pendulum)
绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。
角位移，回复力矩 M =mghsin
二. 两个同方向频率相近简谐振动的合成 拍 如果我们先后听到频率很接近的声音，如552 和 564 Hz，我们很难区分它们频率的差异；如果这两 种声音同时到达我们的耳朵，我们听到声音频率为 558Hz=(552+564)/2,其强度以12Hz (=564 552) 的频 率变化。这种现象称为拍，12Hz 为拍频。 x1
t
x2 t
x
t
1. 拍及拍频
分振动
合振动
令
则 x
x

[2Acost] cos(t
cos)( t+)
T拍
t
2Acos t
拍: 合振动忽强忽弱的现象.
拍频: 单位时间内振动加强或减弱的次数.
A(t) 2A cost 拍 =2 = 2 1 , 拍= 2 1
旋转矢量以 匀角速由t = 0 到t = 1s 转过了4/3
t 4 3 t =1s 4 3
例6-4.已知某简谐振动的
v(cms 1)
速度与时间的关系曲线如 31.4
图所示，试求其振动方程。15.7
解：方法1
0
用解析法求解
15.7
1
t(s)
设振动方程为
31.4
x v0
C
平衡位置 ：摆线与竖直方向夹角 = 0 .
l
摆球相对于平衡位置的角位移为 时，
切向合外力:
ft mg sin
T
m
当 5(= 0.0873rad)时，
sin , ft mg
由牛顿第二定律 mg mat ,
得
ml
d 2
dt 2
mg
或
d2
dt 2
0

g R
T 2 2 R
0
g
四、简谐振动的能量
谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep 某一时刻，谐振子速度为v，位移为x
m 2 k
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数.
系统的机械能守恒
E

Ek
Ep

1 kA2 2
振动能量曲线
E
o x o
Ek(t)
Ep
T
(t)
t
方法2：用旋转矢量法辅助求解。 v(cms1)
x Acos(t )
31.4
v Asin(t )
15.7
vm cos(t 2) vm A 31.4cms1
0 15.7
31.4
1
t(s)
v的旋转矢量 与v轴夹角表
t



由图知
8 103 40 5
x 0.05cos(40t )
t 0 x 0.05 cos 0
v 2 sin 0
2
振动方程为 x 0.05 cos(40t )
2
二、简谐振动的旋转矢量表示法
1.简谐振动与匀速圆周运动
匀速圆周运动在x轴上的投影 （或分运动）为简谐振动：

T
例6-3. 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线 如图所示，求此简谐振动的表达式。
解 设简谐振动方程为
x
t= 1s
x (cm) 2
A

x0 = A/2，v0 0
O
A
t=0
1
1 O
1 t (s)

v0
2
由旋转矢量表示法
v0 0
角频率的计算：t = 1s 时，对应图示的旋转矢量。
t
例:如图m=2×10-2kg,
弹簧的静止形变为l=9.8cm
t=0时 x0= -9.8cm, v0=0 (1) 取开始振动时为计时零点，
写出振动方程；
m
O
(2) 若取x0=0，v0>0为计时零点，
x
写出振动方程,并计算振动频率。
解：⑴ 确定平衡位置 mg=k l 取为原点 k=mg/ l
x