2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)5：三角函数

2012 高考真题分类汇编：三角函数
一、选择题
【 高考真题重庆理 5】设
tan ,tan 是方程 x
2
3x 2
0 的两个根， 则 tan(
) 的
1. 2012
值为
（ A ） -3 （ B ） -1 （C ） 1 （ D ）3【答案】 A
【 解 析 】 因 为 tan , tan 是 方 程 x
2
3x 2 0 的 两 个 根 ， 所 以 tantan
3 ，
tan tan2 ，所以 tan(
tan
tan
3
)
tan tan
3 ，选 A.
1 1 2
2【. 2012 高考真题浙江理 4】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2 倍（纵
坐标不变），然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是
【答案】 A
【解析】根据题设条件得到变化后的函数为 y cos(x 1) ，结合函数图象可知选项
A 符合要求。

故选 A.
3.【 2012 高考真题新课标理
9】已知 0 ，函数 f ( x)
sin( x) 在 (
, ) 上单调递减 .
4 2
则 的取值范围是（
）
( A) [ 1 , 5
]
(B) [ 1 , 3
]
( C ) (0,
1
]
( D ) (0, 2]
2 4
2 4
2
【答案】 A
【 解 析 】 函 数 f ( x)
sin(
x ) 的 导 数 为 f ' ( x) c o s (x
) ， 要 使 函 数
4
4
f (x) sin( x
则2k
2
2k
4
x
42,
5
4
) 在 (,) 上单调递减，则有 f ' (x)cos(x) 0恒成立，
424
x
3
，即2k x
5
2k，所以
2k
4
424
2k， k Z ，当 k0 时，
4
x5，又
2
x，所以有44
，解得 1 ,5，即15，选 A.
2424
4.【 2012 高考真题四川理 4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA至E，使AE 1 ，连接 EC 、ED则 sin CED（）
31010
C、5
D、
5
A、B、
15 101010
【答案】 B
【解析】 EB EA AB 2 ，
EC EB2BC 241 5 ，
EDC EDA ADC
3
，424
由正弦定理得sin
CED DC1 5 ，sin EDC CE55
所以 sin CED 5
gsin EDC
5
gsin
3
10. 55410
5【. 2012 高考真题陕西理9】在ABC 中，角 A, B,C 所对边长分别为a, b, c ，若 a2b2c22，则 cosC 的最小值为（）
3
B.2
C.
1
D.
1
A.
222 2
【答案】 C.
a 2
b
2
c
2
a2b2
1
(a 2 b 2 )
a
2
b
2
2ab1
【解析】由余弦定理知cosC2，
2ab2ab4ab4ab2故选Ｃ．
，，37
6.【2012高考真题山东理】若sin 2=，则 sin
428
（ A）3
（B）
4
（C）7（ D）
3 5544
【答案】 D
【解析】因为[, ]，所以2[,] ， cos20 ，所以
422
c o2 s1s i2 2n1，又 osc212nis21，所以 sin 29，sin3，
88164选D.
7.【2012
高考真题辽宁理
7sin cos2
，
(0
，π)，则 tan
=
】已知
(A)1(B)
2
(C)
2
(D) 1 22
【答案】 A
【解析一】sin cos2, 2 sin()2,sin() 1
3 ,44
(0， ),tan1，故选A
4
【解析二】sin cos2,(sin cos)
22,sin 21,
(0,), 2(0, 2), 23, 3 ,tan1，故选 A
24
【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力，难度适中。

8.【 2012高考真题江西理4】若 tan +1
=4,则 sin2 =
1111tan
B.
A． C.
3D.
542
【答案】 D
【命题立意】本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式。

【解析】由
1
4
sin cos sin 2cos21
，tan得，
sin sin
4 ，即
1
4 tan cos cos sin 2
2
所以 sin 21
，选 D. 2
9. 【 2012 高考真题湖南理6】函数 f （ x） =sinx-cos(x+) 的值域为
6
A． [ -2 ,2] B.[- 3 , 3 ] C.[-1,1 ] D.[- 3 , 3 ]
22【答案】 B
【解析】 f （ x）=sinx-cos(x+)sin x 3
cos x
1
sin x 3 sin( x) ，
6226
sin( x
6
)1,1 ， f ( x) 值域为[- 3 , 3 ].
【点评】利用三角恒等变换把 f ( x) 化成 A sin(x) 的形式，利用sin(x)1,1 ，求得 f ( x) 的值域.
10.【 2012高考真题上海理16】在ABC 中，若 sin 2A sin 2 B sin 2 C ，则ABC 的形状是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】 C
【解析】根据正弦定理可知由sin
2 A sin 2B sin 2 C ,可知 a2b2 c 2，在三角形中
cosC a2b2 c 2
C.
2ab
0 ，所以 C 为钝角，三角形为钝角三角形，选
11.【 2012高考真题天津理2】设R, 则“0 ”是“ f ( x)cos( x)( x R) 为偶函数”的
（A）充分而不必要条件（ B）必要而不充分条件
（ C）充分必要条件（ D）既不充分与不必要条件
【答案】 A
【解析】函数 f ( x) c o s(x) 若为偶函数，则有k, k Z ,所以“0 ”是“ f ( x)cos(x) 为偶函数”的充分不必要条件，选 A.
12.【 2012 高考真题天津理6】在ABC 中，内角A，B，C所对的边分别是 a,b, c ，已知8b=5c，C=2B，则 cosC=
（A）
（C）【答案】 A 77 25
（ B）
25 724
25
（ D）
25
【解析】因为 C2B ,所以 sin C
c b
sin( 2B) 2sin B cos B ,根据正弦定理有，
sin C sin B
所以
c
sin C 8
，所以 cos B
sin C 1 8
4。

又 cos C cos( 2B) 2 cos 2 B 1，
b
sin B
5
2 sin B 2 5 5
所以 cosC 2 cos 2
B
1 2
16 1
7 ，选 A.
25
25
13.【 2012 高考真题全国卷理
7】已知 α 为第二象限角， sin
cos
3
，则 cos2α =
3
(A) -
5
（ B ） - 5
(C)
5 (D) 5
3
9
9
3
【答案】 A
【 解 析 】 因 为 sin cos 3
2sin
cos
1 ， 所 以
所 以 两 边 平 方 得 1 3
3
2 s i n c o s
2 0 ， 因 为 已 知 α 为 第 二 象 限 角 ， 所 以 sin
0, cos
0 ，
3
sin
cos
1 2 sin
cos
1
2 5 15 ，
所
以
3
3
3
c 2
co 2
sos 2
(i s
scn ) i o
15 3 5
s( n) =s ic
no
，s 选 A.er
3
3
3
二、填空题
14. 【 2012 高考真题湖南理 15】函数 f （ x ）=sin ( x ) 的导函数 y f (x) 的部分图像如
图 4 所示，其中， P 为图像与 y 轴的交点， A,C 为图像与
x 轴的两个交点， B 为图像的最低点 . （ 1）若
，点 P 的坐标为（ 0，
3 3
），则
;
6
2
（ 2 ）若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△
ABC 内的概率
为.
【答案】（ 1） 3；（ 2）
4
【解析】（ 1） y
f ( x)
cos( x ) ，当
，点 P 的坐标为（ 0， 3
3
）时
6
2
cos
3 3 , 3 ；
6
2
T 2
1
AC
（ 2）由图知 AC
2 ，
S
ABC
，设 A, B 的横坐标分别为 a, b .
2
2
2
设 曲
线 段
ABC
S
b
f (x)dx f ( x)
a
b a
与 x 轴 所 围 成 的 区 域 的 面 积 为
S 则
sin( a ) sin( b ) 2 ，由几何概型知该点在△
ABC 内
的概率为
S
ABC
2 .
P
2
4
S
【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，
（ 1）利用点 P 在图像上求
，
（ 2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得
.
15.【 2012 高考真题湖北理
11】设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c . 若
( a b c)(a b c)
ab ，则角 C
．
【答案】
【解析】
2
3
由（ +b-c ）(a+b-c)=ab, 得到
2
b 2
2
=-ab
a
a
c
根据余弦定理 cosC
a
2
b 2
c 2
= -ab 1 , 故 C 2
2ab 2ab
2
3
16.【 2012 高考真题北京理 11】在△ ABC 中，若 a =2， b+c=7， cosB=
1 ，则 b=_______ 。

4
【答案】 4
【 解 析 】 在 △ ABC 中 ， 利 用 余 弦 定 理 cos B a
2
c
2
b
2
1 4 (c b)(c b)
2ac
4
4c
4 7(c
b)
c 3
8c 7b
4 0 ，与题目条件 b c
7 联立，可解得
b 4 . 4
c ，化简得：
a
2
17.【 2012 高考真题安徽理 15】设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a,b,c ；则下列命题正确
的是 _____
①若 ab c2；则 C
3②若 a b2c ；则 C
3
③若 a3b3c3；则 C
2④若 ( a b)c 2ab ；则 C
2
⑤若 (a2b2 )c22a2b2；则C
3
【答案】①②③
【命题立意】本题解三角形的知识，主要涉及余弦定理与基本不等式的运算。

【解析】正确的是_____
① ab c2cosC a2b2c22ab ab1C
3
2ab2ab2
② a b2c cosC
a2b2c24( a2b2 ) (a b)21C
2ab8ab23
③当 C
2
时， c2a2b2c3a2c b2 c a3b3与 a3b3c3矛盾
④取 a b2, c1满足 (a b)c2ab 得： C
2
⑤取 a b 2, c 1满足(a2b2 )c22a2b2得：C
3
18.【 2012高考真题福建理13】已知△ ABC得三边长成公比为 2 的等比数列，则其最大角的余弦值为 _________.
【答案】
2
．4
【命题立意】本题考查了解三角形和等比数列的相关知识，难度适中．【解析】设最小边长为 a ，则另两边为2a,2a .
所以最大角余弦cos a22a 24a22 2a2a4
19.【 2012高考真题重庆理13】设ABC的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且 cos A 3，
5
5 b 3 则c
cos B,
13
【答案】
14
5
35412【解析】因为cos A,cos B, 所以s i An， sin B，
513513
sin C
sin( A B)
4 5 12 3 56 b
c
3 c 5 13 13
5 , 根据正弦定理
得
12 , 解得
65
sin B sin C
56
13
65
14 .
c
5
20.【 2012 高考真题上海理 4】若 n
( 2,1) 是直线 l 的一个法向量，则 l 的倾斜角的大小 为 （结果用反三角函数值表示） 。

【答案】 arctan 2
【解析】设倾斜角为 ，由题意可知，直线的一个方向向量为（
1,2），则 tan 2 ，
∴ = arctan 2 。

21. 【 2012 高考真题全国卷理 14 】 当函数
取得最大值时，
x=___________. 【答案】 x
5 6
【解析】 函数为 y
sin x
3 cos x 2 sin( x
) ，当 0 x 2 时，
x
5 3 ，
3
3
3
由三角函数图象可知，当
x
5 时取得最大值，所以 x
5
.
2
，即 x
3 6
6
22.【 2012 高考江苏 11（】 5 分）设 为锐角，若 cos
6
4
，则 sin( 2a
12) 的值为 ▲ ．
5
【答案】
17
2。

50
【考点】 同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。

【解析】 ∵
为锐角，即 0 < < ，∴ <
<
2
= 2 。

2 6
6 6 3
∵ cos
4
，∴ sin
6
3。

∴
6
5
5
sin 2
2sin
cos 6
=2 3
4 = 24。

3
6
5 5 25
∴ cos 2
7 。

3
25
∴ sin(2a
)=sin(2 a 3
)=sin 2a 3cos cos 2a
3 sin
12
4
4
4
= 24
2 7 2 = 17 2 。

25
2 25 2 50
三、解答题
23.【 2012 高考真题新课标理
17】（本小题满分 12 分）
已知 a,b,c 分别为 ABC 三个内角 A, B, C 的对边， a cosC
3a sin C b c
（ 1）求 A
（ 2）若 a
2 ， ABC 的面积为
3 ；求 b, c .
【答案】（ 1）由正弦定理得：
a cosC
3a sin C b c 0 sin AcosC 3sin Asin C sin B
sin C
sin A cosC 3sin Asin C
sin(a C) sin C
3sin A cos A 1
sin( A 30 )
1
2
A 30 30
A 60
（2） S
1
bc sin A
3
bc
4
2
a
2
b
2
c
2
2bc cos A b c 4
24.【 2012 高考真题湖北理 17】（本小题满分
12 分）
已 知 向 量 a ( c o sx
s i xn , sx i ，n b ( cos x sin x, 2 3cos x) ， 设 函 数
f ( x)
a b
(x R ) 的图象关于直线
x π对称，其中
，
为常数，且
( 1
, 1) .
2
（Ⅰ）求函数 f ( x) 的最小正周期；
（Ⅱ）若 y
f ( x) 的图象经过点 π
，求函数
f ( x) 在区间 [0,
3π ( ,0) ] 上的取值范围 .
4
5
【答案】（Ⅰ）因为 f (x)
2
x
2
x 2 3sin x cos x
sin
cos
cos2 x
3sin 2 x
2sin(2 x π .
)
6
由直线 x
是 y
f (x) 图象的一条对称轴，可得
sin(2 π π 1，
π
)
6
π π
Z ) ，即 k 1
(k Z ) ．
所以 2 πk π( k
2
3
6
2
又
1
, 1) ， k Z ，所以 k
1 ，故
5
( .
2
6
所以 f (x) 的最小正周期是
6π
5 .
（Ⅱ）由 y
f ( x) 的图象过点 π
，得 f ( π
0 ，
( ,0) )
4 4
即 5 π π 2sin π 2 ，即
2 .
2sin( 2 )
4
6 6 故 f ( x) 2sin( 5 π 2 ，
x )
3 6
由 0
x
3π，有 π 5 x π 5π，
5
6 3 6 6
所以 1 5 π 1，得 1 2 2sin( 5 π
2 22 ，
2 sin( x ) x )
3 6
3 6 故函数 f (x) 在 [0, 3π 上的取值范围为 [ 1
2, 2 2] .
] 5
25.【 2012 高考真题安徽理 16】） (本小题满分 12 分 )
设函数 f ( x)
2
cos(2x)
sin 2
x 。

2
4
（ I ）求函数 f ( x) 的最小正周期；
（ II ） 设 函 数 g( x) 对 任 意 x
R ， 有 g ( x
) g ( )
] 时 ， 2
x ， 且 当 x [0,
2
g( x)
1
g( x) 在 [ ,0] 上的解析式。

f ( x) ，求函数
2
【答案】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力。

【解析】 f ( x)
2 cos(2 x
4
) sin 2
x 1
cos 2x
1
sin 2x
1
(1 cos2x)
2
2 2
2
1
1
sin 2 x ，
2 2
2 （ I ）函数 f ( x) 的最小正周期 T 2
（ 2）当 x
[0, ] 时， g (x)
1
f (x)
1
sin 2x
2 2
2
当 x
[
,0] 时， ( x
) [0, ] g(x) g( x
) 1
sin 2( x
) 1
sin 2x
2
2
2 2
2
2
2
当 x
[ ,
2
) 时， ( x ) [0,
) g( x) g( x )
1
sin 2( x
)
1
sin 2x
2
2 2
1
sin 2 x(
2x 0)
得函数 g ( x) 在 [
,0] 上的解析式为 g(x)
2。

1
sin 2x(
x
)
2
2
26.【 2012 高考真题四川理
18】 (本小题满分 12 分 )
函数 f ( x)
6cos
2
x 3 cos x 3(
0) 在一个周期内的图象如图所示，
A 为图象
2
的最高点， B 、 C 为图象与 x 轴的交点，且 ABC 为正三角形。

（Ⅰ）求
的值及函数 f (x) 的值域；
（Ⅱ）若 f ( x 0 ) 8 3
( 10 2 ) ，求 f (x 0 1) 的值。

，且 x 0
3 ,
5
3
【答案】本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍
公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想.
27.【2012 高考真题陕西理16】（本小题满分12 分）
函数 f ( x) A sin( x) 1（ A 0,0 ）的最大值为 3 ，其图像相邻两条对称轴之间
6
的距离为，
2
（ 1）求函数 f ( x) 的解析式；
（ 2）设(0, ) ，则 f ( ) 2 ，求的值。

22
【答案】
28.【 2012 高考真题广东理 16】（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) 2 cos( x ) ，（其中 ω ＞ 0， x ∈ R ）的最小正周期为 10π．
6
（ 1）求 ω 的值；
（ 2）设 ,
[ 0, ] ， f (5
5 ) 6
， f (5
5 ) 16
2 3
5
6 17
，求 cos （ α＋ β ）的值．
【答案】本题考查三角函数求值，三角恒等变换，利用诱导公式化简三角函数式与两角和的
余弦公式求值，难度较低。

【解析】
(1) T 10
2
1 ，
5
29.【 2012 高考真题山东理 17】（本小题满分 12 分）
已知向量 m
(sin x ,1), n
( 3 A cos ,
A
cos 2 )(
0) ，函数 f ( x)
m n 的最大值为
x
x A
3
6.
（Ⅰ）求 A ；
（Ⅱ）将函数 y
f (x) 的图象向左平移
个单位， 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来
12
的 1
倍，纵坐标不变，得到函数
y g ( x) 的图象 . 求 g( x) 在 [0, 5 ] 上的值域 .
2
24
【答案】
解析：（Ⅰ） f ( x)
m n
3Acosx sinx
A
cos2x
3
Asin 2x
A
cos2x
Asin 2x
，
2
2
2
6
则 A 6 ;
（Ⅱ）函数 y=f （ x ）的图象像左平移
12 个单位得到函数 y 6sin[ 2(x
12
)] 的图象，
6 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的
1 倍，纵坐标不变， 得到函数 g(x) 6 sin(4x
) .
2
3
当 x
[0, 5
] 时， 4x
[ 3
, 7
], sin( 4x) [ 1
,1] ， g ( x) [ 3,6] .
24
3
6
3
2
故函数 g （ x ）在
上的值域为 [ 3,6] .
另解：由 g( x)
6 sin(4x
) 可得 g ( x) 24 cos(4x ) ，令 g (x)
0 ，
3 [0, 5
3 则 4x
k
(k Z ) ，而 x ] ，则 x ，
3
2
24 24
于是 g (0) 6 sin
3 3, g(
) 6sin 6, g ( 5
)
6 sin
7
3，
3
24
2
24
6
故 3
g (x) 6 ，即函数 g （ x ）在
上的值域为 [ 3,6] .
30.【 2012 高考真题北京理 15】（本小题共
(sin x cosx) sin 2x 13 分）已知函数 f ( x)。

sin x
（ 1）求 f (x) 的定义域及最小正周期；
（ 2）求 f (x) 的单调递减区间。

【答案】
31.【 2012高考真题重庆理18】（本小题满分13 分（Ⅰ）小问8 分（Ⅱ）小问 5 分）
设 f ( x) 4 cos( x)sin x cos(2 x x) ，其中0.
6
（Ⅰ）求函数y f ( x) 的值域
（Ⅱ）若
y f (x)在区间3x ,上为增函数，求的最大值 .
22
【答案】
32.【 2012 高考真题浙江理18】(本小题满分14 分 )在ABC中，内角 A，B，C的对边分别
为a， b， c．已知 cosA＝2
， sinB＝5 cosC． 3
(Ⅰ )求 tan C 的值；
(Ⅱ )若 a＝ 2 ，求ABC的面积．
【答案】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。

(Ⅰ )∵ cosA＝2
＞0，∴ sinA＝ 1 cos2 A 5 ，33
又 5 cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA
＝5
cosC＋
2
sinC．33
整理得： tanC＝5．
(Ⅱ )由图辅助三角形知：sinC＝ 5 ．
6
又由正弦定理知：
a c
，sin A sin C
故 c 3 ．(1)
对角 A 运用余弦定理： cosA＝b
2
c2a2
2
． (2) 2bc3
解(1)(2)得：b3 or b＝3
(舍去 )．3
∴ABC的面积为： S＝5． 2
33.【 2012 高考真题辽宁理17】 (本小题满分12 分 )
在ABC 中，角A、B、C的对边分别为a， b， c。

角 A， B， C 成等差数列。

(Ⅰ)求cos B的值；
(Ⅱ)边 a， b，c 成等比数列，求sin A sin C 的值。

【答案】
【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列
的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。

第二小题既可以利用正弦定理把边的
关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。

34.【 2012 高考真题江西理18】（本小题满分12 分）
在△ ABC中，角A,B,C的对边分别为 a ， b ， c 。

已知，。

（1）求证：
（2）若a= 2，求△ ABC的面积。

【答案】
【点评】本题考查解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应
用 .高考中，三角解答题一般有两种题型：一、解三角形：主要是运用正余弦定理来求解边长，
角度，周长，面积等；二、三角函数的图像与性质：主要是运用和角公式，倍角公式，
辅助角公式进行三角恒等变换，求解三角函数的最小正周期，单调区间，最值（值域）等 .来年需要注意第二种题型的考查 .
35.【 2012 高考真题全国卷理17】（本小题满分10 分）（注意：在试卷上作答无效）
．．．．．．．．．．．
三角形 ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c，已知 cos（ A-C）＋ cosB=1， a=2c，求 c.【答案】
36.【 2012 高考真题天津理15】（本小题满分13 分）
已知函数 f ( x)sin(2x)sin( 2x) 2 cos2 x 1, x R.
33
（Ⅰ）求函数 f ( x) 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 f ( x) 在区间 [, ] 上的最大值和最小值.
44
【答案】
37. 【 2012 高考江苏15】（14 分）在ABC 中，已知AB AC 3BA BC．
（ 1）求证： tan B3tan A ；
（ 2）若cosC
5
，求 A 的值．5
【答案】解：（ 1 ）∵AB AC3BA BC ，∴AB AC cos A=3 BA BC cos B，即A C c o s A = 3B C c。

o B
由正弦定理，得AC = BC，∴ sin B cos A=3sin A cos B 。

sin B sin A
又∵ 0 < A B <
，∴ cos A > 0， cos B > 0 。

∴
sin B
=3
sin A 即 tan B 3tan A 。

cos B cos A
5
，0 <C <
5 2
2 5。

∴ tan C
（ 2）∵ cosC
，∴ sin C
1
=
2 。

5
5
5
∴ tan
A B
2 ，即 tan A
B
2 。

∴ tan A
tan B
2 。

1 tan A tan B
由 （ 1） ，得
4tan A
2
，解得
tan A=1，tan A=
1 。

1 3tan 2
A
3
∵ cos A > 0 ，∴ tan A=1 。

∴ A =。

4
【考点】 平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。

【解析】（1）先将 AB AC 3BA BC 表示成数量积， 再根据正弦定理和同角三角函数关系式
证明。

（ 2）由 cosC
5
，可求 tan C ，由三角形三角关系，得到
tan A B ，从而
5
根据两角和的正切公式和（
1）的结论即可求得
A 的值。