Ch-3.统计方法与品质管理解析
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在品管上，二項分配可應用於計算特定不合格品 數的發生機率或計數值管制圖中的不合格數管制 圖和不合格率管制圖。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-14
二項分配 2/2
二項分配為一間斷型分配，其機率質點函數為
n x n x P X x p 1 p x
x = 0,1,2,……, n，其中 0＜p＜1，
常態分配為一連續型分配，其機率密度函數為
1 f x e 2
x 2
2
2
，-∞＜x＜∞
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-18
常態分配 2/4
將X標準化即可獲得標準化常態分配，即
X ~ N（0, 1） Z
在常態分配中 ＜x＜ + 或1＜z＜1的範圍可 包含約68.26%（查附錄4的Z值表）之群體，
f ( x) e x
x 0, 0
則稱 X 為指數分配，即 X～exp ( )。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-22
韋伯分配 1/2
在產品壽命試驗的可靠度評估中，韋伯分配是除 指數分配外應用最廣的機率分配。
令 X 是韋伯分配的隨機變數，則其機率密度函數 為： 1 x x f ( x) exp
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-7
參、機率分配 1/2
用以描述隨機變數的所有可能值之發生機率。
依資料種類是間斷或連續的可分為間斷型機率分 配和連續型機率分配。
間斷型機率分配
連續型機率分配
超幾何分配
二項分配 超幾何分配與二項分配之關係
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
中位數
眾數 變異數
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-4
平均數
母體平均數( )的定義為將母體中之所有觀測值 加總，再除以母體個數。
X
i 1
N
i
N
樣本平均數( X)則是樣本內所有觀測值之平均值 。
X
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
X
i 1
n
i
n
3-5
3-33
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
來自二項母體的抽樣分配 2/3
兩個樣本比例差的分配
設 X1和 X2分別為來自兩個相互獨立的二項母體若 X1和 X2分別近似常態，則
ˆ1 p ˆ 2 ) ( p1 p2 ) (p p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 ) n1 n2
3-16
卜瓦松分配 2/2
卜瓦松分配為間斷型機率分配，其機率質點函數 為
e x P(X = x) = P(x) = x!
x = 0,1,2,……
其中 為單位時間內事件發生的平均次數
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-17
常態分配 1/4
常態分配為一鐘型的對稱分配，對稱於平均數 ， 反曲點到 的距離為標準差，如圖3.6所示。
x , 0, 0, 0
當三個參數中的任何參數變動時，分配的型式就 有不同的變化（如圖3.9）
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-23
韋伯分配 2/2
圖 3.9
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
韋伯分配的機率密度函數
3-24
肆、抽樣分配 1/2
3-37
估計與假設檢定 2/3
單一母體平均數的估計
單一母體變異數的估計 單一母體平均數的假設檢定 單一母體變異數的假設檢定 兩獨立母體平均數差的估計
兩獨立母體平均數差的假設檢定
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-38
估計與假設檢定 3/3
兩獨立母體變異數比的估計
兩獨立母體變異數的比較 單一母體比例的區間估計 單一母體比例的假設檢定 兩獨立母體比例差的區間估計
統計方法與品質管理
壹、統計學概述
貳、敘述統計學 參、機率分配 肆、抽樣分配 伍、估計與假設檢定
Chapter 3
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-2
壹、統計學概述
對資料作蒐集、整理、分析與推論的科學。可將 龐大的資料轉換成有用的資訊。
資料的種類可分為文字資料、屬性資料（又稱類 別資料）和屬量資料。 蒐集資料前需定義清楚母體。母體是有興趣的個 體或對象之所有觀測值所形成的集合。 樣本為母體的一部分。用以描述樣本的特性，如 樣本平均數( X )和樣本變異數(S2)等稱為統計量。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-35
來自卜瓦松母體的抽樣分配
在品管應用上，此抽樣分配不僅可用以對產品的 母體平均缺點數或單位平均缺點數做統計推論。
也可用以建立缺點數管制圖或單位缺點數管 制圖 。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-36
伍、估計與假設檢定 1/3
3-25
抽樣分配 2/2
來自常態母體的抽樣分配
來自二項母體的抽樣分配 來自卜瓦松母體的抽樣分配
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-26
來自常態母體的抽樣分配 1/2
卡方分配 若連續隨機變數X，其機率密度函數
f ( x)
1 r ( )2 2 2
r
x
r 1 2
e
x 2
x > 0，其中 r 1，為一正整數值的固定參數，則稱 X 為具有自由度為 r 的卡方分配隨機變數，可以表 2 示為 X~ (r ) 。
來自二項母體的抽樣分配 1/3
樣本比例分配
設X 為來自二項母體的隨機變數，即X~B(n, p)。 若 p未知，為了推論未知的母體比例 p，我們以 樣本比 X ˆ p 例 = 對 p 做統計推論。若X 近似常態分配，則
p1 p n
n ˆ p p
也近似標準常態分配。
ˆ )的抽樣分 在品管應用上，只要知道樣本比例( p 配，即可建立不合格率管制圖（p管制圖）或不 合格品數管制圖（np 管制圖）。另外，也可用 以推論產品的不合格率(p)。
研究者常因時間和成本的限制，無法獲得母體的 資料，而對母體的特性無所了解。
解決的方法是，以有限的時間和成本由母體中隨 機抽取一組樣本，再以統計量（即隨機樣本的函 數且不含未知參數）的機率分配（稱為抽樣分配） 對母體的特性（如母體平均數或母體變異數等） 做統計推論，即可以了解母體的特性。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-27
來自常態母體的抽樣分配 2/2
圖 3.10
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
卡方分配圖
3-28
t分配 1/2
若連續變數 x 之機率密度函數為
r 1 2 x2 r r 1 r 2
變異數
變異數用以表示資料的離散趨勢 。
母體變異數為
2
樣本變異數為
S2
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
X
i 1
N
i
2
N
X
n i 1
i
X
2
n 1
3-6
標準差
標準差亦用以表示資料的離散趨勢。
將母體變異數開根號取正值即是母體標準差； 樣本變異數開根號取正值，即是樣本標準差。
D N D x nx P( X x) N n
x = 0,1,2,……,min (n，D)
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-13
二項分配 1/2
百努利試驗(bernoulli trial)為一隨機試驗，有兩個 可能的結果，研究者有興趣的結果稱為「成功」， 另一結果則稱為「失敗」。 重複百努利試驗 n 次，令成功的次數為 X，則隨 機變數 X 即為二項分配。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-34
來自二項母體的抽樣分配 3/3
也近似常態分配，即
Z=
ˆ1 p ˆ 2 ) ( p1 p2 ) (p p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 ) n1 n2
~N(0, 1)。
在品管應用上，此分配可以用以推論哪家廠商的 產品不合格率較低，以做為材料或產品採購的 對象。
2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱX ~ N , n
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-20
常態分配 4/4
圖 3.6
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
常態分配
3-21
指數分配
令隨機變數 X 代表實行卜瓦松實驗並觀察至某 事件發生為止的等待時間，則 X 為一連續隨機 變數，其機率密度函數（圖3.8）為：
f(x) =
( r 1) 2
，-∞＜x＜∞
其中 r 1，為一正整數值的固定參數，則稱 X 為具 有自由度是 r 的Student’s t 分配，記為X~t (r)。其 分配形狀如圖3.11所示。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-29
t分配 2/2
圖 3.11
t 分配圖
3-30
3-8
機率分配 2/2
卜瓦松分配
二項分配與卜瓦松分配之關係 常態分配 二項分配、卜瓦松分配與常態分配之關係 指數分配
韋伯分配
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-9
間斷型機率分配
圖 3.4
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
間斷型機率分配
3-10
連續型機率分配
圖 3.5
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
F分配 1/2
若連續變數 X 之機率密度函數為
r r1 r1 1 r 2 1 r 2 2 x 2 1 f ( x) r1 r2 r r r 2 1 2 2 r 1 2 2 1 r x 2
兩獨立母體比例差的假設檢定
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-15
卜瓦松分配 1/2
X 表在特定時間內或特定面積內事件發生的次數， 且事件之發生相互獨立，則隨機變數 X 為卜瓦松 分配。 在品管上，卜瓦松分配可應用於計算布匹上發生 特定缺點數的機率或計數值管制圖中的缺點數管 制圖和單位缺點數管制圖。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
x >0，其中 r1和 r2為兩個固定正整數，則稱為X具有 自由度為(r1, r2)之 F分配；即 X~F(r1, r2 ) 。
F分配圖形如圖3.12所示。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-31
F分配 2/2
圖 3.12
F分配圖
3-32
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
統計學依發展的內容可分為兩部分，一為敘述統 計學，另一為推論統計學。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-3
貳、敘述統計學
一組資料在分析前，必須先加以整理，才可了解 這組資料的特性。
除了可利用圖形，來了解資料變化的情形外，一 些簡單的統計量也可提供有用的資訊。 平均數 標準差 全距 統計圖表
2 ＜ x ＜ +2 或 2 ＜ z ＜ 2 的 範 圍 可 包 含 約 95.46%之群體，而 3＜x＜ +3 或 3＜z＜3
的範圍可包含約99.73%之群體。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-19
常態分配 3/4
自母體中隨機抽出一樣本組，母體的平均數為 ， 變異數為 2，若母體的分配未知或不為常態分配， 但樣本大小夠大（一般要求 n 30），則利用中央 極限定理可知樣本平均數( )的抽樣分配為平均 X 數是，變異數是 2/n之常態分配即
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
連續型機率分配
3-11
超幾何分配 1/2
主要是應用於下列三個條件都滿足的情況：
母體內被觀察的單位個數有限。 觀察單位依其特性可分為兩類。 以不放回的方式抽樣。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-12
超幾何分配 2/2
超幾何分配為間斷型分配，其機率質點函數為
對母體未知參數做統計推論的方法有兩種，為：
估計 點估計：以樣本統計量的值做為母體未知參數 的估計值。 區間估計：以樣本統計量的值加上所允許的最 大誤差值當為母體未知參數的區間估計值。 假設檢定： 對母體的未知參數作一假設值，再以檢定統計量 的值決定假設是否被拒絕。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-14
二項分配 2/2
二項分配為一間斷型分配，其機率質點函數為
n x n x P X x p 1 p x
x = 0,1,2,……, n，其中 0＜p＜1，
常態分配為一連續型分配，其機率密度函數為
1 f x e 2
x 2
2
2
，-∞＜x＜∞
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-18
常態分配 2/4
將X標準化即可獲得標準化常態分配，即
X ~ N（0, 1） Z
在常態分配中 ＜x＜ + 或1＜z＜1的範圍可 包含約68.26%（查附錄4的Z值表）之群體，
f ( x) e x
x 0, 0
則稱 X 為指數分配，即 X～exp ( )。
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3-22
韋伯分配 1/2
在產品壽命試驗的可靠度評估中，韋伯分配是除 指數分配外應用最廣的機率分配。
令 X 是韋伯分配的隨機變數，則其機率密度函數 為： 1 x x f ( x) exp
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-7
參、機率分配 1/2
用以描述隨機變數的所有可能值之發生機率。
依資料種類是間斷或連續的可分為間斷型機率分 配和連續型機率分配。
間斷型機率分配
連續型機率分配
超幾何分配
二項分配 超幾何分配與二項分配之關係
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
中位數
眾數 變異數
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-4
平均數
母體平均數( )的定義為將母體中之所有觀測值 加總，再除以母體個數。
X
i 1
N
i
N
樣本平均數( X)則是樣本內所有觀測值之平均值 。
X
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
X
i 1
n
i
n
3-5
3-33
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
來自二項母體的抽樣分配 2/3
兩個樣本比例差的分配
設 X1和 X2分別為來自兩個相互獨立的二項母體若 X1和 X2分別近似常態，則
ˆ1 p ˆ 2 ) ( p1 p2 ) (p p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 ) n1 n2
3-16
卜瓦松分配 2/2
卜瓦松分配為間斷型機率分配，其機率質點函數 為
e x P(X = x) = P(x) = x!
x = 0,1,2,……
其中 為單位時間內事件發生的平均次數
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-17
常態分配 1/4
常態分配為一鐘型的對稱分配，對稱於平均數 ， 反曲點到 的距離為標準差，如圖3.6所示。
x , 0, 0, 0
當三個參數中的任何參數變動時，分配的型式就 有不同的變化（如圖3.9）
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3-23
韋伯分配 2/2
圖 3.9
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
韋伯分配的機率密度函數
3-24
肆、抽樣分配 1/2
3-37
估計與假設檢定 2/3
單一母體平均數的估計
單一母體變異數的估計 單一母體平均數的假設檢定 單一母體變異數的假設檢定 兩獨立母體平均數差的估計
兩獨立母體平均數差的假設檢定
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-38
估計與假設檢定 3/3
兩獨立母體變異數比的估計
兩獨立母體變異數的比較 單一母體比例的區間估計 單一母體比例的假設檢定 兩獨立母體比例差的區間估計
統計方法與品質管理
壹、統計學概述
貳、敘述統計學 參、機率分配 肆、抽樣分配 伍、估計與假設檢定
Chapter 3
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-2
壹、統計學概述
對資料作蒐集、整理、分析與推論的科學。可將 龐大的資料轉換成有用的資訊。
資料的種類可分為文字資料、屬性資料（又稱類 別資料）和屬量資料。 蒐集資料前需定義清楚母體。母體是有興趣的個 體或對象之所有觀測值所形成的集合。 樣本為母體的一部分。用以描述樣本的特性，如 樣本平均數( X )和樣本變異數(S2)等稱為統計量。
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3-35
來自卜瓦松母體的抽樣分配
在品管應用上，此抽樣分配不僅可用以對產品的 母體平均缺點數或單位平均缺點數做統計推論。
也可用以建立缺點數管制圖或單位缺點數管 制圖 。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-36
伍、估計與假設檢定 1/3
3-25
抽樣分配 2/2
來自常態母體的抽樣分配
來自二項母體的抽樣分配 來自卜瓦松母體的抽樣分配
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-26
來自常態母體的抽樣分配 1/2
卡方分配 若連續隨機變數X，其機率密度函數
f ( x)
1 r ( )2 2 2
r
x
r 1 2
e
x 2
x > 0，其中 r 1，為一正整數值的固定參數，則稱 X 為具有自由度為 r 的卡方分配隨機變數，可以表 2 示為 X~ (r ) 。
來自二項母體的抽樣分配 1/3
樣本比例分配
設X 為來自二項母體的隨機變數，即X~B(n, p)。 若 p未知，為了推論未知的母體比例 p，我們以 樣本比 X ˆ p 例 = 對 p 做統計推論。若X 近似常態分配，則
p1 p n
n ˆ p p
也近似標準常態分配。
ˆ )的抽樣分 在品管應用上，只要知道樣本比例( p 配，即可建立不合格率管制圖（p管制圖）或不 合格品數管制圖（np 管制圖）。另外，也可用 以推論產品的不合格率(p)。
研究者常因時間和成本的限制，無法獲得母體的 資料，而對母體的特性無所了解。
解決的方法是，以有限的時間和成本由母體中隨 機抽取一組樣本，再以統計量（即隨機樣本的函 數且不含未知參數）的機率分配（稱為抽樣分配） 對母體的特性（如母體平均數或母體變異數等） 做統計推論，即可以了解母體的特性。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-27
來自常態母體的抽樣分配 2/2
圖 3.10
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
卡方分配圖
3-28
t分配 1/2
若連續變數 x 之機率密度函數為
r 1 2 x2 r r 1 r 2
變異數
變異數用以表示資料的離散趨勢 。
母體變異數為
2
樣本變異數為
S2
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X
i 1
N
i
2
N
X
n i 1
i
X
2
n 1
3-6
標準差
標準差亦用以表示資料的離散趨勢。
將母體變異數開根號取正值即是母體標準差； 樣本變異數開根號取正值，即是樣本標準差。
D N D x nx P( X x) N n
x = 0,1,2,……,min (n，D)
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3-13
二項分配 1/2
百努利試驗(bernoulli trial)為一隨機試驗，有兩個 可能的結果，研究者有興趣的結果稱為「成功」， 另一結果則稱為「失敗」。 重複百努利試驗 n 次，令成功的次數為 X，則隨 機變數 X 即為二項分配。
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3-34
來自二項母體的抽樣分配 3/3
也近似常態分配，即
Z=
ˆ1 p ˆ 2 ) ( p1 p2 ) (p p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 ) n1 n2
~N(0, 1)。
在品管應用上，此分配可以用以推論哪家廠商的 產品不合格率較低，以做為材料或產品採購的 對象。
2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱX ~ N , n
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3-20
常態分配 4/4
圖 3.6
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常態分配
3-21
指數分配
令隨機變數 X 代表實行卜瓦松實驗並觀察至某 事件發生為止的等待時間，則 X 為一連續隨機 變數，其機率密度函數（圖3.8）為：
f(x) =
( r 1) 2
，-∞＜x＜∞
其中 r 1，為一正整數值的固定參數，則稱 X 為具 有自由度是 r 的Student’s t 分配，記為X~t (r)。其 分配形狀如圖3.11所示。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-29
t分配 2/2
圖 3.11
t 分配圖
3-30
3-8
機率分配 2/2
卜瓦松分配
二項分配與卜瓦松分配之關係 常態分配 二項分配、卜瓦松分配與常態分配之關係 指數分配
韋伯分配
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3-9
間斷型機率分配
圖 3.4
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間斷型機率分配
3-10
連續型機率分配
圖 3.5
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F分配 1/2
若連續變數 X 之機率密度函數為
r r1 r1 1 r 2 1 r 2 2 x 2 1 f ( x) r1 r2 r r r 2 1 2 2 r 1 2 2 1 r x 2
兩獨立母體比例差的假設檢定
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3-15
卜瓦松分配 1/2
X 表在特定時間內或特定面積內事件發生的次數， 且事件之發生相互獨立，則隨機變數 X 為卜瓦松 分配。 在品管上，卜瓦松分配可應用於計算布匹上發生 特定缺點數的機率或計數值管制圖中的缺點數管 制圖和單位缺點數管制圖。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
x >0，其中 r1和 r2為兩個固定正整數，則稱為X具有 自由度為(r1, r2)之 F分配；即 X~F(r1, r2 ) 。
F分配圖形如圖3.12所示。
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3-31
F分配 2/2
圖 3.12
F分配圖
3-32
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
統計學依發展的內容可分為兩部分，一為敘述統 計學，另一為推論統計學。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-3
貳、敘述統計學
一組資料在分析前，必須先加以整理，才可了解 這組資料的特性。
除了可利用圖形，來了解資料變化的情形外，一 些簡單的統計量也可提供有用的資訊。 平均數 標準差 全距 統計圖表
2 ＜ x ＜ +2 或 2 ＜ z ＜ 2 的 範 圍 可 包 含 約 95.46%之群體，而 3＜x＜ +3 或 3＜z＜3
的範圍可包含約99.73%之群體。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-19
常態分配 3/4
自母體中隨機抽出一樣本組，母體的平均數為 ， 變異數為 2，若母體的分配未知或不為常態分配， 但樣本大小夠大（一般要求 n 30），則利用中央 極限定理可知樣本平均數( )的抽樣分配為平均 X 數是，變異數是 2/n之常態分配即
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
連續型機率分配
3-11
超幾何分配 1/2
主要是應用於下列三個條件都滿足的情況：
母體內被觀察的單位個數有限。 觀察單位依其特性可分為兩類。 以不放回的方式抽樣。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理
3-12
超幾何分配 2/2
超幾何分配為間斷型分配，其機率質點函數為
對母體未知參數做統計推論的方法有兩種，為：
估計 點估計：以樣本統計量的值做為母體未知參數 的估計值。 區間估計：以樣本統計量的值加上所允許的最 大誤差值當為母體未知參數的區間估計值。 假設檢定： 對母體的未知參數作一假設值，再以檢定統計量 的值決定假設是否被拒絕。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理