福建省六校高一下学期期中联考试题数学有答案

“长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定一中”六校联考
第二学期半期考
高一数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上.)
1．若的 120终边上有一点），（a 1-,则a 的值是( )
33.-A 3.-B 3
3.C 3.D 2．某扇形的圆心角为 135,所在圆的半径为4,则它的面积是（ ）
π6.A π5.B π4.C π3.D
3． 54tan 66tan 354tan 66tan -+的值是( )
33.-
A 3.
B 3.-
C 3
3
.D
4．下列命题中：
①a ∥⇔存在唯一的实数R ∈λ，使得a b λ=；
②e 为单位向量，且a ∥e ，则a =； ③2||||a a a =⋅；
④与b 共线，b 与c 共线，则与c 共线； ⑤若=≠⋅=⋅则且,
正确命题的序号是（ ）
.A ①⑤ .B ②③ .C ②③④ .D ①④⑤
5．设2
70cos 1,17tan 117tan 2,6sin 236cos 212
-=
+=+=c b a 则有（ ） c b a A >>. a c b B <<. b c a C <<. c b a D <<.
6．已知534cos 3cos =+⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
-απα,则⎪⎭⎫ ⎝⎛+34sin πα的值为（ ）
532.-
A 532.
B 54.-
C 5
4
.D 7．在直角坐标系中，函数x
x x f 1
sin )(-=的图像可能是（ ）
.A .B .C .D
8．201923sin 2018+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x y π单调增区间为（ ）
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12.ππππk k A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1211,125.ππππk k B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3.ππππk k C ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+
+32,6.ππππk k D 以上Z k ∈ 9．函数x k y 2
sin
π
=)0(>k 在[]6,0内至少出现3次最大值，则k 的最小值为（ ） 23.A 45.B 34.C 2
5.D 10．设O 是平面ABC 内一定点，P 为平面ABC 内一动点，若=+⋅-)()(OC OB PC PB
0)()()()(=+⋅-=+⋅-OB OA PB PA OA OC PA PC ，则O 为ABC ∆的（ ）
.A 内心 .B 外心 .C 重心 .D 垂心
11．已知,54)6cos(,20=+<<πθπθ则）
（12
2tan π
θ+的值为（ ） 1731.A 17
31
.-B 3117.C 3117.-D
12．已知向量c b a ,,
)2(),()(,1b a a c b c a -⊥-⊥-=，
2
37
=
的最大值和最小值分别为n m ,，
则n +m 等于（ ）
2
3
.A 25.
B 37.
C 253.
D 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置.)
13．=+ 33sin 63sin 33cos 63cos ； 14．函数)3
2tan()(π
-=x x f 的对称中心为： ；
15．已知1cos sin cos sin )(,2
0-++=≤
≤x x x x x g x 则π的最大值为： ；
16．已知平面向量b a ,
1==,若e
6≤+恒成立，则b a ⋅的最大值是：_______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）
已知1)2
sin()cos()
23cos(2)sin(=---+++x x x x π
ππ
π．
（Ⅰ）求x tan 的值；
（Ⅱ）求x x 2cos 2sin -的值．
18．（本小题满分12分）
已知：)13,()12,4()5,(λλ-C B A ，，三点,其中0<λ.
（Ⅰ）若C B A ,,三点在同一条直线上，求λ的值；
（Ⅱ）当BC AB ⊥
． 19．（本小题满分12分）
设函数)0)(2sin()(<<-+=ϕπϕx x f ,)(x f y =图像的一条对称轴是直线8
5π
=x ． （Ⅰ）求ϕ的值并画出函数)(x f y =在[]π,0上的图像；
（Ⅱ）若将)(x f 向左平移4
π
个单位,得到)(x g 的图像,求使22)(>x g 成立的x 的取值范围.
20．（本小题满分12分）
如图，各边长为2的ABC ∆中，若长为2的线段PQ 以点A 为中点，问与BC 的夹角θ取何值时，
CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值.
21．（本小题满
分12分）
为了及时向群众宣传“十九大”党和国家“乡村振兴”战略，需要寻找一个宣讲站，让群众能在最短的时间内到宣讲站．设有三个乡镇，分别位于一个矩形MNPQ 的两个顶点N M ,及PQ 的中点S 处，
km MN 310=，km NP 35=，现要在该矩形的区域内（含边界），且与N M ,等距离的一点O 处设一个宣
讲站，记O 点到三个乡镇的距离之和为)(km L ． （Ⅰ）设)(rad x OMN =∠，将L 表示为x 的函数；
（Ⅱ）试利用（Ⅰ）的函数关系式确定宣讲站O 的位置，使宣讲站O 到三个乡镇的距离之和)(km L 最小．
22．（本小题满分12分）
已知函数),(12cos sin )(R b a x b x a x f ∈++=
（Ⅰ）当1,1-==b a 且⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈2,2ππx 时，求)(x f 的值域；
（Ⅱ）若1-=b ,存在实数[]π,0∈x 使得2
)(a x f ≥成立，求实数a 的取值范围.
“长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定一中”六校联考
高一数学试题参考答案
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分.) ＤＡＣＢＢ ＣＤＢＡＢ ＣＤ
二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分
.)
2
ππ+∈14.(
,0),46k k Z
12 16．41
三、解答题（本大题共6小题，共70分.）
17．解：（Ⅰ）
3sin()2cos(
)
2cos()sin()
2
x x x x π
πππ+++---x x x x cos cos sin 2sin --+-=1tan 2
1=-=x -----5分
2tan -=∴x -----------------------6分
（Ⅱ）原式=x
x x
x x 222cos sin cos cos sin 2+-
=
1tan 1
tan 22+-x x
--------
=1-
--------
18．解：（Ⅰ）依题有：)1,4(),7,4(--=-=λλ， -----------------2分
C B A ,, 共线
0)4(7)4(=++-∴λλ
-----------------------５分
3
16-
=∴λ
-----------------------6分 （Ⅱ）由
⊥得：07)4)(4(=++-λλ
------------------------8分
3±=∴λ又0<λ
3-=∴λ ------------------------9分
)8,6()8,2(=-=∴λAC
10= ------------------------12分
19．解：（Ⅰ）依题有:
)(2
4
Z k k ∈+
=+π
πϕπ
.
∴ )(4
Z k k ∈+
=π
πϕ又0<<-ϕπ.
∴ϕ＝－
34
π
. ------------------------2分 ∴⎪
⎫ ⎛
-
=432sin πx y ，列表如下： ------------------------6分 描点连线，可得函数)(x f y =在区间π⎡⎤⎣⎦0,上的图像如下．
------------------------8分
（Ⅱ）依题有：)4
()(π
+
=x f x g
sin(2)4
x π
=- ------------------------10分
()sin(2)4g x x π>->
由()4
2
k x k k Z π
π
ππ∴+
<<+
∈ ------------------------12分
20
．解法一：依题有：21===-=AP AQ
--=-=-=, ------------------------3分
()()BP CQ AP AB AP AC ∴⋅=-⋅-- ------------------------4分
1AP AC AB AP AB AC =--⋅+⋅+⋅
1()AP AB AC AB AC =-+⋅-+⋅ ------------------------６分
1
12
PQ BC =+⋅ ------------------------8分
12cos θ=+ ------------------------10分
.3.,)(0,1cos 其最大值为最大时即⋅==∴θθ------------------12分 解法二:如图所示建立平面直角坐标系xy A -. 则)3,1(),0,2(),0,0(C B A ,且2==BC PQ , 1=AP . 依题有Q P ,两点在单位圆上
可设)sin ,(cos x x P ,则)sin ,cos (x x Q --,[)
360,0∈x . ∴)sin ,2(cos x x BP -=,)3sin ,1cos (----=x x CQ . ∴)3sin (sin )1cos )(2(cos --+---=⋅x x x x CQ BP . =)cos sin 3(1x x --
=)30sin(21 --x
300=∴x .3.,)(00其最大值为最大时方向相同与即CQ BP BC PQ ⋅=θ 21．解：（Ⅰ）如图，延长SO 交MN 于点T ，
由题设可知1
2
MT NT MN ==
=， OM ON =
，OS OT =，
在Rt OTM ∆
中，OM OT x =
=，--------３分 L OM ON OS ∴=+
+x =，
)4
x x π
=
+≤≤ -------------6分
（Ⅱ） ()L x ∴=
+---------------------- 8分
令2sin ,0cos 4
x t x x π
-=
≤≤，
则cos sin 2t x x +=
)2,(tan )x t ϕϕ+==，
sin()1x ϕ+=
≤由
得：t ≥或t ≤， ------------------------10分
当t =,[0,]3
64
x π
π
π
ϕ=
=
∈，L 取最小值，
即宣讲站位置O 满足：,10,5)6
x MO NO km SO km π
=
===时
可使得三个乡镇到宣讲站的距离之和最小．---------------12分
22.解：（Ⅰ）8141sin 2sin sin 2)(2
2
-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=+=x x x x f
.1sin 1:2
2
≤≤-≤
≤-
x x 得由π
π
-----------------------------------2分
.
3)(1sin ,81
)(41sin max min ==-=-=∴x f x x f x 时当时当
.3,81)(⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∴的值域为：x f ---------------------------------------------------4分
（Ⅱ）
2()2sin sin ,f x x a x =+[]sin ,0,1,t x t =∈令则
[]2201t at a +≥2依题有：在，内有解，
[]
2
2
()22,0,148a a
g t t at t t ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭2
令
max (),
a g t ≤2则
---------------------------6分
（1）000()24
a
a g t a ≤≥≤≤+当-
即：时 max ()2,a g t a ∴≤=+22a ≤≤解得：-1
02a ∴≤≤ -------------------------------------7分
（2）2
100()2428a a a g t a <<<<-
≤≤+当-即：-2时
()2
242088a a a +⎛⎫+--=> ⎪⎝⎭
max ()2,a g t a ∴≤=+22a ≤≤解得：-1
0a ∴≤<-1 -----------------------------------------------9分
（3）2
12()048
a a a g t ≤<<≤--≤≤1当-即：-4时2
2
max
(),8
a a g t ∴≤=2
无解 ------------------------------10分 （4）142()04
a a a g t ≥≤-+≤≤当-
即：时 max ()2,a g t a ∴≤=--2无解 ---------------------------------------- 11分 2a ≤≤综上所述：-1 ----------------------------------------------------12分。