高考数学压轴专题人教版备战高考《平面解析几何》知识点总复习附答案解析

【最新】数学《平面解析几何》期末复习知识要点
一、选择题
1．如图所示，点F 是抛物线24y x =的焦点，点,A B 分别在抛物线24y x =及圆
22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围
（ ）
A ．(4,6)
B ．[4,6]
C ．(2,4)
D ．[2,4]
【答案】A 【解析】
由题意知抛物线2
4y x =的准线为1x =-，设A B 、两点的坐标分别为1,0()A x y ，
2,0()B x y ，则1||1AF x =+．
由()222414
y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 消去y 整理得2230x x +-=，解得1x =， ∵B 在图中圆()2
214x y -+=的实线部分上运动， ∴213x <<．
∴FAB ∆的周长为1212(1)2()3(4,6)AF FB BA x x x x ++=+++-=+∈． 选A ．
点睛：解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线定义的运用．特别是对于焦点弦的问题更是这样，利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离（两点间的距离）转化成该点到准线的距离（点到直线的距离），然后再借助几何图形的性质可使问题的解决变得简单．
2．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的
圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为
（ ） A ．22B 22-C ．22D 22+
【答案】D 【解析】 【分析】
设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出
,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】
设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，
由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为
4
π
，可得
,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得22
22122c c a b -=，即()22222
122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()
22
2
1221e e e -=-，整理得42420e e -+=，
解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】
本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.
3．设抛物线E ：26y x =的弦AB 过焦点F ，||3||AF BF =，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A '，B '，则四边形AA B B ''的面积等于( )
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】C 【解析】 【分析】
由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，由抛物线的性质可得梯形的上下底之和求出，求出
A ，
B 的纵坐标之差的绝对值，代入梯形的面积公式即可求出梯形的面积． 【详解】
解：由抛物线的方程 可得焦点3
(2F ，0)，准线方程：32
x =-，
由题意可得直线AB 的斜率存在且不为0，
设直线AB 的方程为：3
2
x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
联立直线与抛物线的方程：2
326x my y x
⎧
=+⎪
⎨⎪=⎩，整理可得：2690y my --=，
所以126y y m +=，129y y =-，21212()363x x m y y m +=++=+，
因为||3||AF BF =，所以3AF FB =uu u r uu r
，
即13(2x -，123
)3(2
y x -=-，2)y ，可得：123y y =-， 所以可得：22
22639y m y -=⎧⎨-=-⎩
即2
13m =， 由抛物线的性质可得： 212331
66668223
AA BB AB x x m ''+==++
+=+=+=g ， 221212121
||()436363636433
y y y y y y m -=+-=+=+=g ，
由题意可知，四边形AA B B ''为直角梯形，
所以1211
()||84316322
AA B B S AA BB y y ''''=+-==g
g g ， 故选：C ．
【点睛】
本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的相交弦长，梯形的面积公式，属于中档题．
4．如图所示，已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上
一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线
C 的离心率是( )
A ．
27
7
B ．
52
C ．
72
D ．7
【答案】C 【解析】 【分析】
利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】
解：双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于
原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，
60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒g ，可得22221
4962
c a a a =+-⨯，
2247c a =，
所以双曲线的离心率为：7e =． 故选：C ．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
5．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>)的左，右焦点分别为12,F F ，其右支上存在一点
M ，使得210MF MF ⋅=u u u u r u u u r
,直线:0l bx ay +=，若直线2//MF l 则双曲线C 的离心率为
（ ） A 2 B ．2
C 5
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
易得且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线求出直线1MF 的方程与渐近线方程联立求出交点坐标，进而求得M 坐标，根据勾股定理即可求解离心率. 【详解】
由120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v 可得12MF MF ⊥易知直线:0l bx ay +=为双曲线的一条渐近线，
可知l 的方程为b
y x a
=-，且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线，且直线1MF 的方程为()a
y x c b
=
+设1MF ，与l 相交 于点(),N x y .由 ()a y x c b b y x a ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得2a x c ab
y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即2,a ab N c c ⎛⎫-
⎪⎝⎭，又()1,0F c -，由中点坐标公式，得222,.a ab M c c c ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭由双曲线性质可得122MF MF a -=①，由12MF MF ⊥得22
2124MF MF c +=②，①②联立，可得2
122MF MF b ⋅=所以点M 的纵坐标为2b c ，所以22b ab c c =
即2b a =所以2
1 5.b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
故选：C 【点睛】
本题考查双曲线性质的综合问题，考查数形结合思想，对于学生的数学运算和逻辑推理能力要求较高，属于一般性题目.
6．已知1F 、2F 分别为双曲线22
146
x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足
120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v
，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）
A ．12
B ．2
C ．24
D ．242【答案】C 【解析】 【分析】
设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和
12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积. 【详解】
解：设1MF m =，2MF n =，
∵1F 、2F 分别为双曲线22146
x y -=的左、右焦点，
∴24m n a -==，122210F F c ==.
∵120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v
， ∴12MF MF ⊥，
∴222440m n c +==， ∴()2
222m n m n mn -=+-， 即2401624mn =-=， ∴12mn =， 解得6m =，2n =，
设2NF t =，则124NF a t t =+=+， 在1Rt NMF ∆中可得()()2
2
2426t t +=++， 解得6t =， ∴628MN =+=， ∴1MF N ∆的面积111
862422
S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．
【点睛】
本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
7．已知椭圆22
1259
x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个
焦点的距离等于（ ） A ．1 B ．3 C ．6 D ．10 【答案】C 【解析】
由椭圆方程可得225210a a =∴= ，由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C ．
8．过双曲线()22
22100x y a b a b
-=>>，的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B
，
两点，OAB ∆，则双曲线的离心率为（ ）
A B C D 【答案】D 【解析】 【分析】
令x c =，代入双曲线方程可得2
b
y a
=±，由三角形的面积公式，可得,a b 的关系，由离
心率公式计算可得所求值． 【详解】
右焦点设为F ，其坐标为(),0c
令x c =，代入双曲线方程可得2b
y a
=±=±
OAB V 的面积为21223b c a ⋅⋅= 3
b a ⇒=
可得3
c e a ==== 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．
9．已知直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．1
2
k >
B ．16k <-
或1
2
k > C ．62k -<< D ．1162
k -
<< 【答案】D 【解析】 【分析】
联立211
22y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩
，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线1
22y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩
，解得即可． 【详解】
解：联立211
22y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2421
6121k x k k y k -⎧
=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-
+的交点位于第一象限， ∴24021610
21k
k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩
，解得：11
62k -<<．
故选：D ． 【点睛】
本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．
10．已知椭圆22:195
x y C +=左右焦点分别为12F F 、
，直线):2l y x =+与椭圆C 交于
A B 、两点（A 点在x 轴上方），若满足11
AF F B λ=u u u v u u u v
，则λ的值等于（ ） A
．B ．3
C ．2
D
【答案】C 【解析】
由条件可知，直线l 过椭圆的左焦点()12,0F -.
由)
22219
5y x x y ⎧=+⎪
⎨+=⎪⎩消去y 整理得232108630x x ++=，
解得34x =-
或218
x =-． 设1122(,),(,)A x y B x y ，由A 点在x 轴上方可得12321
,48
x x =-
=-． ∵11AF F B λ=u u u v u u u v
，
∴1122(2,)(2,)x y x y λ---=+,
∴122(2)x x λ--=+． ∴321
2()(2)48
λ---=-+， 解得2λ=．选C
11．已知抛物线2:4C y x =，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若
3AF FB =uu u r uu r
，则AOF V 的面积（O 为坐标原点）为（ ）
A ．
3 B ．3
C ．
43
D ．23
【答案】B 【解析】 【分析】
首先过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥，易得
30ABM ∠=o ，60AFH ∠=o .根据直线AF ：3(1)y x =-与抛物线联立得到
1210
3x x +=
，根据焦点弦性质得到163
AB =，结合已知即可得到sin 6023AH AF ==o ，再计算AOF S V 即可.
【详解】 如图所示：
过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥. 因为3AF BF =uuu r uu u r
，设BF k =，则3AF k =，11BB A M k ==. 所以2AM k =. 在RT ABM V 中，1
2
AM AB =
，所以30ABM ∠=o .
则60AFH ∠=o .
(1,0)F ，直线AF 为1)y x =-.
22
1)
310304y x x x y x
⎧=-⎪⇒-+=⎨=⎪⎩，12103x x +=. 所以121016233AB x x p =++=
+=，3
44
AF AB ==.
在RT AFH V 中，sin 60AH AF ==o
所以1
12
AOF S =⨯⨯=V 故选：B 【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查焦点弦的性质，属于中档题.
12．已知平面向量,,a b c r r r
满足()()
2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值
为（ ）
A B ．
2
C ．
2
-
D ．
1
2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，易知a r 与b r
的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由
()()
21a c b c -⋅-=r r r r ，可得221
202
x y x +-+=，所以原问题等价于，圆
221
202
x y x +-+
=上一动点与点()20，
之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】
因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r
，
因为()()
21a c b c -⋅-=r r r r ，所以22
1202
x y x +-+=，
又b c -=r r
所以原问题等价于，圆22
1
202
x y x +-+=上一动点与点()20，
之间距离的最小值，
又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭
，所以点()20，与圆
221202x y x +-+
=上一动点距离的最小值为
22=. 故选：A.
【点睛】
本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．
13．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．6
B ．12
C ．24
D ．36 【答案】B
【解析】
【分析】
先将圆M 的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得AC ､BD 的值,进而求出答案.
【详解】
圆M 的标准方程为:22(2)(2)9x y -+-=,
其圆心为(2,2)M ,半径3r =,
过点E 最长的弦长是直径,故6AC =,
最短的弦是与ME 垂直的弦,又ME =
=
所以122
BD ===,即4BD =, 所以四边形的面积11641222S AC BD =
⋅⋅=⨯⨯=, 故选:B.
【点睛】
本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确AC 和BD 的位置关系,难度不大.
14．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ，P 为抛物线上的动点，PF m PQ =，当m 最小时，点P 恰好在以,F Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A ．3-
B ．2-
C
D 1
【答案】D
【解析】
由已知，(01)(01)F Q ，
，，-，过点P 作PM 垂直于准线，则PM PF =．记PQM α∠=，则sin PF PM m PQ PQ α===，当α最小时，m 有最小值，此时直线PQ 与抛物线相切于点P ．设2004x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，可得(21)P ，±，所以222PQ PF ，==，则2PF PQ a +=，∴21a =+，1c =，∴21c e a
=
=-，故选D ． 15．如图，12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．23y x =±
B ．2y x =±
C ．3y x =
D ．2y x =±
【答案】A
【解析】
【分析】 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b y x a =±
得到双曲线的渐近线方程. 【详解】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，
由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，
所以2212||46413F F =+=13c ⇒=
因为2521a x a =-=⇒=，所以23b = 所以双曲线的渐近线方程为23b y x x a =±
=±. 【点睛】
本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.
16．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值.
【详解】
如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =
当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=- Q 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C
415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=
本题正确选项：B
【点睛】
本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.
17．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v （ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32 【答案】B
【解析】
【分析】 先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称，
∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.
由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，
∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r .
故选B
【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()
21210F F F A F A +⋅=u u u u v u u u u v u u u v ，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A ．22
143
x y -= B ．22134x y -= C ．221169x y -= D ．221916
x y -= 【答案】D
【解析】
【分析】 先由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r 得到1222F F F A c ==，根据2AF 的斜率为247，求出217cos 25AF F ∠=-，结合余弦定理，与双曲线的定义，得到c a ，求出a b ，进而可得出结果.
【详解】 由()
21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r ，可知1222F F F A c ==， 又2AF 的斜率为247，所以易得217cos 25
AF F ∠=-， 在12AF F ∆中，由余弦定理得1165AF c =
， 由双曲线的定义得
16225c c a -=， 所以53
c e a ==，则:3:4a b =， 所以此双曲线的标准方程可能为22
1916
x y -=. 故选D
【点睛】
本题考查双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质与标准方程即可，属于常考题型.
19．已知P 是双曲线22
21(0)8
x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则“4a =”是“217PF =”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】 化简得到229PF a =+或292PF a =-，故当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =，得到答案.
【详解】
P 是双曲线22
21(0)8
x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =， 则229PF a =+或292PF a =-，
当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =.
故“4a =”是“217PF =”的必要不充分条件.
故选：B .
【点睛】
本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.
20．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】C
【解析】
【分析】 设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r 表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值.
【详解】
设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则
()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则
22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r ，
因为点P 为椭圆上，所以有：22143
x y +=即22334y x =-， 所以()222223132244
x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤， 所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r 的最大值为6
故选：C
【点睛】
本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.。