小学数学定义新运算

小学数学定义新运算
一.什么是定义新运算
我们已经学过了加、减、乘、除运算。

在有些情况下，常把「有多步含加、减、乘、除的运算」用某种新的符号表示，这就是定义了新的运算。

见到了这种用新的符号所定义的运算后，就按它所规定的「运算程序」进行运算，直到得出最后结果。

例如，设A、B表示自然数，如果定义符号「※」表示的运算如下：
A※B＝3×A+4×B
那么，根据新运算「※」的定义，就可以计算6※7如下：
6※7＝3×6+4×7＝46。

如果定义符号「※」表示的运算为：
A※B＝A÷B×2+3×A-2，
那么，按此定义去计算4※2的话，就有：
4※2＝4÷2×2+3×4-2
＝2×2＋12－2
＝14。

二.定义新运算需要注意的几个问题
按照新定义的运算求某个算式的结果，关键是要正确理解这种新运算的意义，如上面举例中的运算符号「※」所表示的运算
并不是一种固定的算法，而是因题而异，不同的题目有不同的规定，我们应当严格按不同的规定进行运算。

需要注意的是：
（1）有括号时，应当先算括号里的；
（2）新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用这些运算定律来解题。

（3）上面例举中所定义的运算使用了符号「※」来定义，但并不是说只有「※」才是规定运算的符号，可能用△，＃，…等符号。

符号的种类是次要的，符号所定义的运算按照怎样的程序来进行才是主要的。

三．典型例题
例1设a，b表示整数(包括0)，规定「*」的运算为
a*b＝a÷b×2+3×a-b，
计算：169*13。

分析与解答
动手算之前，先让我们弄清「*」是怎么一种运算程序，按规定，a*b的值是用a除以b，把商数乘2之后，再加上a的3倍，最后减去b，这些运算有两个特点：
(1)各步运算都是大家熟悉的四则运算；
(2)各步运算的先后次序要按规定的顺序办。

那么，根据「*」的规定，我们可以计算得到：
169*13＝169÷13×2+3×169-13＝520。

例2A、B是两个自然数，我们规定：A△B表示一种新的运算，它是以A开头的连续B个自然数的和，如：2△3=2+3+4。

求（4△5）△3。

解:（4△5）△3
=（4+5＋6+7+8）△3
=30△3
=30+31+32=93
例3定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），
①求5※7，7※5；
②求12※（3※4），（12※3）※4；
③这个运算“※”有交换律、结合律吗？
④如果3※（5※x）＝3，求x.
解：
①5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，
7※5＝7×5－（7＋5）＝35-12＝23.
②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以12※（3※4）＝43.
对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次
21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；
b※a＝b×a－（b＋a）
＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）
所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.
由②的例子可知，运算“※”没有结合律.
④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；
3※（5※x）＝3※（4x－5）
＝3（4x－5）－（3＋4x－5）
＝12x－15－（4x－2）
＝8x－13
那么8x－13＝3
解出x＝2.
例4规定数A！B=4×A＋2×B；A～B=2×A＋4×B。

试算：（3～4－3！4）～2！4。

解：(3～4-3!4)～2！4=[(2×3＋4×4)-(4×3＋2×4)]～2!4 =2～2！4
=（2×2＋4×2）！4
=12！4
=4×12＋2×4
=56。

例5规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。

计算下式：[（2&9）◎5]×[4◎（8&6）]。

解：[（2&9）◎5]×[4◎（8&6）]=[9◎5]×[4◎8]
=5×4
=20。

例6.规定a▲b=a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+……+(a+b-1)，其中a、b表示自然数。

（1）求1▲100的值；
（2）已知x▲10，求x。

分析与解答：
观察新定义的运算，可知a▲表示首项是a，末项是（a+b-1）的连续自然数之和，项数是b。

所以，
（1）1▲10=1+2+3+……+（1+100-1）
=1+2+3+……+100
=（1+100）×100÷2
=5050
（2）x▲10=75
即x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+……+(x+9)=75
10x+45=75
10x=30
X=3。

四、练习题
1．定义A▽B=2A—B/2，计算2▽5和5▽2的值。

2．定义A※B=A²+B²-AB，计算
（1）（4※3）+（8※5）的值；
（2）（2※3）※4的值；
（3）（2※5）※（3※4）的值。

3．定义A△B=A×B+A+B；A▽B=A×B-A-B。

计算（3△5）▽（4△5）
4．规定：AжB=A×B-（A-B），若2жX=1，求X。

5．我们规定，当A≥B时，A△B=A×2+B，A≤时，A△B=A+B×2。

试求：
（1）2△8；
（2）8△5；
（3）求X△2=11中的X。

6．如果A△B表示(A-2)×B,例如3△4=(3-2)×4=4,那么当(A△2)△3=12时,A=( )。

7．在两个数之间写上一个▽，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例如：13▽5=3，6▽2=0．试计算：（2000▽49）▽9．
8．设a☆b=a×b+a－b，求5☆8。

9．对于两个数A、B，A○B表示A＋B－1（1）计算（7○8）○6（2）已知（5○X）○X=84，求X。

10．对于两个数X、Y，X※Y表示Y×A－X×2，并且已知
82※65=31，计算（1）29※57（2）38※（14※23）
11．对于两个数A、B，A#B表示A除以B的商与余数的和。

例如4#3=2，2#3=2。

计算（1）1999#6；（2）（188#3）#8
12若3□4=3＋4＋5＋6=18，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。

（1）计算1995□5；（2）若95□X=585，求X；（3）若X□3=5973，求X。

13．按下列规则：1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，…（1）计算6！=？（2）如果X！=5040，求X。

14．已知：1□6=1×2×3×4×5×6，6□5=6×7×8×9×10，按此规定，计算（3□4）÷（9□2）
15．若“＋、－、×、÷、（）”的意义与通常相同，而式
（1）8×7=8，子中的数字却不是原来的数字，试问下面的4个算式，
（2）7×7×7=6，（3）（7＋8＋3）×9=39，（4）3×3=3。

应该是我们通常的哪4个算式？
16．规定一种运算符号“※”：对于任意两个不相等的自然
数a、b，较大的数除以较小的数，余数记为a※b,那么，8※（23※145）是多少？
17．规定A*B=4×A＋3×B＋1，问：（1）5*7和7*5的值相
等吗？（2）对于两个自然数A和B，若A*B=B*A，那么A和B有
什么关系？（3）运算“*”有交换律吗？
18．A*B=3×A＋2×B，若8*（X*2）=50，求X的值。

19．M、N表示自然数，设S M、S N分别表示M、N的各位数字之和，M＃N表示M除以N所得的余数，已知M、N之和是7043。

求（S M＋S N）＃9的值。

20．狼和羊在一起时，狼要吃掉羊。

所以关于狼和羊，我们
规定一种运算，用符号◇表示：狼◇狼=狼；狼◇羊=狼；羊◇狼=狼；羊◇羊=羊。

以下运算的意思是：狼和狼在一起还是狼，羊和羊在一起时还是羊，但狼和羊在一起时就只剩下狼了。

现在我们
规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；狼☆羊=羊；狼☆
狼=狼；羊☆狼=羊这个运算的意思是：羊和羊在一起还是羊，狼
和狼在一起时还是狼，但由于狼和羊在一起时，狼会被赶走而只
剩下羊了。

请你计算下面式子的结果：羊◇（狼☆羊）☆羊◇（狼◇狼）。

21．红光可乐厂推出新一代的可乐产品，为打开市场，进行
一系列的促销活动。

他们将“△”和“☆”作为幸运符号。

当他
们和1----9这9个数字组合在一起时，便可获得相应的奖金。

例如：“4△5”可获得奖金10元；“3△7”可获得奖金11元；“3☆7”可获得奖金52元；“4☆5”可获得奖金29元。

某天，小乐乐买
了一瓶汽水，瓶盖中出现的图案是“9△9☆9”，问：小乐乐可获得奖金多少元？。