《诱导公式五、六》三角函数精美版课件

三角函数
第2课时 诱导公式五、六
-1-
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课标阐释
1.理解并熟记诱导公式五和六.
2.能够利用诱导公式解决三角函数的求
值、化简与证明问题.
思维脉络
课前篇
自主预习
一
二
一、诱导公式五、六
1.观察单位圆,回答下列问题:
π
π
(1)角 α 与角2-α,角 α 与2+α 的终边有什么关系?
π
(2)角 α 与角 -α 的终边与单位圆的交点 P,P1 的坐标有什么关系?
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
随堂演练
利用诱导公式证明三角恒等式
例2求证:
3
2
2sin - π cos +
3π
1-2cos2 +
2
π -1
tan(9π + ) + 1
2
=
tan(π + )-1
.
分析:本题左、右两边的式子均较复杂,可考虑左、右两边分别
化简为同一式子进行证明.
课堂篇
2
π
角 α 与角 +α 的终边与单位圆的交点 P,P2 的坐标有什么关系?
2
π
提示:(1)角 α 与角 -α 的终边关于直线 y=x 对称,角 α 的终边关于
2
π
直线 y=x 的对称直线与角 +α 的终边关于 y 轴对称.
2
π
(2)角 α 与角2-α 的终边与单位圆的交点 P,P1 关于直线 y=x 对称;
时原函数值的符号,简称为“奇变偶不变,符号看象限”.
观察单位圆,回答下列问题:
观察单位圆,回答下列问题:
常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
(2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.
对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.
重要的问题之一,也是高考考查的重点、热点,一般解题步骤为:
(1)定关系:确定已知角与所求角之间的关系,一般常见的互余关
π
3
2π π
-α; +α
3
4
π
π
6
3
3π
与 -α 等.
4
π
6
π
4
π
4
π
3
系有: -α 与 +α; +α 与 -α; +α 与 -α 等.常见的互补关系有: +α 与
(2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.
5
反思感悟 在△ABC中,常用到以下结论:
常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
利用诱导公式证明三角恒等式
变式训练 1 已知 cos -
解析:sin +
=cos -
答案:
= .
=sin
= ,则 sin +
+ -
=
.
课堂篇
2
2
sin

1-cos
= sin2 .
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
随堂演练
诱导公式的综合应用
例 3 已知 sin(π-α)-cos(π+α)= 2
3
(1)sin α-cos α;
3
(2)sin
π
-α
2
3
+cos
π
+α
2
.
π<α<π
2
,求下列各式的值:
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究二
探究三
思想方法
随堂演练
利用诱导公式化简或求值
例1计算:
(1)sin2120°+cos 180°+tan 45°-cos2(-330°)+sin(-210°);
(2)
1+cos100°sin170°
;
cos370°+ 1-sin2170°
sin(+π)+sin(-π)
(3)
(n∈Z).
sin(+π)cos(-π)
思想方法
随堂演练
2
3
解:由 sin(π-α)-cos(π+α)= ,
得 sin α+cos α=
2
3
①,
2
将①两边同时平方,得 1+2sin α·cos α=9,
7
α=-9.
故 2sin α·cos
∵
π
<α<π,∴sin
2
α>0,cos α<0.
7
9
(1)∵(sin α-cos α)2=1-2sin α·cos α=1- 4
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
1
(1)若 cos(π+α)= ,则 sin
5π
- =
;
(1)sin2120°+cos 180°+tan 45°-cos2(-330°)+sin(-210°);
分析:本题左、右两边的式子均较复杂,可考虑左、右两边分别化简为同一式子进行证明.
6
2
利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或
从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义
法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌
握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
变式训练 2 求证:
探究三
思想方法
cos(π-)
3π
+
随堂演练
反思感悟 诱导公式的应用中,利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一,也是高考考查的重点、热点,一般解题步骤为:
我们已经学过六组诱导公式,其中哪些公式中函数名称没有改变?哪些函数名称改变了?
我们已经学过六组诱导公式,其中哪些公式中函数名称没有改变?哪些函数名称改变了?
(2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.
π
4
π
反思感悟 诱导公式的应用中,利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一,也是高考考查的重点、热点,一般解题步骤为:
sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
4
5
4
观察单位圆,回答下列问题:
π
π
π
观察单位圆,回答下列问题:
反思感悟 三角恒等式的证明策略
4
2
4
分析:本题左、右两边的式子均较复杂,可考虑左、右两边分别化简为同一式子进行证明.
cos10°+
1-sin2 10°
=
1-cos2 80° sin80°
cos10°
1
=
=
= .
2cos10° 2cos10° 2cos10° 2
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
随堂演练
(3)方法一 当 n=2k,k∈Z 时,
sin(+2π)+sin(-2π)
原式=
sin(+2π)cos(-2π)
9π
1
观察单位圆,回答下列问题:
2
3
反思感悟 三角恒等式的证明策略
π
1
1
(2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.
+ = ,则 cos(2π-θ)=
(2)若 sin
解析:(1)因为 cos(π+α)= ,
所以-cos α= ,即 cos α=- .
于是 sin
- =sin
(2)因为 sin
(sin+cos)2
sin+cos
= 2
=
,
sin -cos2
sin-cos
tan+1
右边=
tan-1
=
sin
cos+1
sin
cos-1
=
sin+cos
,
sin-cos
∴左边=右边.故原等式成立.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
随堂演练
反思感悟 三角恒等式的证明策略
=
2
.
cos
当 n=2k+1,k∈Z 时,
sin[+(2+1)π]+sin[-(2+1)π]
2
=-cos.
sin[+(2+1)π]cos[-(2+1)π]
2
(为偶数),
cos
所以原式=
2
- cos (为奇数).
(-1) sin+(-1) sin
2(-1)
方法二 原式=
9π
1
第2课时 诱导公式五、六
2
3
我们已经学过六组诱导公式,其中哪些公式中函数名称没有改变?哪些函数名称改变了?
1
观察单位圆,回答下列问题:
(2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.
6
分析:本题左、右两边的式子均较复杂,可考虑左、右两边分别化简为同一式子进行证明.
1
1
cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,
解:(1)原式=sin260°-cos 0°+tan 45°-cos230°+sin 30°
3
3
1
1
=4-1+1-4 + 2 = 2.
(2)原式=
1+cos(180°-80°)sin(90°+80°)
cos(360°+10°)+ 1-sin2 (180°-10°)
=
1+(-cos80°)cos80°
4
诱导公式一~六可以概括为:α+k·π (k∈Z)的三角函数值,等于α的同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值,前面加上一个将α看成锐角
时原函数值的符号,简称为“奇变偶不变,符号看象限”.
4
5
(2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.
4
利用诱导公式证明三角恒等式
(2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.
利用诱导公式证明三角恒等式
(3)得结论:根据选择的诱导公式,得到已知值和所求值之间的关系,从而得到答案.
反思感悟 三角恒等式的证明策略
观察单位圆,回答下列问题:
(2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.
(3)得结论:根据选择的诱导公式,得到已知值和所求值之间的关系,从而得到答案.
我们已经学过六组诱导公式,其中哪些公式中函数名称没有改变?哪些函数名称改变了?
= cos .

(-1) sin·(-1) cos
原式=
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
随堂演练
反思感悟 利用诱导公式化简三角函数式的步骤
利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
口诀是:“负化正,大化小,化到锐角再查表”.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
随堂演练
- =cos α=- .
+ = ,
所以 sin 2 + = 3,因此 cos θ=3,
1
于是 cos(2π-θ)=cos(-θ)=cos θ=3.
1
答案:(1)-6
1
(2)3
.
课前篇
自主预习
一
二
二、诱导公式总结
1.我们已经学过六组诱导公式,其中哪些公式中函数名称没有改
变?哪些函数名称改变了?
提示:公式一、二、三、四中函数名称没有改变,公式五、六中
函数名称改变了.
2.填空
π
诱导公式一~六可以概括为:α+k· (k∈Z)的三角函数值,等于α的
2
同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值,前面加上一个将α
看成锐角时原函数值的符号,简称为“奇变偶不变,符号看象限”.
课堂篇
探究学习
探究一
(1)sin2120°+cos 180°+tan 45°-cos2(-330°)+sin(-210°);
第2课时 诱导公式五、六
反思感悟 诱导公式的应用中,利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一,也是高考考查的重点、热点,一般解题步骤为:
诱导公式一~六可以概括为:α+k· (k∈Z)的三角函数值,等于α的同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值,前面加上一个将α看成锐角
cos(2π-)
π
2
3π
cos sin 2 - -1
cos(π+)sin 2+ -sin 2 +
-cos
cos
证明左边=
+
cos(-cos-1) -coscos+cos
1
1
1-cos+1+cos
=1+cos +
=
1-cos
(1+cos)(1-cos)
2
2
=
=
=右边.故原等式成立.
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
随堂演练
3π
-2sin 2 - (-sin)-1
证明∵左边=
1-2sin2
π
-2sin π+ 2- (-sin)-1
=
1-2sin2
π
2sin 2- (-sin)-1
=
1-2sin2
-2sincos-1
= 2
sin +cos2 -2sin2
常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
6
6
利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
5π
π
1
(2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.
2
2
6
口诀是:“负化正,大化小,化到锐角再查表”.
我们已经学过六组诱导公式,其中哪些公式中函数名称没有改变?哪些函数名称改变了?
π
角 +α 的终边与单位圆的交点 P2 的横坐标等于角 α 与单位圆的交
2
π
点 P 的纵坐标的相反数;角 +α 的终边与单位圆的交点 P2 的纵坐标
2
等于角 α 与单位圆的交点 P 的横坐标.
课前篇
自主预习
一
二
2.填空
常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
(3)得结论:根据选择的诱导公式,得到已知值和所求值之间的关
系,从而得到答案.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
变式训练 3 已知 cos
观察单位圆,回答下列问题:
思想方法
5π
+α
12