北京化工大学概率论与数理统计期末考试卷及答案

北京化工大学概率论与数理统计期末考试卷及答案
一、单选题
1、设X ～
2
(,)N μσ,那么当σ增大时，{}P X μσ-<= A ）增大 B ）减少 C ）不变 D ）增减不定。

【答案】C
2、设总体X 服从正态分布()
212,,,,
,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为
（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）2
1
1n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A
3、设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为 (,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)
1/61/91/181/3X Y P αβ
且Y X ,相互独立，则
A ） 9/1,9/2==βα
B ） 9/2,9/1==βα
C ） 6/1,6/1==βα
D ） 18/1,15/8==βα 【答案】A
4、设X ～
2
(,)N μσ其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 样本，则下列选项中不是统计量的是 A ）
123
X X X ++ B ）
123max{,,}
X X X C ）
2
3
2
1
i i X σ
=∑ D ）
1X μ
-
【答案】C
5、设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本，则统计量21
2
1n
i i n m
i i n m V n =+=+X =
X ∑∑服从的分布
是
A) (,)F m n B) (1,1)F n m -- C) (,)F n m D) (1,1)F m n -- 【答案】C
6、设81,,X X 和101,,Y Y 分别来自两个相互独立的正态总体)2,1(2-N 和)5,2(N 的样本, 21S 和2
2S 分别是其样
本方差，则下列服从)9,7(F 的统计量是( )
)(A 222152S S )(B 222
145S S )(C 222154S S )(D 2
2
2125S S 【答案】B
7、在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有
（A ）样本值与样本容量 （B ）显著性水平α （C ）检验统计量 （D ）A,B,C 同时成立 【答案】D
8、若X ～()t n 那么2χ～
(A ）(1,)F n (B ）(,1)F n (C ）2
()n χ (D ）()t n
【答案】A
9、下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是
A ）
2
1()1F x x =+
B ） x x F arctan 121)(π+=
C ）=)(x F 1(1),020,0x
e x x -⎧->⎪⎨⎪≤⎩ D ） ()()x F x
f t dt -∞=⎰，其中()1f t dt +∞
-∞=⎰
【答案】B
10、设总体X 服从正态分布()
212,,,,
,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为
（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）2
1
1n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A
11、下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是
A ）
21()1F x x =+
B ） x
x F arctan 121)(π+=
C ）=)(x F 1(1),020,0x
e x x -⎧->⎪⎨⎪≤⎩ D ） ()()x F x
f t dt -∞=⎰，其中()1f t dt +∞
-∞=⎰
【答案】B
12、设 ()
2~,N ξμσ，其中μ已知，2σ未知，123
,,X X X 为其样本， 下列各项不是
统计量的是（ ）
(A)2221232
1()X X X σ
++ (Ｂ)13X μ+
(Ｃ)123max(,,)X X X (D)123
1()3
X X X ++
【答案】A
13、对总体
的均值和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间 (A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值
(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含的值 【答案】D
14、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是___ __
(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验
(C)方差分析中
包含了随机误差外,还包含效应间的差异
(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异
【答案】D
15、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是 A ）当n 充分大时，近似有X ～(1),
p p N p n -⎛
⎫
⎪⎝⎭
B ）{}(1),k k
n k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ C ）{}(1),k k
n k n
k P X C p p n
-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ D ）{}(1),1k k n k
i n P X k C p p i n -==-≤≤
【答案】B 二、填空题
1、设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。

2~(,)X N μσμμi
m 2
11.()i
m r e ij i i j S y y ===-∑∑2
.1
()r
A i i i S m y y ==-∑
【答案】1/2
2、甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 【答案】0.75
3、设总体X ～12(,),01,,,,n b n p p X X X <<⋅⋅⋅为其子样，n 及p 的矩估计分别是 。

【答案】2
,1X S n p p X
∧
∧==-
4、设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差= 【答案】X =7，S 2=2
5、设样本的频数分布为
则样本方差2s =_____________________。

【答案】2
三、解答题(难度：中等)
1、设总体X 服从正态分布，又设X 与2S 分别为样本均值和样本方差，又设21
(,)n X N μσ+，且1n X +与
12,,,n X X X ⋅⋅⋅相互独立，求统计量的分布。

【答案】(1)t n -
2、一箱产品，A ，B 两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。

现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？ 【答案】取出产品是B 厂生产的可能性大。

3、设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。

【答案】 0.9475
4、设随机变量X 的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-x ∞<<+∞). 求：（1）系数A 与B ；
（2）X 落在（-1，1）内的概率；
（3）X 的分布密度。

【答案】○1A=1/2，B=
1
π
； ○2 1/2； ○3 f (x)=1/[π(1+x 2)] 5、设总体X 的密度函数为：⎩
⎨⎧+=0)1()(a
x a x f 其他10<<x ， 设n X X ,,1 是X 的样本，求a 的矩估计量
和极大似然估计。

（10分） 【答案】解： 矩估计为：
2
10121)1()(21
++=
++=
+⋅=+⎰a a x a a dx x a x X E a a 样本的一阶原点矩为：∑==n
i i x n X 1
1
所以有：
X
X a X a a --=⇒=++11
2ˆ21
极大似然估计：
∏∏==⋅+=+=n
i i a n i n
i a
n x a x a x x x f 11
21)1(])1[(),,,(
两边取对数：∑=++=n
i i
n x a
a n x x f 1
1)ln()1ln(),,(ln
两边对a 求偏导数：=
∂∂a
f
ln ∑=++n
i i x a n 1)ln(1=0 所以有：∑=--=n
i i
x n
a
1
)
ln(1ˆ
6、（10分）设总体服从正态分布，
是来自该总体的一个样本，记，
求统计量
的分布。

【答案】解：因为正态分布的线性组合还是正态分布
所以
服从正态分布 （2分）
所以下面只需要确定这个正态分布的期望与方差就可以了。

X 2(,)N μσ1,
,n X X 1
1(11)
k
k i i X X k n k ==≤≤-∑1k k
X X +-1k k
X X +-
由于
（3分） 由于
与
是相互独立的，且求得
（2分）
（2分）
可知统计量
服从正态分布
（1分）
7、在天平上重复称量一重为α的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布2(,0.2)N α，若以n X 表示
n 次称量结果的算术平均值，为使()
0.10.95n P X a -<≥成立，求n 的最小值应不小于的自然数？
【答案】16
8、盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X 的数学期望()E X 和方差()D X 。

【答案】 12
24(),()7
49
E X D X ==
111
1111k k
k k i i i i X X X X k k ++==-=-+∑∑111
11()1k k i i i i k X X k k +==+=-+∑∑111
111()1k k
k i i i i i i X X X k k +====--+∑∑∑11
()1k k X X k +=
-+1
k X +k
X 1111[
()]()011k k k k E X X EX EX k k μμ++-=-=-=++112
11
[
()][()()]1(1)k k k k Var X X Var X Var X k k ++-=+++22
2
2
11[](1)(1)k k k k σσσ=+=++1k k
X X +-21
(0,
)
(1)N k k σ+。