教案—八年级一元二次方程应用题—沪教版

教 师 学 生 上课时间 2016/ 9 /16
学 科 数学
年 级
八年级
课题名称 一元二次方程的应用
教学目标 1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低率等生活中的实际问题。

2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。

3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。

重点难点
会运用一元二次方程解决简单的实际问题
1.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2
-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )
A.11
B.17
C.17或19
D.19
2.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.
3.用适当的方法解下列一元二次方程.
（1）.22(3)5x x -+= （2）.22330x x ++=
4．若方程（m －2）x m2－5m+8+(m+3)x+5=0是一元二次方程，求m 的值
5.已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12
k 2
-2=0. 求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.
课前检测
知识梳理
1. 一元二次方程的实际应用⎪⎪
⎪
⎪
⎩⎪⎪⎪
⎪
⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧动点问题数字问题面积问题利润问题增长率（降低率）问题常见类型、答步骤：设、列、解、验
2. 解题循环图：
3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。

（2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。

例题解析
考点一：增长率（降低率）和利润问题 （一）增长率（降低率）问题：
【例1】某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率．
（二）利润问题：
【例2】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。

为了扩大销售，增加赢利，
尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低1元，商场平均每天可多售出2件，求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
蔬菜种植区域
前
侧 空 地
（2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。

变1.常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北至桃源县盘塘镇创元工业园．在这一走廊内的工业企业
20XX 年完成工业总产值440亿元，如果要在20XX 年达到743.6亿元，那么20XX 年到20XX 年的工业总产值年平均增长率是多少？《常德工业走廊建设发展规划纲要（草案）》确定20XX 年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？
变2.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
考点二：面积 数字及动点问题 三）面积问题：
【例1】某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比
为
2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三侧
内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，
蔬
菜种植区域的面积是2
288m ？
（四）数字问题：
【例2】一个两位数等于它个位上的数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，求这个两位数。

（五）动点问题：
【例3】如图，在B t AC R ∆中，︒=∠90C ，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别
沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s 。

几秒后PCQ ∆的面积为CB t A R ∆面积的一半？
变3.如图，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。

变4.某电脑公司20XX 年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计20XX 年经营总收入要达到2160万元，且计划从20XX 年到20XX 年，每年经营总收入的年增长率相同，问20XX 年预计经营总收入为多少万元？
变5.如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB 平行,另一条与AB 垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求甬路的宽度?
变6.如图所示要建一个面积为150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为a m,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m. 求鸡场的长与宽各为多少米?
变7.已知：如图所示，在△ABC 中，cm 7cm,5,90==︒=∠BC AB B .点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动. （1）如果Q P ,分别从B A ,同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm2？ （2）如果Q P ,分别从B A ,同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5cm ？ （3）在（1）中，△PQB 的面积能否等于7cm2?说明理由.
拓展题型
一、传播问题：
例1 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，求，，每轮感染中平均一台电脑能感染几台？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
变式
1有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
2 甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？
二、球赛问题：(握手、签合同、打电话、送礼)
单循环：_____________ 双循环：______________
例1要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队只赛一场）。

计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
例2 参加一次聚会的没两个人都握了一次手，所有人共握手36次，有多少人参加聚会？
三，储蓄问题
例1 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）
四、趣味问题
例2 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？
五、象棋比赛
例3 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学
统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
六情景对话
例4 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
七等积变形
例5将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）
（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.
八、梯子问题
例6 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.
（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？
（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？
（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？
九、航海问题
例7 如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛D和小岛F相距多少海里？(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船
相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）
十、图表信息
例8 如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n 个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.
请你认真观察思考后回答下列问题：
（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，•完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：
纸片的边长n 2 3 4 5 6
使用的纸片张数
（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.
①当n＝2时，求S1∶S2的值；
②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.
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十一、平分几何图形的周长与面积问题
例9 如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E•在下底边BC上，点F在腰AB上.
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.
十二、利用图形探索规律
例10，在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：
图
8
（1）观察图形，请填写下列表格：
正方形边长 1 3 5 7 …n（奇数）
黑色小正方形个数…
正方形边长 2 4 6 8 …n（偶数）
黑色小正方形个数…
（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在
偶数．．n ，使P 2＝5P 1？若存在，请写出n 的值；若不存在，请说明理由.
1.在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图5所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）
A ．213014000x x +-=
B ．2653500x x +-=
C ．213014000x x --=
D ．2653500x x --= 2.余下部分作为耕地如图3，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，．若耕 地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）
AA ．1米 B ．1.5米 C ．2米 D ．2.5米
3.某企业20XX 年盈利1500万元，20XX 年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从20XX 年到20XX 年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
（1）该企业20XX 年盈利多少万元？
（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计20XX 年盈利多少万元？
4.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.
课后作业
5.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率.
6.有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：
（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？
（2）若此单位恰好花费7 500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？
7.有一个两位数，两个数字的和为6，数字的积等于这个两位数的31
，求这个两位数。

8.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
9.如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰
中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．。