(全优试卷)北京市海淀区高三3月适应性考试(零模)理科数学试题 Word版含答案

精华学校2016-2017学年全日制第三次月考测试卷
数学（理科）
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
2|M x x x ==，{}1,0,1N =-，则M N =（ ）
A ．{}1,0,1-
B ．{}0,1
C ．{}1
D ．{}0
2.下列函数中为偶函数的是（ ） A ．2
sin y x x =
B ．2x
y -=
C ．sin x
y x
=
D ．0.5|log |y x =
3.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．7
D ．15
4.在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．0θ=（R ρ∈）和cos 2ρθ= B ．2
π
θ=（R ρ∈）和cos 2ρθ= C ．0θ=（R ρ∈）和cos 1ρθ=
D ．2
π
θ=
（R ρ∈）和cos 1ρθ=
5.设a ，b 为两个非零向量，则“||a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分且不必要条件 B ．必要且不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条
件
6.设不等式组3100,
360
x y x y +-≥⎧⎨
+-≤⎩表示的平面区域为D ，若函数log a y x =（1a >）的图象
上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,3]
B ．[3,)+∞
C ．(1,2]
D ．[2,)+∞
7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（ ）
A ．4
B ．
C ．D
8.已知函数()f x 满足如下条件：①任意x R ∈，有()()0f x f x +-=成立；②当0x ≥时，
2221
()(|||2|3)2
f x x m x m m =-+--；③任意x R ∈，有()(1)f x f x ≥-成立．
则实数m 的取值范围（ ）
A ．66⎡-⎢⎣⎦
B ．11,66⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
C ．33⎡-⎢⎣⎦
D ．11,33
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.复数(1)Z i i =+在复平面内对应的点的坐标为 ．
10.抛物线2
8y x =的焦点到双曲线2
2
13
y x -=的渐进线的距离是 ．
11.在锐角ABC ∆中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2sin a B =，则角A 等于 ．
12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-，若数列{}n b 满足
210log n n b a =-，则使数列{}n b 的前n 项和取最大值时的n 的值为 ．
13.小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合影，若小明与小刚相邻，且小明与小红不相邻，则不同的排法有 种．
14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，长度为2的线段MN 的一个端点M 在棱
1DD 上运动，另一个端点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 中点的轨迹与正方体1111ABCD A B C D -的表面所围成的较小的几何体的体积等于 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知函数()4cos sin()4
f x x x π
ωω=⋅+（0ω>）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．
16. 如图，在直角梯形ABCP 中，//CP AB ，CP CB ⊥，1
22
AB BC CP ===，D 是CP 的中点，将PAD ∆沿AD 折起，使得PD CD ⊥．
（Ⅰ）若E 是PC 的中点，求证：//AP 平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面PCD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角A PB C --的大小．
17.某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润1ξ（万元）的概率分布列如表所示：
且1ξ的期望1()120E ξ=；若投资乙项目一年后可获得的利润2ξ（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p （01p <<）和1p -．若乙项目产品价格一年内调整次数X （次数）与2ξ的关系如表所示：
（Ⅰ）求m ，n 的值； （Ⅱ）求2ξ的分布列；
（Ⅲ）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求p 的取值范围．
18.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点
构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和长轴长；
（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，P 为直线3x =-上任意一点，过点F 作直线PF 的垂线交椭圆C 于M ，N ，记1d ，2d 分别为点M 和N 到直线OP 的距离，证明：12d d =．
19.已知函数()x
e f x x
=．
（Ⅰ）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标； （Ⅱ）当a e ≤时，证明：当(0,)x ∈+∞，()(ln )f x a x x ≥-．
20.已知数集{}12,,,n A a a a =…（121n a a a =<<<…，2n ≥）具有性质P ：对任意的k （2k n ≤≤），i ∃，j （1i j n ≤≤≤），使得k i j a a a =+成立． （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）求证：1212n n a a a a -≤+++…（2n ≥）； （Ⅲ）若72n a =，求数集A 中所有元素的和的最小值．
精华学校2016-2017学年全日制第三次月考数学（理科）测试卷答案 一、选择题
1-5:BCDBD 6-8:BCA
二、填空题
9.(1,1)-3
π 12.9或10 13.36 14.
6
π 三、解答题
15.解：（Ⅰ）()4cos sin()4
f x x x π
ωω=⋅+
2cos x x x ωωω=⋅+
2cos 2)x x ωω=++2sin(2)4
x π
ω=+
因为()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 从而有
22π
πω
=，故1ω=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin(2)4
f x x π
=++，
令2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，k Z ∈，
所以有322244k x k ππ
ππ-
+≤≤+，k Z ∈， 所以有388
k x k ππ
ππ-+≤≤+，k Z ∈．
所以()f x 的单调递增区间为388k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
，，k Z ∈．
16.（Ⅰ）证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，
在正方形ABCD 中，O 为AC 的中点，又因为E 为PC 的中点， 所以OE 为PAC ∆的中位线， 所以//OE AP ，
又因为OE ⊂平面BDE ，AP ⊄平面BDE ， 所以//AP 平面BDE ．
（Ⅱ）证明：由已知可得AD PD ⊥，AD CD ⊥， 又因为PD
CD D =，PD ，CD ⊂平面PCD ，
所以AD ⊥平面PCD ，
又因为AD ⊂平面ABCD ， 所以平面PCD ⊥平面ABCD ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知AD ⊥平面PCD ，所以AD PD ⊥，又因为PD CD ⊥，且A D C D D =，
所以PD ⊥平面ABCD ，
所以以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2)P ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ， 所以(2,0,2)AP =-，(0,2,0)AB =， 设平面APB 的一个法向量为(,,)m a b c =，
所以0,0,m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,220,
b a
c =⎧⎨-+=⎩
令1a =，则1c =，从而(1,0,1)m =，
同理可求得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)n =， 设二面角A PB C --的大小为θ，易知(,)2
π
θπ∈，
所以1
cos |cos ,|2||||m n m n m n θ⋅=-<>=-
=-⋅，所以23πθ=， 所以二面角A PB C --的大小为
23
π
． 17.解：（Ⅰ）由题意得0.41,
1101200.4170120,
m n m n ++=⎧⎨
+⨯+=⎩解得0.5m =，0.1n =．
（Ⅱ）2ξ的可能取值为41.2，117.6，204，
[]2(41.2)(1)1(1)P p p ξ==---(1)p p =-，
[]222(117.6)1(1)(1)(1)(1)P p p p p p p ξ==--+--=+-，
2(204)(1)P p p ξ==-，
所以2ξ的分布列为：
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得
222
2()41.2(1)117.6(1)204(1)1010117.6E p p p p p p p p ξ⎡⎤=-++-+-=-++⎣⎦
，
由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润， 所以21
()()E E ξξ>，
所以2
1010117.6120p p -++>，
解得0.40.6p <<，所以p 的取值范围是(0.4,0.6)．
18.解：（Ⅰ）由题意可知2,
2
4,
b c ===⎪⎩解得26a =，22b =，
所以椭圆C 的标准方程为22
162
x y +=，椭圆C 的长轴长为． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知点F 的坐标为(2,0)-，设点P 的坐标为(3,)m -， 则直线PF 的斜率0
3(2)
PF m k m -=
=----，
当0m ≠时，直线MN 的斜率1
MN k m
=
，直线MN 的方程是2x my =-， 当0m =时，直线MN 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将直线MN 的方程与椭圆C 的方程联立，
得222,1,6
2x my x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩
消去x ，得2
2
(3)420m y my +--=， 其判别式2
2
168(3)0m m ∆=++>， 所以12343m y y m +=
+，122
2
3
y y m -=+， 12122
12
()43
x x m y y m -+=+-=+， 设T 为线段MN 的中点，则点T 的坐标为2262(
,)33
m
m m -++，
所以直线OT 的斜率3
OT m k =-， 又直线OP 的斜率3
OP m k =-， 所以点T 在直线OP 上，
由三角形全等的判定和性质可知：12d d =．
19.解：（Ⅰ）设点P 的坐标为00(,)x y ，2
(1)
'()x e x f x x -=，
由题意知00
02
0(1)
,,
x x e x k x e kx x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
解得02x =，所以02002x e e y x ==，
从而点P 的坐标为2
(2,)2
e ．
（Ⅱ）设函数()()(ln )g x f x a x x =--(ln )x
e a x x x =--, 2
()(1)
'()x e ax x g x x --=，(0,)x ∈+∞，
设()x
h x e ax =-，(0,)x ∈+∞，则'()x
h x e a =-，
①当1a ≤时，因为0x >，所以1x e >，所以'()0x
h x e a =->， 所以()h x 在区间(0,)+∞上单调递增，所以()(0)10h x h >=>； ②当1a e <≤时，令'()0h x =，则ln x a =，
所以(0,ln )x a ∈，'()0h x <；(ln ,)x a ∈+∞，'()0h x >． 所以()(ln )(1ln )0h x h a a a ≥=-≥， 由①②可知：(0,)x ∈+∞时，有()0h x ≥， 所以有：
所以min ()(1)0g x g e a ==-≥，从而有当(0,)x ∈+∞时，()(ln )f x a x x ≥-． 20.解：（Ⅰ）因为311≠+，所以{}1,3,4不具有性质P ．
因为212=⨯，312=+，633=+，所以{}1,2,3,6具有性质P ． （Ⅱ）因为集合{}12,,,n A a a a =…具有性质P ：
即对任意的k （2k n ≤≤），i ∃，j （1i j n ≤≤≤），使得k i j a a a =+成立， 又因为121n a a a =<<<…，2n ≥，所以i k a a <，j k a a <， 所以1i k a a -≤，1j k a a -≤，所以12k i j k a a a a -=+≤，
即12n n a a -≤，122n n a a --≤，232n n a a --≤，…，322a a ≤，212a a ≤， 将上述不等式相加得2311212()n n n a a a a a a a --++++≤+++……， 所以1212n n a a a a -≤+++…. （Ⅲ）最小值为147．
首先注意到11a =，根据性质P ，得到2122a a ==， 所以易知数集A 的元素都是整数．
构造{}1,2,3,6,9,18,36,72A =或者{}1,2,4,5,9,18,36,72A =，这两个集合具有性质P ，此时元素和为147．
下面，我们证明147是最小的和．
假设数集{}12,,,n A a a a =…（12n a a a <<<…，2n ≥），满足1
147n
i
i S a
==
≤∑最小（存
在性显然，因为满足
1
147n
i
i a
=≤∑的数集A 只有有限个）．
第一步：首先说明集合{}12,,,n A a a a =…（12n a a a <<<…，2n ≥）中至少有8个元素： 由（Ⅱ）可知212a a ≤，322a a ≤，……
有11a =，所以22a ≤，34a ≤，48a ≤，516a ≤，632a ≤，76472a ≤<，
所以8n ≥．
第二步：证明136n a -=，218n a -=，39n a -=：
若36A ∈，设36t a =，因为723636n a ==+，为了使得1
n
i
i S a
==∑最小，在集合A 中一
定不含有元素k a 使得3672k a <<，从而136n a -=；
假设36A ∉，根据性质P ，对72n a =，有i a ，j a ，使得72n i j a a a ==+， 显然i j a a ≠，所以144n i j a a a ++=，
而此时集合A 中至少还有5个不同于n a ，i a ，j a 的元素， 从而1()5149n i j S a a a a >+++=，矛盾， 所以36A ∈，进而36t a =，且136n a -=； 同理可证：218n a -=，39n a -=． （同理可证明：若18A ∈，则218n a -=， 假设18A ∉．
因为136n a -=，根据性质P ，有i a ，j a ，使得136n i j a a a -==+， 显然i j a a ≠，所以1144n n i j a a a a -+++=，
而此时集合A 中至少还有4个不同于n a ，1n a -，i a ，j a 的元素， 从而114148n n i j S a a a a a ->++++=，矛盾， 所以18A ∈，且218n a -=．
同理可以证明：若9A ∈，则39n a -=， 假设9A ∉，
因为218n a -=，根据性质P ，有i a ，j a ，使得218n i j a a a -==+， 显然i j a a ≠，所以12144n n n i j a a a a a --++++=，
而此时集合A 中至少还有3个不同于n a ，1n a -，2n a -，i a ，j a 的元素，
全优试卷
从而1213147n n n i j S a a a a a a -->+++++=，矛盾， 所以9A ∈，且39n a -=．） 至此，我们得到了136n a -=，218n a -=，39n a -=． 根据性质P ，有i a ，j a ，使得9i j a a =+． 我们需要考虑如下几种情形： ①8i a =，1j a =，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素k a ，才能得到元素8，则148S > ； ②7i a =，2j a =，此时集合中至少还需要一个大于4的元素k a ，才能得到元素7，则148S >；
③6i a =，3j a =，此时集合{}1,2,3,6,9,18,36,72A =的和最小，为147； ④5i a =，4j a =，此时集合{}1,2,4,5,9,18,36,72A =的和最小，为147．。