高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》专项训练及解析答案

【高中数学】数学《平面向量》期末复习知识要点(1)
一、选择题
1．在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3
BAD π
∠=
，M 为DC 的中点，N 为
平面ABCD 内一点，若AB NB AM AN -=-u u u v u u u v u u u u v u u u v ，则AM AN ⋅=u u u u v u u u v （ ）
A ．16
B ．12
C ．8
D ．6
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|AN u u u r |＝|MN u u u u r
|，再根据向量的数量积公式计算即可 【详解】
由|AB NB -u u u r u u u r |＝|AM AN -u u u u r u u u r |，可得|AN u u u r
|＝|NM u u u u r |，
取AM 的中点为O ，连接ON ，则ON ⊥AM ，
又12
AM AD AB =+u u u u r u u u r u u u r ，
所以AM u u u u r •21122AN AM ==u u u r u u u u r （12AD AB +u u u r u u u r ）212=（2214AD AB AD ++u u u r u u u r u u u r •AB u u u r ）12=
（414+
⨯16+2×41
2⨯）＝6， 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题
2．已知点M 在以1(,2)C a a -为圆心，以1为半径的圆上，距离为23,P Q 在圆
222:8120C x y y +-+=上，则MP MQ ⋅u u u r u u u u r
的最小值为（ ）
A ．18122-
B ．19122-
C ．18122+
D ．19122+【答案】B 【解析】 【分析】
设PQ 中点D ，得到,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r
，求得2
3MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，再
利用圆与圆的位置关系，即可求解故()
2
3223MP MQ ⋅≥--u u u r u u u u r ，得到答案.
【详解】
依题意，设PQ 中点D ，
则,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，所以2
3MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，
2
2
2
22(
)12
PQ C D QC =-=Q ，D ∴在以1为半径，以2C 为圆心的圆上， 22221[(2)4]2(3)1832C C a a a =+--=-+≥Q ，
1221min min MD C C C D MC ∴=--
故()
2
322
319122MP MQ ⋅≥--=-u u u r u u u u r
.
【点睛】
本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.
3．已知6a =r 2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r r
r r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为
（ ） A ．-4 B ．-2
C ．2
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量垂直，数量积为0，求出a b r r g ，即求向量a r 在向量b r
方向上的投影a b b ⋅r r r .
【详解】
()(2),()(2)0b a a b b a a b -⊥+∴-+=r r r r r r r r Q g ， 即2220b a a b -+=r r r r g . 6,2,8a b a b ==∴=r r r r Q g ，
所以a r 在b r
方向上的投影为4a b b
⋅=r r r .
故选：D . 【点睛】
本题考查向量的投影，属于基础题.
4．如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u v
（ ）
A ．43
AD BE +u u u
v u u u v
B ．53
AD BE +u u u
v u u u v
C ．4132A
D B
E +u u u
v u u u v
D ．5132
AD BE +u u u
v u u u v
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量的加减运算求解即可 【详解】 据题意，
2533
AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
．
故选B ． 【点睛】
本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题
5．已知点1F ，2F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左，右焦点，过原点O 且倾斜
角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ，且1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
，则椭圆C
的离心率为（ ） A 31 B ．23
C ．
1
2
D 2 【答案】A 【解析】
【分析】
由1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，在
12Rt MF F V 中，求出2MF ，1MF ，
,a c 的关系，求出离心率可得选项. 【详解】
将1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，即
12121
||2
MF MF OM F F c ⊥=
=，. 又60MOF ∠=︒，∴2MF c =
，1MF =
，∴2a c =+
，∴1c
e a
=
=. 故选:A. 【点睛】
考查了向量的数量积,椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于,a c 的关系，属于中档题.
6．设x ，y 满足10
2024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩
，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m
的最小值为（ ） A ．
125
B ．125
-
C ．
32
D ．32
-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】
解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r
，
由a b ⊥r r
得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，
由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得85
4
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴416122555
m y x =-=-=-， 故选：B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
7．已知平面向量a v ,b v 的夹角为3
π
，且||2a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v ( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．
16
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解. 【详解】
由题意，可得222|2|||4||4444||||cos 43
a b a b a b a b π
-=+-⋅=+-⋅=r r r r r r r r ，
所以|2|2a b -=r r
，故选B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r
，则x =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=r
r
，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，向量(1,1)a =r
，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=r
r ，
所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r
r
r
，解得1x =，故选A. 【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
9．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，设
z OP OA =⋅u u u r u u u r
，则z 的最大值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】
解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
可知它的可行域如下图：
Q ()2,1A ，(), P x y
∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r
，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，
即24z x y =+=.
故选：C. 【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.
10．设()1,a m =r ，()2,2b =r
，若()
2a mb b +⊥r r r ，则实数m 的值为（ ）
A ．
12
B ．2
C ．13
-
D ．-3
【答案】C 【解析】 【分析】
计算()222,4a mb m m +=+r r
，根据向量垂直公式计算得到答案.
【详解】
()222,4a mb m m +=+r r
，
∵()2a mb b +⊥r r r ，∴()
20a mb b +⋅=r r r ，即()22280m m ⋅++=，解得13
m =-.
故选：C .
【点睛】
本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.
11．已知向量m =r (1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r ，且m r ⊥n r
，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ） A ．
12
B ．2
C ．2
D ．﹣2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2
θ222
26sin cos cos sin cos θθθθθ
+=+，分子分母同除以cos 2θ，
代入tanθ可得答案. 【详解】
因为向量m =r (1，cosθ)，n =r
(sinθ，﹣2)， 所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r
因为m r ⊥n r
，
所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，
所以sin 2θ+6cos 2θ2
222
2626226
141
sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.
12．如图，在ABC V 中，已知D 是BC 边延长线上一点，若2B C C D =u u u v u u u v
，点E 为线段
AD 的中点，34
AE AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v
，则λ=（ ）
A ．
14
B ．14
-
C ．
13
D ．13
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由12AE AD =u u u r u u u r ，AD BD BA =-u u u r u u u r u u u r ，AC BC BA =-u u u
r u u u r u u u r ，32
BD BC =u u u r u u u r ，代入化简即可得出．
【详解】 13,,,22AE AD AD BD BA BD BC BC AC AB ==-==-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，带人可得
()
13132244AE AC AB AB AB AC ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，可得14λ=-，
故选B. 【点睛】
本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π
∠=
，若23
BD BC =u u u v u u u v ，则AD BD ⋅=u u u v u u u v （ ） A ．
229
B ．229
-
C ．
169
D ．8
9
-
【答案】A 【解析】 【分析】
本题主要是找到两个基底向量AB u u u v ，AC u u u v ，然后用两个基底向量表示AD u u u v ，BD u u u v
，再通过向量的运算即可得出结果． 【详解】
解：由题意，画图如下：
则：()
22223333
BD BC AC AB AB AC ==-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u
v u u u v ，
2233AD AB BD AB AB AC =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1233
AB AC =+u u u v u u u v .
∴12223333AD BD AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
22242999
AB AC AB AC =-⋅+⋅-⋅⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v
24249cos 999
AB AC BAC =-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠u u u
v u u u v
82423cos 993π=-+-⋅⋅⋅
229
=. 故选A ． 【点睛】
本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．
14．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO uuu v ·BC uuu v
的值是
A ．－8
B ．－1
C ．1
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
因为AO AC CO AB BO =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，所以1()2
AO AC BO AB CO =+++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
而BC AC AB BO CO =-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，所以1()2
BC AC AB BO CO =-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则
1()()4AO BC AC AB CO BO AC AB BO CO ⋅=+++-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
1()()()()()()4AC AB AC AB AC AB BO CO CO BO AC AB =+-++-++-u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()()CO BO BO CO ++-u u u v u u u v u u u v u u u v
221(||4AC AB AC BO AC CO AB BO AB CO =-+⋅-⋅+⋅-⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22||)CO AC CO AB BO AC BO AB BO CO +⋅-⋅+⋅-⋅+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)()42
AC AB AC BO AB CO =-+⋅-⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)[()]42
AC AB AB BC BO AB CO =-++⋅-⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)()42
AC AB AB BC BC BO =-+⋅+⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)42AC AB AO BC =-+⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v 所以22
1(||)82
AO BC AC AB ⋅=-=u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D
15．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则
PA PB ⋅u u u v u u u v
的最小值是（ ）
A 21-
B 2
C ．0
D ．1
【答案】D
【解析】 试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以
，所以PA PB ⋅u u u r u u u r
的最小值为1，故答案选D.
考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算. 16．已知平面向量,,a b c r r r 满足()()
2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ）
A 75-
B 73-
C ．532-
D 31- 【答案】A
【解析】
【分析】 根据题意，易知a r 与b r 的夹角为60︒，设(=13a ，r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()
21a c b c -⋅-=r r r r ，可得2212302x y x y +-+=，所以原问题等价于，圆2212302
x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果.
【详解】 因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=13a ，r ，()20b =，r ，(),c x y =r ， 因为()()
21a c b c -⋅-=r r r r ，所以2212302
x y x +-+=， 又()222b c x y -=-+r r 所以原问题等价于，圆2212302x y x +-+
=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 又圆2212302x y x +-+=的圆心坐标为312⎛ ⎝⎭
，5，所以点()20，与圆2212302
x y x +-+=上一动点距离的最小值为
=. 故选：A.
【点睛】
本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．
17．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2-3b 2=2ac ，BA u u u r ⋅BC uuu r =2，则△ABC 的面积为（ ）
A B ．32 C ．D ．【答案】C
【解析】
【分析】 利用余弦定理求出B 的余弦函数值，结合向量的数量积求出ca 的值，然后求解三角形的面积．
【详解】
在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2﹣3b 2＝2ac ，
可得cosB 222123a c b ac +-==，则sinB = BA u u u r ⋅BC =u u u r 2，可得cacosB ＝2，则ac ＝6，
∴△ABC 的面积为：
116223acsinB =⨯⨯=． 故选C ． 【点睛】
本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．
18．下列命题为真命题的个数是（ ）
①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数；
②若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r ；
③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题； ④函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误； 对于②中，若0a b ⋅=r ，可以有a b ⊥r r ，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；
对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，
其逆否命题为真命题，故③正确；
对于④中，()()x x x x
e e e e
f x f x x x
-----===-， 且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称，
所以函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数，故④正确. 综上，真命题的个数是2.
故选：B.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
19．在四边形ABCD 中,若12
DC AB =u u u r u u u r ,且|AD u u u r |=|BC uuu r |,则这个四边形是( ) A ．平行四边形 B ．矩形
C ．等腰梯形
D ．菱形
【答案】C
【解析】 由12DC AB =u u u r u u u r 知DC ∥AB ,且|DC|=12
|AB|,因此四边形ABCD 是梯形.又因为|AD u u u r |=|BC uuu r |,所以四边形ABCD 是等腰梯形.
选C
20．已知向量(),1a x =-r ， (b =r ，若a b ⊥r r ，则a =r （ ）
A
B C ．2 D ．4 【答案】C
【解析】
由a b r r ⊥，(),1a x =-r ， (b r =，可得：x 0x ，==，即)1a =-r
所以2a ==r
故选C。