近年高考数学一轮复习 第六章 平面向量与复数 第29课 平面向量的基本概念及其线性运算教师用书(20

（江苏专用）2018高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第29课平面向量的基本概念及其线性运算教师用书
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第六章平面向量与复数
第29课平面向量的基本概念及其线性运算[最新考纲]
内容
要求
A B C
平面向量的概念√
平面向量的加法、减法及数乘运算√
1．向量的有关概念
(1）向量：既有大小又有方向的量称为向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．
（2）零向量:长度为0的向量，其方向是任意的．
（3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
（5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6）相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算定义法则(或几何意义)运算律
加法
求两个向量
和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1）交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：
(a＋b）＋c＝a＋(b
＋c)
减法
求a与b的
相反向量－
a－b＝a＋（－b)
b的和的运
算叫作a与b
的差
三角形法则
数乘
求实数λ与
向量a的积
的运算
（1）｜λa｜＝｜
λ｜｜a|；
（2）当λ〉0时，
λa与a方向相同；
当λ<0时,λa与a
方向相反；当a＝0
时,λa＝0，当λ＝
0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa;
（λ＋μ）a＝λa＋
μa；
λ（a＋b)＝λa＋λb
3
向量a(a
≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
1．（思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×")
(1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
（3）a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件．（)
(4)△ABC中，D是BC的中点，则错误!＝错误!(错误!＋错误!)．（)
［答案］（1）×(2）×（3)×(4）√
2．(教材改编）已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA
→
＝a，错误!＝b，则错误!＝________，BC，
→
＝________。

(用a,b表示）
b－a－a－b［如图，错误!＝错误!＝错误!－错误!＝b－a，
错误!＝错误!－错误!＝－错误!－错误!＝－a－b。

]
3．设点P是△ABC所在平面内一点，且错误!＋错误!＝2错误!,则错误!＋错误!＝________。

0 [因为错误!＋错误!＝2错误!，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故错误!＋错误!＝
0.]
4．(2017·苏州模拟）设D为△ABC所在平面内一点，错误!＝3错误!，则错误!可用错误!，错误!表示为________．
错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!［错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误! (错误!－错误!）＝错误!错误!－错误!错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!.]
5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－（b－3a）共线，则λ＝________。

－1
3
[由已知得a＋λb＝－k(b－3a），
∴错误!得错误!］
平面向量的有关概念
①若|a｜＝｜b｜,则a＝b或a＝－b；
②若错误!＝错误!，则ABCD为平行四边形；
③若a与b同向，且｜a｜〉|b｜，则a〉b；
④λ,μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；
⑤λa＝0（λ为实数）,则λ必为零;
⑥a，b为非零向量，a＝b的充要条件是｜a|＝｜b|且a∥b。

其中假命题的序号为________．
①②③④⑤⑥［①不正确．|a｜＝｜b｜.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；
②不正确．因为错误!＝错误!，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形;
③不正确．两向量不能比较大小；
④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线；
⑤不正确．当λ＝1，a＝0时，λa＝0；
⑥不正确．对于非零向量a,b，a＝b的充要条件是|a｜＝｜b｜且a,b同向．]
［规律方法]1。

(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的;(2）充分利用反例
进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.
2．（1）相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．（2)共线向量（平行向量）和相等向量均与向量的起点无关．
3．若a 为非零向量,则错误!是与a 同向的单位向量,－错误!是与a 反向的单位向量．
[变式训练1］ 设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a ｜a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且｜a ｜＝1，则a ＝a 0。

上述命题中，假命题的是________．（填序号)
①②③ [向量是既有大小又有方向的量,a 与|a ｜a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行,则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．］ 平面向量的线性运算
(1)(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ,F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点,则错误!＋错误!＝________。

（2)（2016·广东广州模拟）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4,BC ＝6，若CD ，
→＝m 错误!
＋n 错误!(m ，n ∈R )，则错误!＝________. 【导学号：62172156】
(1）错误! (2)－3 [(1）如图，错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!
＝EC →＋错误!＝错误!（错误!＋错误!)
＝错误!·2错误!＝错误!.
(2)如图，过D 作DE ∥AB ，错误!＝m 错误!＋n 错误!＝错误!＋错误!＝－错误!错误!＋错误!， 所以n ＝－错误!，m ＝1，所以错误!＝－3.]
[规律方法] 向量的线性运算的求解方法
(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
［变式训练2] (1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝λ错误!，则λ＝________.
(2）已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足错误!＋错误!＋错误!＝0，错误!＝λ错误!，则实数λ的值为________．
（1）4(2)－2 [(1)因为M是AC和BD的中点,由平行四边形法则，得错误!＋错误!＝2错误!，错误!＋错误!＝2错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝4错误!。

（2)因为D是BC的中点,则错误!＋错误!＝2错误!。

由错误!＋错误!＋错误!＝0，得错误!＝错误!.
又错误!＝λ错误!，
所以点P是以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点,因此错误!＝错误!＋错误!＝2错误!＝－2错误!，所以λ＝－2.]
共线向量定理的应用
(1)若错误!＝a＋b,错误!＝2a＋8b,错误!＝3（a－b），求证：A,B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线。

【导学号:62172157】
［解］(1）证明:∵AB，→
＝a＋b，错误!＝2a＋8b，错误!＝3(a－b)，
∴错误!＝错误!＋错误!＝2a＋8b＋3（a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5错误!。

∴错误!,错误!共线，又∵它们有公共点B,
∴A，B,D三点共线．
（2）∵k a＋b和a＋k b共线,
∴存在实数λ,使k a＋b＝λ(a＋k b），
即k a＋b＝λa＋λk b，∴（k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a,b是两个不共线的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1。

［规律方法］共线向量定理的应用
（1）证明向量共线:对于向量a，b，若存在实数λ,使a＝λb,则a与b共线．(2)证明三点共线:若存在实数λ，使错误!＝λ错误!，则A，B，C三点共线．（3）求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值．易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
[变式训练3] (1）已知向量AB，→
＝a＋3b，错误!＝5a＋3b,错误!＝－3a＋3b，则下列说
法正确的是________．(填序号）
①A，B，C三点共线；
②A，B，D三点共线；
③A,C，D三点共线；
④B，C，D三点共线．
(2)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
（1)②（2）错误![(1)∵错误!＝错误!＋错误!＝2a＋6b＝2（a＋3b）＝2错误!,∴错误!,错误!共线,又有公共点B，
∴A，B，D三点共线．故选②.
(2）∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b），
即λa＋b＝t a＋2t b，∴｛λ＝t1＝2t，解得错误!］
[思想与方法］
1．向量加法的三角形法则应注意“首尾相接，指向终点”;向量减法的三角形法则应注意“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则应注意“起点重合”．
2．证明三点共线问题,可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线．
3．对于三点共线有以下结论:对于平面上的任一点O，错误!,错误!不共线，满足错误!＝x错误!＋y错误!（x,y∈R），则P,A，B共线⇔x＋y＝1。

[易错与防范]
1．解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量，导致错误．3．在向量共线的条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
课时分层训练（二十九）
A组基础达标
（建议用时:30分钟)
1．在△ABC中，已知M是BC中点,设错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝________。

（用a,b表示)
错误!a－b[错误!＝错误!＋错误!＝－错误!＋错误!错误!＝－b＋错误!a.］
2．已知AB，→
＝a＋2b，错误!＝－5a＋6b,错误!＝7a－2b，则一定共线的三点是________。

【导学号：62172158】
A，B,D[因为错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝3a＋6b＝3（a＋2b)＝3错误!，又错误!，错误!有公共点A,
所以A，B，D三点共线．］
3．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若错误!＝2错误!，错误!＝错误!错误!＋λ错误!，则λ等于________．
错误![∵错误!＝2错误!,即错误!－错误!＝2（错误!－错误!），
∴错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，∴λ＝错误!.]
4．设a，b都是非零向量,下列四个条件中，使错误!＝错误!成立的充分条件是________．（填序号）
①a＝－b；②a∥b;③a＝2b；④a∥b且|a｜＝|b|.
③[错误!＝错误!⇔a＝错误!⇔a与b共线且同向⇔a＝λb且λ>0.②④中a和b可能反向．①中λ〈0，不符合λ〉0.]
5．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量错误!，错误!，错误!，错误!满足等式错误!＋错误!＝错误!＋错误!，则四边形ABCD的形状为________.
【导学号：62172159】平行四边形[由错误!＋错误!＝错误!＋错误!得错误!－错误!＝错误!－错误!,
所以错误!＝错误!，所以四边形ABCD为平行四边形．］
6．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若错误!＝5e1,错误!＝3e2,则错误!＝________。

（用e
1
，e2表示）
错误!e1＋错误!e2[在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以错误!＝错误!错误!＝错误! (错误!＋错误!）＝错误!(错误!＋错误!)＝错误!(5e1＋3e2）．］
7．已知点O为△ABC外接圆的圆心,且错误!＋错误!＋错误!＝0，则△ABC的内角A等于________．
60°[∵错误!＋错误!＋错误!＝0，∴O是△ABC的重心，
又O为△ABC的外心，∴△ABC为等边三角形，
∴A＝60°。

]
8．已知平面内一点P及△ABC，若错误!＋错误!＋错误!＝错误!，则有关点P与△ABC的位置
关系判断正确的是________．（填序号）【导学号:62172160】
①点P在线段AB上;②点P在线段BC上;③点P在线段AC上；④点P在△ABC外部．
③[∵错误!＋错误!＋错误!＝错误!＝错误!－错误!，
∴2错误!＋错误!＝0.
即A，P,C三点共线．]
9．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC，→
2＝16,｜错误!＋错误!｜＝｜错误!－
错误!｜，则|错误!｜＝________。

2[由｜错误!＋错误!|＝｜错误!－错误!|可知错误!⊥错误!.
∴△ABC为直角三角形．又M为BC的中点，∴｜错误!｜＝错误!|错误!|＝错误!×4＝2.］10．在△ABC中，点M，N满足错误!＝2错误!,错误!＝错误!.若错误!＝x错误!＋y错误!，则x ＝________；y＝________。

错误!－错误!［∵错误!＝2错误!，∴错误!＝错误!错误!.
∵错误!＝错误!，∴错误!＝错误!（错误!＋错误!)，
∴错误!＝错误!－错误!＝错误!(错误!＋错误!)－错误!错误!
＝错误!错误!－错误!错误!.
又错误!＝x错误!＋y错误!，∴x＝错误!，y＝－错误!.]
11．如图29­1，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，错误!＝a,错误!＝b，则错误!＝________(用a，b表示)．
图29­1
错误!a＋b[∵C，D为半圆弧的三等分点，
连结CD，OD，易知∠ADO＝∠DAO＝30°，且四边形ACDO为平行四边形．
∴错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!a＋b.］
12．如图29。

2，在△ABC中，AB＝2,BC＝3，∠ABC＝60°,AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ＝________。

图29。

2
错误!［因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.
因为点M为AH的中点，所以错误!＝错误!错误!＝错误!(错误!＋错误!）＝错误!错误!＝错误!错误!
＋1
6错误!
，又错误!＝λ错误!＋μ错误!,所以λ＝错误!，μ＝错误!,所以λ＋μ＝错误!。

］
B组能力提升
（建议用时：15分钟）
1．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且错误!＋错误!＋2错误!＝0，则△ABC的面积与
△AOC的面积的比值为________．
4 ［因为D为AB的中点，
则错误!＝错误!（错误!＋错误!)，
又错误!＋错误!＋2错误!＝0，
所以错误!＝－错误!，所以O为CD的中点．又因为D为AB的中点，
所以S△AOC＝1
2
S
△ADC
＝错误!S△ABC，
则错误!＝4。

］
2．(2017·南京模拟）在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且错误!＝3错误!，点O在线段CD上(与点C，D不重合），若错误!＝x错误!＋（1－x)错误!，则x的取值范围是________．错误!［设错误!＝y错误!，
∵错误!＝错误!＋错误!
＝错误!＋y错误!＝错误!＋y(错误!－错误!)
＝－y错误!＋（1＋y)错误!。

∵错误!＝3错误!，点O在线段CD上（与点C，D不重合)，∴y∈错误!，
∵错误!＝x错误!＋（1－x）错误!，
∴x＝－y,∴x∈错误!。

]
3．如图29.3，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设错误!＝m错误!，
OQ，→
＝n错误!，m,n∈R,则错误!＋错误!的值为________．
图29。

3
3[连结OG，设错误!＝a,错误!＝b,由题意知错误!＝错误!×错误!（错误!＋错误!）＝错误!（a ＋b），错误!＝错误!－错误!＝n b－m a,错误!＝错误!－错误!＝错误!a＋错误!b，由P,G，Q三点共线得，存在实数λ，使得错误!＝λ错误!,即n b－m a＝λ错误!a＋错误!λb,
从而错误!消去λ得错误!＋错误!＝3.］
4．设G为△ABC的重心,且sin A·错误!＋sin B·错误!＋sin C·错误!＝0，则B的大小为________．
错误!［∵G是△ABC的重心，
∴错误!＋错误!＋错误!＝0.
∴错误!＝－错误!－错误!,
由sin A·错误!＋sin B·错误!＋sin C·错误!＝0，
得sin A·(－错误!－错误!)＋sin B·错误!＋sin C·错误!＝0，
即(sin B－sin A)·错误!＋(sin C－sin A)·错误!＝0。

又错误!与错误!不共线，
故错误!
所以sin A＝sin B＝sin C，∴A＝B＝C，
又A＋B＋C＝π,
∴A＝B＝C＝错误!.］。