2001年武汉市数学中考试题及答案

武汉市2001年初中升学统一考试
参考公式：在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积的计算公式是：2R 360
πn S ＝扇形． 一、选择题（共12小题，每小题4分，计48分，每小题只有一个正确的答案）
1．下列计算正确的是（ ）．
A ．x 3＋x 3＝2x 6
B ．（－x 3）2＝x 6
C ．x 3·x 3＝x 9
D ．x 6÷x 3＝x 2
2．3a -化简的结果为（ ）．
A ．a a -
B ．a a -
C ．a a --
D ．a a
3．我国股市交易中每买、卖一次需要千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际盈利为（ ）．
A ．2000元
B ．1925元
C ．1835元
D ．1910元
4．甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：
某同学根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）；③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大，上述结论正确的是（ ）．
A ．①②③ Ｂ．①② C ．①③ Ｄ．②③
5．已知反比例函数x
m 21－＝y 的图像上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2是，有y 1＜y 2．则m 的取值范围是（ ）． Ａ．m ＜0 B ．m ＞0 Ｃ．ｍ＜
21 Ｄ．ｍ＞21 6．弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，如图所示，由图1可知不挂物体时弹簧的长度为（ ）．
图1
A ．7cm
B ．8cm
C ．9cm
D ．10cm
7．已知函数y ＝a x 2＋b x ＋c 的图像如图2所示，则下列关系式中成立的是（ ）．
图2
A ．0＜a
b 2-＜1 B ．0＜a b 2-＜2 C ．1＜a b 2-＜2 D ．a
b 2-＝1 8．已知△ABC 中∠B ＝60°，AB ＝6，BC ＝8，则△ABC 的面积是（ ）
A ．123
B ．12
C ．243
D ．122
9．已知：⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是⊙O 的直径，∠BCD ＝120°．过D 点的切线PD 与BA 的延长线交于P 点，则∠ADP 的度数是（ ）．
A ．15°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
10．已知：圆内接四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，AB ＞CD ．若CD ＝4，则AB 的弦心距为（ ）．
A ．5
B ．2
C ．3
D ．2
11．如图3，圆内接△ABC 的外角∠ACH 的平分线与圆交于D 点，DP ⊥AC ，垂足是P ，DH ⊥BH ，垂足是H ．下列结论：
①CH ＝CP ；②；③AP ＝BH ；④DH 为圆的切线．其中一定成立的是（ ）．
图3
A ．①②④
B ．①③④
C ．②③④
D ．①②③
12．下列四个命题：
①如果一条直线上的两个不同的点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线平行． ②反比例函数的图像是轴对称图形，它只有一条对称轴．，
⑧等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角的度数为75°．
④相等的圆周角所对的弧相等．
其中不正确的命题有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
13．分解因式：x 2－b x －a 2＋ab ＝_________________．
14．观察下列各式（x －1）（x ＋1）＝x 2－1，（x －1）（x 2＋x ＋1）＝x 3－1，（x －1）（x 3＋x 2＋x ＋1）＝x 4－1，根据前面各式的规律可得（x －1）（x n ＋x n －
1＋…＋x ＋1）＝_________． 15．⊙O 1和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O 1经过点O 2，若∠A O 1B ＝90°，那么∠AO 2B 的度数是_____________．
16．如图4，AB 是⊙O 1的直径，AO １是⊙O 2的直径，弦M N ∥AB ，且M N 与⊙O 2相
切于C 点，若⊙O 1的半径为2，则O 1B 、
、CN ；所围成的阴影部分的面积是
________________．
图4
三、解答题（共3小题，每小题8分，计24分）
17．1
23123＋＋＝＋＋x x ，求）－－（－－225423-÷x x x x 的值． 18．解方程：1162322＝＋＋－＋x x x x
19．为了将武汉市建设成为山水园林城市，决定建设“武汉外滩”．现将一工程发包给某城建公司；该公司甲、乙两工程队如果合作这项工程共需4个月；如果先由甲队单独做3个月，剩下的工程由乙队单独完成，那么，乙队所需的时间等于甲队单独完成这项工程所需的时间．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?
四、证明和计算题（共1小题，计10分）
20．（10分）已知：如图5，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，过B 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于D 点，连结DA 并延长与⊙O 1相交于C 点，连结BC ，过A 点作AE ∥BC 与⊙O 2相交于E 点，与BD 相交于F 点．
图5
（1）求证：EF ·BC ＝DE ·AC ，（2）若AD ＝3，AC ＝l ，AF ＝3，求EF 的长．
五、综合题（共2小题，计26分）
21．（12分）如图6，关于x 的二次函数y ＝x 2－2mx －m 的图像与x 轴交于A （x l ，0）、B （x 2，0）两点（x 2＞0＞x 1），与y 轴交于C 点，且∠BAC ＝∠BCO ．
图6
（1）求这个二次函数的解析式，
（2）以点D （2，0）为圆心作⊙D ，与y 轴相切于点O ．过抛物线上一点E （x 3，t ）（t ＞0，x 3＜0）作x 轴的平行线与⊙D 交于F 、G 两点，与抛物线交于另一点H ，问：是否存在实数t ，使得EF+GH=FG ？如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．
22．（14分）已知：如图7，在直角标系x O y 中，以x 轴的负半轴上一点H 为圆心作⊙H 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点．以C 为圆心、OC 为半径作⊙C 与⊙H 交于E 、F 两点，与y 轴交于O 、Q 两点．直线EF 与AC 、BC 、y 轴分别交于M 、N 、G 三点．直线34
3+=x y 经过A 、C 两点．
图7
（1）求tan∠CN M的值；
（2）连结O M、ON，问：四边形CMON是怎样的四边形？请说明理由．
（3）如图8，R是⊙C中EQ上的一动点（不与E点重合），过R作⊙C的切线R T，若R T与⊙H相交于S、T不同两点．问：CS·C T的值是否发生变化？若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围．
图8
评析本卷是一份体现传统地域特色的试卷，它秉承了近几年来武汉市中考数学卷的风格与优势．
试卷选拔性强，注重综合题的设置，重点考查学生的整体能力．最后两题考查一元二次方程、函数、三角函数与圆的知识，阅读量大，图形复杂，融计算、论证、探索、猜想于一体，要求考生具备扎实的基本功和较强的分析、判断能力，能顺利解答完整这两道题者，确非“凡夫俗子”．
试卷适当地设置了一些技巧性考题，以检验考生智力上是否有“灵光一闪”，这种经验值得重视，如题14的观察与应变，题16的图形移动，题17的倒数法等．全卷体现了强烈的地域特色．武汉作为大都市，学生眼界宽，素质强，同时，武汉教育水平处于前列，这就决定了近几年来中考数学卷从整体看略有些难度，仅综合题达26分之多，这不能不说是武汉特色．由此可见，提高分析问题能力，形成综合素质是每一届考生应具备的基本功．
参考答案
一、选择题
123456789101112．Ｄ
二、填空题
13．（x －a ）（x ＋a －b 14．x n ＋1－115．135°或4516．12
312＋＋π
三、解答题
17．解：原式＝2
922324254232
2－－）－（－）＝－－－－（－－x x x x x x x x x ÷÷ ＝）－）（＋（－）－（－x x x x x 332223⋅）
＋（＝321x -
∵1
23123＋＋＝＋＋x x ，即12332＋＋＝＋＋x x ∴123 3
11＋＋＝＋－
x ∴23 3
1＋＝＋－x ∴原式＝）＋（321x -＝223＋． 题17要依据题目特点，取已知条件倒数得1233
2++=++x x ，再得1233133++=+-++x x x ，即231
1+=+-x ．再整体代入所求式的化简式中．本题有技巧，蛮算可不行！
18．解：原方程变形为
（2x ２
＋6x ＋1）－21622＋＋x x －3＝0 设1622＋＋x x ＝y ，则原方程变为y 2－2y －3＝0，解得y 1＝3，y 2＝－1， 当y ＝3时，1622＋＋x x ＝3，
即x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1．
当y ＝－1时，方程1622＋＋x x ＝－1无解，
经检验x 1＝－4，x 2＝1是原方程的根．
∴原方程的解为x 1＝－4，x 2＝1．
19．设甲、乙两工程队单独完成这项工程各需x 、y 个月，依题意得：
，＝，＝，＝＋－由①、②得，②＝＋，①＝＋620128134111212x x x x y
x x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∴⎩⎨⎧4211＝－＝y x ；⎩⎨⎧12622＝＝y x 经检验，以上都是方程组的解，但⎩⎨⎧421
1＝－＝y x 不合题意，舍去． 答：单独完成这项工程甲需6个月，乙需12个月．
四、20．（1）证：连结AB ，∵AE ∥BC ，∴∠CBA ＝∠BAE ，又∵∠BAE ＝∠EDB ，∴∠CBA ＝∠EDB ．∵DB 切⊙O 1于B 点，∴∠C ＝∠ADB ，又∵∠ADB ＝∠E ，∴∠C ＝∠E
∴△ACB ∽△FED ，∴DE
BC EF AC ＝，即EF ·BC ＝DE ·AC ． （2）∵AE ∥BC ，∴BC AF DC DA =，即BC
3133=+， ∴BC ＝33
4． ∵AE ∥BC ∴∠DAE ＝∠C ，由（1）知∠C ＝∠E ，∴∠DAE ＝∠E ，∴DA ＝DE ＝3， 由（1）知EF ·BC ＝DE ·AC 得43333
413=⨯=⋅=BC AC DE EF ∴EF 的长是33
4． 题20中，连结AB 是常用辅助线．
五、21．（1）解：∵∠BAC ＝∠BCO ，∠BOC ＝∠COA ＝90°
∵△BCO ∽△CAO ，∴OB
CO CO AO =∴OB AO CO ⋅=2，由已知可得：AO ＝|x 1|＝－x 1，OB ＝|x 2|＝x 2∵021<-=m x x ，∴m ＞0∴CO ＝m ，AO ·BO ＝m
∴m 2＝m ，m ＝1，m ＝0（舍去）．
∴抛物线的解析式为：122
--=x x y ．
（2）解：存在实数t ，使得EF ＋GH ＝FG 过D 作DM ⊥EH 于M ，连结DG ∵EH ∥x 轴，E （x 3，t ），∴DM ＝t ．∵DG ＝DO ＝2∴FG ＝2MG ＝222DM DG -＝222t -由EF ＋GH ＝FG 得EH ＝2FG ．又∵EH ∥x 轴，E （x 3，t ），∴设H （x 4，t ）∵E 、H 是抛物线
上的两点，∴t x x t x x =--=--12,12424323 即3x 、4x 是t x x =--122的两个不相等的根
∴)1(,24343t x x x x +-=⋅=+
∵x 3＜0∴x 4＞0
∴EH ＝ x 4－x 3()()t t x x x x +=++=-+=2214444
3243 ∴22422t t -=+，即0642=-+t t
解这个方程得8
197,819721+-=-=t t （舍去）
故存在实数8
197-=t ，使得EF ＋GH ＝FG ． 22．（1）解：连结CH ，∵CH ⊥EF ，∴∠CNM ＋∠HCB ＝90°而∠HCB ＝∠CBA ，∴∠CNM ＋∠CBA ＝90°，∵∠CAB ＋∠CBA ＝90°，∴∠CNM ＝∠CAB ．由直线343+=x y 经过A 、C 得OC ＝3，AO ＝4，tan ∠CNM ＝tan ∠CAB ＝4
3． （2）解：∵GD ·GC ＝GE ·GF ，GO ·GQ ＝GE ·GF ，∴GO ·GQ ＝GE ·GC ．即GO （GC ＋CQ ）＝（GO ＋OD ）GC
∴GO ·CQ ＝OD ·GC ，∴GO ＝GC ．又∵∠CNG ＝∠CAB ＝∠BCO ，∴GN ＝GC ．而∠CMG ＝∠CBA ＝∠ACO ，∴GC ＝GM ．∴GO ＝GC ＝GM ＝GN ，∴四边形OMCN 是矩形．
（3）解：连结CR ，过C 作⊙H 的直径CL ，连结SL ∵R T 与⊙C 相切，CL 是直径 ∴∠CSL ＝∠CR T ＝90°又∠CLS ＝∠C T R ，
∴△CLS ∽△S T R ，∴
CR CS CT CL =∴CS ·C T ＝CL ·CR ＝AB ·OC ＝（4＋49）×3＝4
75 ∴CS ·C T 的值不变，其值为475．。