八年级数学上册全册全套试卷测试卷(解析版)

八年级数学上册全册全套试卷测试卷（解析版）
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使
△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②V7.5
Q
（厘米/秒）；（2）点P、Q
在AB边上相遇，即经过了80
3
秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．
【解析】
【分析】
（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得
△BPD≌△CQP；
②根据V P≠V Q，使△BPD与△CQP全等，所以CQ＝BD＝10，再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度；
（2）根据V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设运动x
秒，即可列出方程15
6220
2
x x，解方程即可得到结果.
【详解】
（1）①因为t＝1（秒），
所以BP＝CQ＝6（厘米）
∵AB＝20，D为AB中点，
∴BD＝10（厘米）
又∵PC＝BC﹣BP＝16﹣6＝10（厘米）∴PC＝BD
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD与△CQP中，
BP CQ B C PC BD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=
⎩
, ∴△BPD ≌△CQP （SAS ），
②因为V P ≠V Q ，
所以BP ≠CQ ，
又因为∠B ＝∠C ，
要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ，
故CQ ＝BD ＝10．
所以点P 、Q 的运动时间84663
BP
t （秒）， 此时107.54
3Q CQ V t （厘米/秒）．
（2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程
设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得
1562202x x ， 解得x=803
(秒) 此时P 运动了8061603
（厘米） 又因为△ABC 的周长为56厘米，160＝56×2+48， 所以点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了
803秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇． 【点睛】
此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.
2．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．
（1）求出AFC ∠的度数；
（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连
接FG．）
（3）如图2，在△ABC
∆中，如果ACB
∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;
（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA 证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；
（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出
∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．
【详解】
（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°
（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．
理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠DCF＝∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
CG CD
DCF GCF
CF CF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG
由（1）∠AFC＝120°得，
∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，
∴∠AFG＝60°，
又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，
∴∠AFE＝∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
AFE AFG
AF AF
EAF GAF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF＝GF，
∴DF＝EF；
（3）结论：AC＝AE+CD．
理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，
同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），
∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE
∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°
∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-
1
2
(∠BAC+∠BCA)=180°-
1
2
×120°=120°，
∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，
∴∠CFG＝∠CFD＝60°，
同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），
∴CD＝CG，
∴AC＝AG+CG＝AE+CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．
3．已知4
AB cm
=，3
AC BD cm
==.点P在AB上以1/
cm s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为()
t s．
（1）如图①，AC AB
⊥，BD AB
⊥，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当1
t=时，ACP
△与BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图②，将图①中的“AC AB
⊥，BD AB
⊥”为改“60
CAB DBA
∠=∠=︒”，
其他条件不变．设点Q的运动速度为/
xcm s，是否存在实数x，使得ACP
△与BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）全等，PC与PQ垂直；（2）存在，
1
1
t
x
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
3
2
t
x
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出
∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
【详解】
解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，
又∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
AP BQ
A B
AC BP
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
34t
t xt
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
解得
1
1
t
x
=
⎧
⎨
=
⎩
，
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
3
4
xt
t t
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得
2
3
2
t
x
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
综上所述，存在
1
1
t
x
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
3
2
t
x
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
使得△ACP与△BPQ全等．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．
4．操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△
BAD≌△CAE；
（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；
拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．
【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，
∴∠EAD＝∠CAB，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）解：如图1中，设AC交BE于O．∵∠ABC＝∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABO＝∠ECO，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠BAO＝70°，
即∠BEC＝70°．
（3）解：如图2中，
∵∠CAB＝∠EAD＝120°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，
同理可证∠BEC＝∠BAC＝120°，
∴∠FEC＝60°，
∵CF⊥EF，
∴∠F＝90°，
∴∠FCE＝30°，
∴EF＝1
2
EC＝2.
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．综合与实践：
我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等.
（1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.
如图，已知ABC ∆、111A B C ∆均为锐角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠. 求证：111ABC A B C ∆∆≌.
（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等.
【答案】（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形.
【解析】
【分析】
（1）过B 作BD ⊥AC 于D ，过B 1作B 1D 1⊥B 1C 1于D 1，得出
∠BDA=∠B 1D 1A 1=∠BDC=∠B 1D 1C 1=90°，根据SAS 证△BDC ≌△B 1D 1C 1，推出
BD=B 1D 1，根据HL 证Rt △BDA ≌Rt △B 1D 1A 1，推出∠A=∠A 1，根据AAS 推出
△ABC ≌△A 1B 1C 1即可．
（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL 即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证.
【详解】
（1）证明：过点B 作BD AC ⊥于D ，过1B 作1111B D A C ⊥于1D ，
则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=︒.
在BDC ∆和111B D C ∆中，
1C C ∠=∠，111BDC B D C ∠=∠，11BC B C =，
∴111BDC B D C ∆∆≌，
∴11BD B D =.
在Rt BDA ∆和111Rt B D A ∆中，
11AB A B =，11BD B D =，
∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ∆∆≌，
∴1A A ∠=∠.
在ABC ∆和111A B C ∆中，
1C C ∠=∠，1A A ∠=∠，11AB A B =，
∴111(AAS)ABC A B C ∆∆≌.
（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，
∵11AB A B =，11BC B C =，190C C ∠==∠︒.
∴Rt ABC ∆≌111Rt A B C ∆（HL ）；
∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；
如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD ⊥AC ，1111B D A C ⊥，
与（1）同理，利用AAS 先证明111BDC B D C ∆∆≌，得到11BD B D =，
再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ∆∆≌，得到1A A ∠=∠，
再利用AAS 证明111ABC A B C ∆∆≌；
∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等；
故答案为：钝角三角形或直角三角形.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.
二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）
6．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”.
理解：
（1）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，求A ∠的大小；
（2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD ，CE 是ABC ∆的“好好线”；
在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；
应用：
（3）在ABC ∆中，27B ∠=，AD 和DE 是ABC ∆的“好好线”，点D 在BC 边上，点
E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，请求出C ∠的度数.
【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42°
【解析】
【分析】
（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x ，表示出∠BDC 与∠C ，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出∠A 的度数．
（2）根据（1）的解题过程作出△ABC 的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；
（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA ，一边为BC ，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定D 点，再分别考虑AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A 、E 、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC ；根据图形易得∠C 的值；
【详解】
解：（1）∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠C ，
∵BD=BC=AD ，
∴∠A=∠ABD ，∠C=∠BDC ，
设∠A=∠ABD=x ，则∠BDC=2x ，∠C=°180-2
x 可得°180-22
x x = ∴x=36°
则∠A=36°；
（2）如图所示：
（3）如图所示：
①当AD=AE时，
∵2x+x=27°+27°，
∴x=18°；
②当AD=DE时，
∵27°+27°+2x+x=180°，
∴x=42°；
综上所述，∠C为18°或42°的角．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－3
4
∠C或∠ABC＝3∠C
或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．
【解析】
试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．
（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．
试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．
(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.
在△DBC中，
①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－1
2
x，∠A＝180°－x－y.
故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋1
2
x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，
即180°－x－y＝y－
1
90
2
x
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，
∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－3
4
∠C.
②若∠C是底角，
第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.
若AB ＝AD ，则2x ＝y －x ，此时有y ＝3x ，
∴∠ABC ＝3∠C.
若AB ＝BD ，则180°－x －y ＝2x ，此时有3x ＋y ＝180°，∴∠ABC ＝180°－3∠C.
若AD ＝BD ，则180°－x －y ＝y －x ，此时有y ＝90°，即∠ABC＝90°，∠C 为小于45°的任意锐角．
第二种情况：如图，
当BD ＝BC 时，∠BDC ＝x ，∠ADB ＝180°－x ＞90°，此时只能有AD ＝
BD ，∴∠A ＝∠ABD ＝12∠BDC ＝12
∠C ＜∠C ，这与题设∠C 是最小角矛盾． ∴当∠C 是底角时，BD ＝BC 不成立．
综上所述，∠ABC 与∠C 之间的关系是∠ABC＝135°－34
∠C 或∠ABC＝3∠C 或∠ABC＝180°－3∠C 或∠ABC＝90°，∠C 是小于45°的任意锐角．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．
8．知识背景：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.
问题：如图1，ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，以AD 为腰作等腰ADE ，且满足90DAE ∠=︒，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，试探究BC 与CF 之间的数量关系.
图1
发现：（1）BC 与CF 之间的数量关系为 .
探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点（除B 、C 外）时，其他条件不变，试猜想BC 与CF 之间的数量关系，并证明你的结论.
图2
拓展：（3）当点D 在线段BC 的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出BCF 的形状.
备用图
【答案】（1）BC CF =；（2）BC CF =，证明见解析；（3）画图见解析，等腰直角三角形.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质即可得BC CF =；
（2）由等腰直角三角形的性质可得()ABD ACE SAS ∴≌，再根据全等三角形的性质及等角对等边即可证明；
（3）作出图形，根据等腰三角形性质易证()ABD ACE SAS ∴≌，进而根据角度的代换，得出结论．
【详解】 解：（1）BC CF =.
∵△ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=︒，
AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.
90DAE ∠=︒，
DAE BAC ∴=∠∠，
DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，
BAD CAE ∴∠=∠.
ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，
AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，
()ABD ACE SAS ∴≌，
45ACE B ∴∠=∠=︒.
45ACB =︒∠，
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，
90B F ∴∠+∠=︒，
45F ∴∠=︒，
B F ∴∠=∠，
BC CF ∴=.
（2）BC CF =.
证明：ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=︒，
AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.
90DAE ∠=︒，
DAE BAC ∴=∠∠，
DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，
BAD CAE ∴∠=∠.
ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，
AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，
()ABD ACE SAS ∴≌，
45ACE B ∴∠=∠=︒.
45ACB =︒∠，
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，
90B F ∴∠+∠=︒，
45F ∴∠=︒，
B F ∴∠=∠，
BC CF ∴=.
（3）BCF 是等腰直角三角形.
提示：如图，
ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，
AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.
90DAE ∠=︒，
DAE BAC ∴=∠∠，
DAE DAC BAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，
BAD CAE ∴∠=∠.
ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，
AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，
()ABD ACE SAS ∴≌，
45ACE B ∴∠=∠=︒.
45ACB =︒∠，
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，
90B BFC ∴∠+∠=︒，
45BFC ∴∠=︒，
B BF
C ∴∠=∠，
BCF ∴是等腰三角形，
90BCF ∠=︒，
BCF ∴是等腰直角三角形.
【点睛】
本题考查等腰三角形及全等三角形的性质，熟练运用角度等量代换及等腰三角形的性质是解题的关键．
9．如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 为AC 边上一点，连接BD ，点E 为BD 上一点，连接CE ，CED ABD ∠=∠，过点A 作AG CE ⊥，垂足为G ，交ED 于点F ．
(1)求证：2FAD ABD ∠=∠；
(2)如图2，若AC CE =，点D 为AC 的中点，求证：AB AC =；
(3)在(2)的条件下，如图3，若3EF =，求线段DF 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的性质可得90ADB ABD ∠=︒-∠，90EFG CED ∠=︒-∠，然后根据三角形的内角和和已知条件即可推出结论；
（2）根据直角三角形的性质和已知条件可得AFD ADF ∠=∠，进而可得AF AD =，BFA CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明ABF ∆≌CED ∆，可得AB CE =，进一步即可证得结论；
（3）连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4．先根据已知条件、三角形的内角和定理和三角形的外角性质推出45AED ∠=︒，进而可得AE AH =，然后即可根据SAS 证明△ABE ≌△ACH ，进一步即可推出90CHD ∠=︒，过点A 作AK ED ⊥于K ，易证△AKD ≌△CHD ，可得DK DH =，然后即可根据等腰三角形的性质推得DF =2EF ，问题即得解决．
【详解】
（1）证明：如图1，90BAC ∠=︒，90ADB ABD ∴∠=︒-∠，
AG CE ⊥，90FGE ∴∠=︒，90EFG AFD CED ∴∠=∠=︒-∠，
180FAD AFD ADF CED ABD ∴∠=︒-∠-∠=∠+∠，
CED ABD ∠=∠，2FAD ABD ∴∠=∠；
（2）证明：如图2，90AFD CED ∠=︒-∠，90ADB ABD ∠=︒-∠，
CED ABD ∠=∠，
AFD ADF ∴∠=∠，AF AD ∴=，BFA CDE ∠=∠，
∵点D 为AC 的中点，∴AD=CD ，AF CD ∴=，
ABF ∴∆≌CED ∆（AAS ），AB CE ∴=，
CE AC =，AB AC ∴=；
（3）解：连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4． 90BAC ∠=︒，BAE CAH ∴∠=∠，
设ABD CED α∠=∠=，则2,902FAD ACG αα∠=∠=︒-，
CA CE =，45AEC EAC α∴∠=∠=︒+，
45AED ∴∠=︒，45AHE ∴∠=︒，AE AH ∴=，
AB AC =，∴△ABE ≌△ACH （SAS ），
135AEB AHC ∴∠=∠=︒，90CHD ∴∠=︒，
过点A 作AK ED ⊥于K ，90AKD CHD ∴∠=∠=︒，
AD CD =，ADK CDH ∠=∠，
∴△AKD ≌△CHD （AAS ），DK DH ∴=，
∵,,AK DF AF AD AE AH ⊥==，
,FK DK EK HK ∴==，
3DH EF ∴==，6DF ∴=．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，考查的知识点多、综合性强、难度较大，正确添加辅助线、构造等腰直角三角形和全等三角形的模型、灵活应用上述知识是解题的关键．
10．探究题：如图，AB ⊥BC ，射线CM ⊥BC ，且BC ＝5cm ，AB ＝1cm ，点P 是线段BC （不与点B 、C 重合）上的动点，过点P 作DP ⊥AP 交射线CM 于点D ，连结AD ．
（1）如图1，若BP ＝4cm ，则CD ＝ ；
（2）如图2，若DP 平分∠ADC ，试猜测PB 和PC 的数量关系，并说明理由；
（3）若△PDC 是等腰三角形，则CD ＝ cm ．（请直接写出答案）
【答案】（1）4cm ；（2）PB ＝PC ，理由见解析；（3）4
【解析】
【分析】
（1）根据AAS 定理证明△ABP ≌△PCD ，可得BP ＝CD ；
（2）延长线段AP 、DC 交于点E ，分别证明△DPA ≌△DPE 、△APB ≌△EPC ，根据全等三角形的性质解答；
（3）根据等腰直角三角形的性质计算．
【详解】
解：（1）∵BC ＝5cm ，BP ＝4cm ，
∴PC ＝1cm ，
∴AB ＝PC ，
∵DP ⊥AP ，
∴∠APD ＝90°，
∴∠APB +∠CPD ＝90°，
∵∠APB +∠CPD ＝90°，∠APB +∠BAP ＝90°，
∴∠BAP ＝∠CPD ，
在△ABP 和△PCD 中，
B C BAP CPD AB PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABP ≌△PCD ，
∴BP ＝CD ＝4cm ；
（2）PB ＝PC ，
理由：如图2，延长线段AP 、DC 交于点E ，
∵DP 平分∠ADC ，
∴∠ADP ＝∠EDP ．
∵DP ⊥AP ，
∴∠DPA ＝∠DPE ＝90°，
在△DPA 和△DPE 中，
ADP EDP DP DP
DPA DPE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△DPA ≌△DPE （ASA ），
∴PA ＝PE ．
∵AB ⊥BP ，CM ⊥CP ，
∴∠ABP ＝∠ECP ＝Rt ∠．
在△APB 和△EPC 中，
ABP ECP APB EPC PA PE ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩
，
∴△APB ≌△EPC （AAS ），
∴PB ＝PC ；
（3）∵△PDC 是等腰三角形，
∴△PCD 为等腰直角三角形，即∠DPC ＝45°，
又∵DP ⊥AP ，
∴∠APB ＝45°，
∴BP ＝AB ＝1cm ，
∴PC ＝BC ﹣BP ＝4cm ，
∴CD ＝CP ＝4cm ，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了三角形的全等的证明、全等三角形的性质以及等腰三角形的性质.做出辅助线证明三角形全等是本题的关键.
三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
11．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式
分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式：22
()()a b a b a b -=+-和完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接能运用完全平方公式分解因式时，可应用下
面方法分解因式，先将多项式2ax bx c ++(0)a ≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：21124x x ++
22
21111112422x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2
112524x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭ 1151152222x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭ (8)(3)x x =++．
根据以上材料，完成相应的任务：
（1）利用“多项式的配方法”将268x x -+化成2()a x m n ++的形式为_______； （2）请你利用上述方法因式分解：
①223x x +-； ②24127x x +-．
【答案】（1）2(3)1x --；（2）①(3)(1)x x +-；②(27)(21)x x +-
【解析】
【分析】
（1）将多项式2233+-即可完成配方；
（2）①将多项式+1-1后即可用配方法再根据平方差公式分解因式进行解答；
②将多项式2233+-即可完成配方，再根据平方差公式分解因式，整理后即可得到结果.
【详解】
解：（1）268x x -+=2226338x x -+-+=2(3)1x --，
故答案为：2(3)1x --；
（2）①223x x +-
22113x x =++--
2(1)4x =+-
(12)(12)x x =+++-
(3)(1)x x =+-．
②24127x x +-
222(2)12337x x =++--
2(23)16x =+-
(234)(234)x x =+++-
(27)(21)x x =+-．
【点睛】
此题考查多项式的配方法，多项式的分解因式，正确理解题中的配方法的解题方法是关键.
12．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到()()22
322a ab b a b a b ++=++．请回答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式是 ；
（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的
面积，你能发现什么?(用含有x ，
y 的式子表示) ； （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．
【答案】（1）22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++；（2）22()()4x y x y xy +=-+；
（3）大 小
【解析】
【分析】
（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b ，宽为a+2b 的矩形面积求出，也可以由两个边长为a 与边长为b 的两正方形，及4个长为a ，宽为b 的矩形面积之和求出，表示即可； （2）阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为x-y 的小正方形面积求出，也可以由4个长为x ，宽为y 的矩形面积之和求出，表示出即可；
（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式224()()xy x y x y =+--，得到被减数
一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小；
【详解】
（1）看图可知，22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++
（2）22()()4x y x y xy +=-+
（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小.
【点睛】
本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
13．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片边长为a 的正方形，B 中纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为a 、宽为b 的长方形．并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：s =____________________；方法2：s =________________________； （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：()2
22,,a b a b ab ++之间的等量关系． _______________________________________________________；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：225,11a b a b +=+=，求ab 的值；
②已知()()22202020195a a -+-=，则()()20202019a a --的值是____． 【答案】（1）()2a b +，222a ab b ++；（2）()2
222a b a ab b +=++；（3）①7ab =，②2-
【解析】
【分析】
（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；
（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；
（3）①依据a+b=5，可得（a+b ）2=25，进而得出a 2+b 2+2ab=25，再根据a 2+b 2=11，即可得到ab=7；②设2020-a=x ，a-2019=y ，即可得到x+y=1，x 2+y 2=5，依据（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，即可得出xy=
()222()2
x y x y +-+=2-，进而得到()()20202019a a --=2-． 【详解】 解：（1）图2大正方形的面积=()2a b +，图2大正方形的面积=222a ab b ++
故答案为：()2a b +，222a ab b ++；
（2）由题可得()2a b +，22a b +，ab 之间的等量关系为：()2222a b a ab b +=++故答案为：()2222a b a ab b +=++；
（3）①()()2222a b a b ab +-+=
2251114ab ∴=-=
7ab ∴=
②设2020-a=x ，a-2019=y ，则x+y=1，
∵()()22
202020195a a -+-=，
∴x 2+y 2=5，
∵（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，
∴xy=()222()2
x y x y +-+=-2， 即()()202020192a a --=-．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”．
（1）直接写出：最小的“和平数”是 ，最大的“和平数”是 ；
（2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．
例如：1423与4132为一组“相关和平数”
求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．
（3）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；
【答案】（1）1001，9999；（2）见详解；（3）2754和4848
【解析】
【分析】
（1）根据和平数的定义，即可得到结论；
（2）设任意的两个“相关和平数”为abcd ，badc （a ，b ，c ，d 分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到abcd badc +=1100（a+b ）+11（c+d ）=1111（a+b ），即可得到结论．
（3）设这个“和平数”为abcd ，于是得到d=2a ，a+b=c+d ，b+c=12k ，求得2c+a=12k ，
即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去）；①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k ，得到c=5则b=7；②、当a=4，d=8时，得到c=4则b=8，于是得到结论；
【详解】
解：（1）由题意得，最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，
故答案为：1001，9999；
（2）设任意的两个“相关和平数”为abcd ，badc （a ，b ，c ，d 分别取0，1，2，…，9且a ≠0，b ≠0），则
abcd badc +=1100（a+b ）+11（c+d ）=1111（a+b ）；
即两个“相关和平数”之和是1111的倍数．
（3）设这个“和平数”为abcd ，则d=2a ，a+b=c+d ，b+c=12k ，
∴2c+a=12k ，
即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），
①当a=2，d=4时，2（c+1）=12k ，
可知c+1=6k 且a+b=c+d ，
∴c=5则b=7，
②当a=4，d=8时，
2（c+2）=12k ，
可知c+2=6k 且a+b=c+d ，
∴c=4则b=8，
综上所述，这个数为：2754和4848．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念和平数”是解题的关键．
15．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2=﹣1，这个数i 叫做虚数单位．那么形如a+bi （a ，b 为实数）的数就叫做复数，a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i ）+（3﹣4i ）=5﹣3i ．
（1）填空：i 3= ，2i 4= ；
（2）计算：①（2+i ）（2﹣i ）；
②（2+i ）2；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+3y ）+3i=（1﹣x ）﹣yi ，（x ，y 为实数），求x ，y 的值．
（4）试一试：请你参照i 2=﹣1这一知识点，将m 2+25（m 为实数）因式分解成两个复数的积．
【答案】（1）i ；2（2）①5②3+4i （3）x=5，y=﹣3（4）m 2+25=（m+5i ）（m ﹣5i ）
【解析】
【分析】
（1）根据同底数幂的乘法法则及2i 的概念直接运算；
（2）利用平方差、完全平方公式把原式展开，根据21i =-计算即可；
（3）根据虚数定义得出方程组，解方程组即可；
（4）根据21i =- 将25转化为2（-5）
i ，再利用平方差公式进行因式分解即可。

【详解】
（1）∵21i ﹣=，
32422•1222112i i i ﹣i ﹣i ，
i i i （﹣）（﹣），
∴====== 故答案是：i ；2；
（2）①2224145（i ）（﹣i ）﹣i +
=+=+= ； ②2224414434（i ）i i ﹣i i +=++=++=+ ；
（3）∵
331（x y ）i （﹣x ）﹣yi ++= ， 31353x y ﹣x ，﹣y ，x ，y ﹣；
∴+==∴== （4）22555m （m i ）（m ﹣i ）
+=+ ． 【点睛】
本题考查新型定义题型与有理数的混合运算、实数运算、因式分解，解题的关键是读懂题意。

四、八年级数学分式解答题压轴题（难）
16．某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．
据上述条件解决下列问题：
①规定期限是多少天？写出解答过程；
②在不耽误工期的情况下，你觉得那一种施工方案最节省工程款?
【答案】规定期限20天；方案（3）最节省
【解析】
【分析】
设这项工程的工期是x 天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．
【详解】
解：设规定期限x 天完成，则有：
415
x x x +=+， 解得x=20．
经检验得出x=20是原方程的解；
答：规定期限20天．
方案（1）：20×1.5=30（万元）
方案（2）：25×1.1=27.5（万元），
方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）．
所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
所以方案（3）最节省．
点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
17．“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽新能源
EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为 300 元，而续航里程之比则为 1∶4．经计算新能源汽车相比燃油车节约 0.6 元/公里．
（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；
（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受 0.48 元/度的优惠专用电费．以新能源 EV500 为例，充电 55 度可续航 400 公里，试计算每公里所需电费，并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比．
【答案】（1）燃油车0.8；新能源汽车0.2；（2）8.25%
【解析】
【分析】
（1）设新能源汽车续航单价为x元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，根据等量关系式：新能源汽车续航里程：燃油车续航里程=4∶1，列出方程，解之即可.
（2）根据总价=单价×数量可得新能源汽车400公里所需费用，再用此费用÷总公里数即可得新能源汽车每公里所需电电费；由（1）知燃油汽车每公里费用，用此费用乘以总公里数可得燃油汽车总费用，再用新能源汽车的总费用÷燃油车相同里程下的所需费用即可得答案.【详解】
解：（1）设新能源汽车续航单价为x元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，依题可得：
300 x ：
3000.6
x
=4：1，
解得：x=0.2，
∴燃油车续航单价为：x+0.6=0.2+0.6=0.8（元/公里），
答：新能源汽车续航单价为0.2元/公里，燃油车续航单价为0.8元/公里.（2）依题可得新能源汽车400公里所需费用为：
0.48×55=26.4（元），
∴新能源汽车每公里所需电电费为：
26.4÷400=0.066（元/公里），
依题可得燃油汽车400公里所需费用为：
400×0.8=320（元），
∴新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为：26.4÷320=0.0825=8.25%.。