解析外标两点对数方程计算
仪器分析作业题外标法内标法
一、外标一点法【含量测定】芍药苷 照高效液相色谱法（附录Ⅵ D)测定。
色谱条件与系统适用性试验 以十八烷基硅烷键合硅胶为填充剂；以甲醇／L 磷酸二氢钾溶液(40：65)为流动相；检测波长为230nm 。
理论板数按芍药苷峰计算应不低于3000。
对照品溶液的制备 取经五氧化二磷减压干燥器中干燥36小时的芍药苷对照品适量，精密称定，加甲醇制成每1ml 含的溶液，即得。
供试品溶液的制备 取本品粗粉约，精密称定，置具塞锥形瓶中，精密加入甲醇25ml ，称定重量，浸泡4小时，超声处理20分钟，放冷，再称定重量，用甲醇补足减失的重量，摇匀，滤过，取续滤液，即得。
测定法 分别精密吸取对照品溶液与供试品溶液各10μl，注入液相色谱仪，测定，即得。
本品含芍药苷(C 23H 28O 11)不得少于％。
解：设测得对照品溶液和供试品溶液峰面积为A 对=550000 A 样=7800已知对照品溶液浓度C 对=mlml /mg 0071.0ml /mg 5.05500007800)(===）（对对样样C A A Cm g 5.177l101000m l 25l 10m l /m g 0071.0V C m =⨯⨯⨯==μμ样样样供试品中芍药苷的含量X%=%5.35%1001000g 5.0m g5.177=⨯⨯ 药典规定药材含芍药苷(C 23H 28O 11)不得少于％，供试品中芍药苷的含量为%，故供试品药材合格。
二、外标两点法【含量测定】 黄芪甲苷 照高效液相色谱法（附录Ⅵ D）测定。
色谱条件与系统适用性试验 以十八烷基硅烷键合硅胶为填充剂；以乙腈-水(32：68)为流动相；蒸发光散射检测器检测。
理论板数按黄芪甲苷峰计算应不低于4000。
对照品溶液的制备 取黄芪甲苷对照品适量，精密称定，加甲醇制成每1ml 含的溶液，即得。
供试品溶液的制备 取本品中粉约4g ，精密称定，置索氏提取器中，加甲醇40ml ，冷浸过夜，再加甲醇适量，加热回流4小时，提取液回收溶剂并浓缩至干，残渣加水10ml ，微热使溶解，用水饱和的正丁醇振摇提取4次，每次40ml ，合并正丁醇液，用氨试液充分洗涤2次，每次40ml ，弃去氨液，正丁醇液蒸干，残渣加水5ml 使溶解，放冷，通过D101型大孔吸附树脂柱(内径为，柱高为12cm)，以水50ml 洗脱，弃去水液，再用40％乙醇30ml 洗脱，弃去洗脱液，继用70％乙醇80ml 洗脱，收集洗脱液，蒸干，残渣加甲醇溶解，转移至5ml 量瓶中，加甲醇至刻度，摇匀，即得。
(外标两点法对数方程)桔梗含量为例
如有需要表格计算：联系QQ1174347749. 对照计算a与b公式：Log(A)=a*Log(V*C)+b，即Y=aX+b ；有的也表示Log(A)=a*Log(C)+b，其中实际C为（进样体积V与对照浓度C的积）。 样品计算（c样）公式：Log（c样*V）=（Log(A样)-b）/a ，V为样品进样体积。 C含量%=c样*样品总体积/称样量/（1-水分）*100 ，单位换算与水分应按具体实验要求决定。
进样（微升） 进样V1 进样V2 5 10
峰面积A 911213 2981235 峰面积A 1032117 1072612
对照品溶液 C:ug/uL Log(A)为Y 0.5003 5.959619907 6.474396211
Log(V*C)为X 0.699230503
a
b
0.398200507 1.71005 5.278677
Log(峰面积)与进样量的总质量浓度对数 Log(进样体积乘对照浓度)的线性
关系，（进样量的总质量浓度指主成分质量，常以ug为单位）。
称样量：g 样① 2.0032 样② 2.0079
供试品溶液 C样:ug/uL 稀释倍数（总体积mL） 进样V（微升） 0.269055757 10 10 0.27517952 10 10
水分 0.122
C含量% 0.152976 0.156092
POWER(number,power):返回给定数字的乘幂。 Number:底数，可以为任意实数。 Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱwer:指数，底数按该指数次幂乘方。 LOG(number,base):按所指定的底数，返回一个数的对数。 Number:为用于计算对数的正实数。 Base:为对数的底数。如果省略底数，一般通常假定其值为10。外标两点法对数方程是以底数为10的对数来计算。 区别 LN(number):返回一个数的自然对数。自然对数以常数项 e (2.71828182845904) 为底。 Number:是用于计算其自然对数的正实数。 外标两点法对数方程:通常指峰面积的对数
外标两点法对数方程
外标两点法对数方程是在应用高效液相色谱-蒸发光散射检测器（HPLC-ELSD）进行药物分析时的含量计算方法。
我们用蒸发光散射检测器时，由于散射光的信号为非线性的，根据ELSD的工作原理，进样质量（ug）和ELSD检测响应值（峰面积A）一般不呈现良好的线性。
因为信号相应值与物质质量的对数呈线性关系，如果对进样质量和峰面积分别取常用对数后，两者呈现良好的线性关系，但是它是一条不经过原点的直线，所以在含量测定时必须使用外标两点法，通常称作外标两点法对数方程。
进两个不同量的对照品（ul）, 将进样质量（ug）和对应的峰面积（A）取对数后，由两点确定方程，方法是将两组数值代入对数方程：lgA=KlgC+b，即可求出式中的K和b。
公式为：lgA=KlgC+b，
A：峰面积
K：为公式中参量
C：进样质量（ug）
b：为公式中参量
计算时将样品峰面积（A）代入方程lgA=KlgC+b，计算出IgC后，再取反对数就可以计算出C了。
高三数学 第一轮复习 06：对数、对数方程
高中数学第一轮复习06对数、对数方程·知识梳理·模块01：对数1、对数的定义：在0a >，1a ≠，且0N >的条件下，唯一满足x a N =的数x ，称为N 以a 为底的对数（logarithm），并用符号log a N 表示，而N 称为真数。
注意：对数的底是不等于1的正数。
负数和零没有对数。
2、指数式与对数式的关系：log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。
由对数定义可知：log 1a a =(0,1)a a >≠。
3、对数恒等式：log a N a N =(0,01N a a >>≠且)。
4、对数的运算性质：对数性质1：当0,0M N >>成立，则log ()log log a a a MN M N =+。
对数性质2：当0,0M N >>成立，则log log log aa a MM N N=-。
对数性质3：当0N >，对任何给定得实数c 成立，则log log c a a N c N =。
特别的：log c a a c =公式拓展：b nmb a m a n log log =5、换底公式及衍生性质：换底公式：log log log m a m N N a=(0a >且1a ≠,0m >,1m ≠,0N >)换底公式推论：(1)ab b a log 1log =;(2)log log log a b a b c c ⋅=。
6、两种特殊的对数：①通常将以10为底的对数叫做常用对数。
N 的常用对数记作lg N 。
②另外在科学技术中，常使用无理数 2.71828e = 为底的对数，以e 为底的对数叫做自然对数，记为ln N 。
模块02：对数方程1、基本概念：在指数中含有未知数的方程叫指数方程。
2、解指数方程的基本思想：化同底或换元。
外标两点法
外标两点法对数方程是在应用高效液相色谱-蒸发光散射检测器（HPLC-ELS D）进行药物分析时的含量计算方法。
大家都知道在用高效液相色谱-蒸发光散射检测器（HPLC-ELSD）的定量用外标两点法对数方程，并且药典也要求如此！比如银杏叶、知母、黄芪、人参、署预、（中药含有皂苷的），化药也有一些。
但对数方程的列法却各不相同，有很多人是3楼的列法：峰面积和进样量同时去对数。
但就药典的文字理解：“对数方程”是指在方程里有一个对数，而同时取对数列出来的方程叫双对数方程。
根据最小二乘法应该是进样量(ug)与峰面积的对数的线性方程。
我们用蒸发光散射检测器时，由于散射光的信号为非线性的，根据ELSd的工作原理，进样质量和ELSD检测响应值（峰面积）一般不呈现良好的线性。
因为信号相应值与物质质量的对数呈线性关系，如果对进样质量和峰面积分别取常用对数后，两者呈现良好的线性关系，但是它是一条不经过原点的直线，所以在含量测定时必须使用外标两点法，通常称作外标两点法对数方程，在中国药典20 00版2002增补本以及2005版、2010版中，凡采用HPLC-ELSD方法进行含量测定时，均有“采用外标两点法对数方程计算含量”一句。
进两个不同浓度的对照品, 将进样量和对应的峰面积取对数后，由两点确定方程，方法是将两组数值代入直线方程：y=Kx+b，即可求出式中的K和b。
再将求出的K和b代入公式：InA=KInC+b ，即可求出对数方程。
公式为：InA=KInC+bA：峰面积K：为公式y=Kx+b中的KC：进样量b：为公式y=Kx+b中的b计算时将样品峰面积（A）代入方程InA=KInC+b，计算出InC后，再取反对数就可以计算出C了．再电子表格计算较为方便．在Excel中进行直线回归，可得出该方程，最后求出带入计算，就OK了！解析外标两点对数方程计算黄芪药材含量方法：照高效液相色谱法，ODS柱，以乙腈-水（32：68）为流动相，流速1ml/min，经蒸发光检测器检测，用外标两点对数方程计算黄芪药材中黄芪甲苷的含量。
外标两点法对数方程
外标两点法对数方程是在应用高效液相色谱-蒸发光散射检测器（HPLC-ELSD）进行药物分析时的含量计算方法。
大家都知道在用高效液相色谱-蒸发光散射检测器（HPLC-ELSD）的定量用外标两点法对数方程，并且药典也要求如此！比如银杏叶、知母、黄芪、人参、署预、（中药含有皂苷的），化药也有一些。
但对数方程的列法却各不相同，有很多人是3楼的列法：峰面积和进样量同时去对数。
但就药典的文字理解：“对数方程”是指在方程里有一个对数，而同时取对数列出来的方程叫双对数方程。
根据最小二乘法应该是进样量(ug)与峰面积的对数的线性方程。
我们用蒸发光散射检测器时，由于散射光的信号为非线性的，根据ELSd的工作原理，进样质量和ELSD检测响应值（峰面积）一般不呈现良好的线性。
因为信号相应值与物质质量的对数呈线性关系，如果对进样质量和峰面积分别取常用对数后，两者呈现良好的线性关系，但是它是一条不经过原点的直线，所以在含量测定时必须使用外标两点法，通常称作外标两点法对数方程，在中国药典2000版2002增补本以及2005版、2010版中，凡采用HPLC-ELSD方法进行含量测定时，均有“采用外标两点法对数方程计算含量”一句。
进两个不同浓度的对照品, 将进样量和对应的峰面积取对数后，由两点确定方程，方法是将两组数值代入直线方程：y=Kx+b，即可求出式中的K和b。
再将求出的K和b代入公式：InA=KInC+b ，即可求出对数方程。
公式为：InA=KInC+bA：峰面积K：为公式y=Kx+b中的KC：进样量b：为公式y=Kx+b中的b计算时将样品峰面积（A）代入方程InA=KInC+b，计算出InC后，再取反对数就可以计算出C了．再电子表格计算较为方便．在Excel中进行直线回归，可得出该方程，最后求出带入计算，就OK了！。
外标两点法对数方程
外标两点法对数方程
假设我们要解决如下的对数方程：loga(x) = b
其中，a为对数的底数，x为未知数，b为已知数。
步骤1：选取两个点。
在解对数方程时，我们需要选择两个点来代入
方程。
为了简化计算，我们可以选择x的两个不同取值，然后计算出对应
的y值。
这两个点可以是任意两个我们能方便计算的值。
步骤2：计算两个点的对数值。
根据给定的对数方程，对于选取的两
个点，我们计算出对应的对数值。
即计算loga(x1)和loga(x2)的值。
步骤3：计算斜率。
计算出选择的两个点在对数坐标系中的坐标后，
我们可以计算出这两个点连线的斜率。
斜率等于y2-y1除以x2-x1步骤4：计算截距。
外标两点法的关键点在于计算截距。
由于对数函
数在x轴上有一点对称性，我们可以选择其中一个点作为对称中心。
然后，利用已知点和斜率，我们可以计算出对数函数的截距。
截距可以表示为b = loga(P) - 斜率 * Q，其中P为对称中心的坐标，Q为已知点的坐标。
步骤5：计算未知数的值。
根据计算出的斜率和截距，我们可以利用
对数函数的性质，通过解方程loga(x) = b来计算未知变量x的值。
通过上述步骤，我们可以使用外标两点法解决对数方程。
需要注意的是，该方法需要选取合适的两个点来计算，否则会影响结果的准确性。
另外，当方程没有解或者有多个解时，该方法可能不能得到有效的结果。
在
这种情况下，需要考虑其他的解法或者调整选取的点。
外标两点法对数方程
外标两点法对数方程简介外标两点法是求解对数方程的常用方法之一。
对数方程是一类形如log(x) = f(x)的方程，其中log(x)表示以常数为底的对数函数，f(x)表示一个与x有关的函数。
通过外标两点法，我们可以在对数方程的图像上选择两个已知的点，利用这两个点的坐标信息来估计方程的解。
理论基础外标两点法基于对数函数在指数尺度上的特性。
对数函数在指数尺度上呈现出较为线性的趋势，因此可以通过在对数方程的图像上选择两个点，利用线性拟合的方法来估计方程的解。
具体来说，我们可以在对数方程的图像上选择两个横坐标分别为x1和x2的点，然后计算这两个点纵坐标的差值，再通过差值除以横坐标的差值，得到一个近似的斜率。
最后，我们可以通过这个斜率来估计方程的解。
求解步骤外标两点法的求解步骤如下： 1. 选择两个横坐标不同的点，记为(x1, y1)和(x2, y2)，其中y1和y2为这两个点的纵坐标值。
2. 计算纵坐标的差值，记为delta_y = y2 - y1。
3. 计算横坐标的差值，记为delta_x = x2 - x1。
4. 计算斜率，记为k = delta_y / delta_x。
5. 假设对数方程的解为x，带入对数方程得到对数方程的值，记为f(x)。
6. 根据斜率k和对数方程的值f(x)，得到近似解的估计值，记为x0 = (f(x) - y1) / k。
7. 根据x0的值，可以进一步优化近似解的估计值。
应用示例为了更好地理解外标两点法的应用，我们来看一个具体的示例。
考虑求解对数方程log(x) = x的解。
我们可以选择x1 = 1和x2 = 2作为两个横坐标不同的点，并计算它们对应的纵坐标值y1和y2。
根据对数函数的定义，我们可以得到y1 = log(1) = 0和y2 =log(2) ≈ 0.30。
接下来，计算纵坐标的差值delta_y = y2 - y1 ≈ 0.30 - 0 = 0.30，计算横坐标的差值delta_x = x2 - x1 = 2 - 1 = 1，得到斜率k = delta_y / delta_x ≈ 0.30 / 1 = 0.30。
外标对数法计算程序(ELSD)
对照品浓度mg/ml 0.424对照品进样体积ul 101010对照品进样质量ug 4
20
40
对照品进样质量的对数0.602059991
1.301029996
1.602059991
对照品峰面积(1)20010002000对照品峰面积(2)20010002000对照品峰面积平均值
20010002000对照品峰面积平均值的对数 2.3010299963
3.301029996
线性回归方程斜率1
线性回归方程截矩
1.698970004样品峰面积(1)2300样品峰面积(2)2300样品峰面积平均值
2300样品峰面积平均值的对数即Y值 3.361727836得出样品进样质量的对数即X为: 1.662757832
样品进样质量ug(即反对数)为：46样品进样体积ul 20样品浓度mg/ml
2.3样品定容体积（稀释倍数）5样品中待测组份的质量mg 11.5样品称样总质量mg 2000组份含量百分比
0.575
注意：方程中的X值代表质量对数，Y值代表峰面积对数，计算时只需要将红色的数据替换成
外标六点对数法
6810
101010
6080100
1.77815125 1.9030899872
300040005000
300040005000
300040005000
3.477121255 3.602059991 3.69897
替换成真实的数据即可。
对数函数的常见应用和实例
对数函数的常见应用和实例对数函数是高中数学中比较重要的一个部分，有很多的应用和实例。
在本文中，我们将讨论对数函数的一些常见应用和实例，并且深入探讨它们的背后的数学原理。
一、解方程对数函数是解方程的一个常用工具。
对于任何一个指数函数，将底数变为 e（自然对数的底数），就可以使用对数函数来解方程。
例如，我们想要解方程 $\mathrm{e}^{2x + 1} = 6$。
将两边取自然对数，得到 $\ln(\mathrm{e}^{2x + 1}) = \ln6$，由于$\ln(\mathrm{e}^{2x + 1}) = 2x + 1$，故可得 $2x + 1 = \ln6$，解得$x = \frac{\ln6-1}{2}$。
这样，我们就用对数函数解出了一个指数函数的方程。
二、复利计算对数函数在复利计算中也有广泛的应用。
复利是指在一定的时间内，按固定的比例计算利息，并将本金和利息加在一起。
假如一个投资方案的年复合收益率为 r，我们用数学公式表示，本金$p$ 存 n 年后，得到的总收益为 $p(1 + r)^{n}$。
这个式子中，指数函数 $(1 + r)^{n}$ 可以用对数函数来表示，即 $n = \log_{1 +r}\frac{S}{p}$，这里 $S$ 表示总收益。
当我们想要知道一个投资方案在多少时间内可以达到收益目标时，就可以用对数函数来求解。
三、信号传输对数函数在通信中也有重要的应用。
在信号传输中，通常利用分贝（dB）来表示功率或电压的比值。
分贝是一个对数单位，它的计算公式是：$L_{\mathrm{dB}} = 10\log\frac{P_{2}}{P_{1}}$，其中 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 分别表示两个功率或电压的值。
由于分贝是对数单位，因此可以使用对数函数来计算。
四、数据处理对数函数在数据处理中也常常被使用。
在数据处理领域中，有时候需要将数据归一化，即将不同区间的数据映射到同一区间，从而更好地进行比较和分析。
对数函数及其性质-对数的公式互化-详尽的讲解(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】2.1 对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝a x 的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log81这两个式子表达3是同一关系，因此，有关系式a x＝N⇔x＝log a N，从而得对数恒等式：a log a N＝N.(2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．(3)根据对数的定义，对数log a N(a>0，且a≠1)具有下列性质：①零和负数没有对数，即N>0；②1的对数为零，即log a1＝0；③底的对数等于1，即log a a＝1.2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(1)基本公式①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．②log a M N＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R )，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①必须注意M >0，N >0，例如log a [(－3)×(－4)]是存在的，但是log a (－3)与log a (－4)均不存在，故不能写成log a [(－3)×(－4)]＝log a (－3)＋log a (－4)．②防止出现以下错误：log a (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N ，log a M N ＝log a M log a N，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c N log c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以c 为底的对数，得x log c b＝log c N.所以x＝log c Nlog c b，即log bN＝log c Nlog c b.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N＝1log N b或log bN·log N b＝1 (N>0，且N≠1；b>0，且b≠1)；(2)log bn N m＝mn log b N(N>0；b>0，且b≠1；n≠0，m∈R) .题型一正确理解对数运算性质对于a>0且a≠1，下列说法中，正确的是( )①若M＝N，则log a M＝log a N；②若log a M＝log a N，则M＝N；③若log a M2＝log a N2，则M＝N；④若M＝N，则log a M2＝log a N2.A．①与③B．②与④C．②D．①、②、③、④解析在①中，当M＝N≤0时，log a M与log a N均无意义，因此log a M＝log a N不成立．在②中，当log a M＝log a N时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立．在③中，当log a M2＝log a N2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N.例如，M＝2，N＝－2时，也有log a M2＝log a N2，但M≠N.在④中，若M＝N＝0，则log a M2与log a N2均无意义，因此log a M2＝log a N2不成立．所以，只有②成立．答案 C点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．题型二对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53； (2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2； (3)log 52·log 79log 513·log 734. 分析 利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．解 (1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg 102·lg(2×10)＋(lg2)2 ＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3. (3)∵log 52·log 79log 513·log 734＝12log 52·2log 73－log 53·13log 74＝－lg2lg5·lg3lg7lg3lg5·13·lg4lg7＝－32. 点评 对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．题型三 对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．分析 由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值． 解 方法一 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13. 方法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13lg53lg2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3lg2lg5＝13. 点评 方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，求实数x 的值．错解 由对数的性质可得x 2＋3x ＝x ＋3.解得x ＝1或x ＝－3.错因分析 对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．正解 由对数的性质知⎩⎨⎧ x 2＋3x ＝x ＋3，x 2＋3x >0，x ＋3>0且x ＋3≠1.解得x ＝1，故实数x 的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(上海高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________． 解析 ∵9x －6·3x －7＝0，即32x －6·3x －7＝0∴(3x －7)(3x ＋1)＝0∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去)∴x ＝log 37.答案 log 372．(辽宁高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝____. 解析 g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝ln 12<0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln 12＝eln 12＝12， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝12. 答案 121．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，7)B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7) D．(3，＋∞)答案 C解析 由题意得⎩⎨⎧ a －3>0，a －3≠1，7－a >0，解得3<a <7且a ≠4.2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1答案 A解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2.3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )A ．1B ．lg5 C.1lg5D ．1＋lg2 答案 C解析 原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝1lg5. 4．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1 D ．(1，＋∞)答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，2a >1，∵a >0，a ≠1，log a (a 2＋1)<log a 2a ，∴0<a <1.∴12<a <1. 5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )A ．4 B.14 C ．3 D.13答案 D6．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( )A ．lg7·lg5 B．lg35 C ．35 D.135答案 D解析 ∵lg α＋lg β＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg 35∴α·β＝135.7．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝________. 答案2解析 令log 2x ＝12，则212＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝212＝ 2.8．log (2－1)(2＋1)＝________.答案 －1 解析 log2－1(2＋1)＝log2－1(2＋1)(2－1)2－1＝log (2－1)12－1＝－1.9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________.答案 0.06解析 ∵lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，而0.301 0＋0.477 1＝0.778 1，∴lg x ＝－2＋lg2＋lg3， 即lg x ＝lg10－2＋lg6.∴lg x ＝lg(6×10－2)，即x ＝6×10－2＝0.06.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2y的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365. 解 (1)lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ，又∵⎩⎨⎧x >0，y >0，x －2y >0，∴x >2y >0，∴x ＝y ，应舍去，取x ＝4y .则log 2x y ＝log 24y y ＝log 24＝lg4lg 2＝4.(2)∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ， ∴log 365＝log 185lg 1836＝blog 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b2－a.11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x＝b y＝c z，1x ＋1y＋1z＝0，求abc的值．解令a x＝b y＝c z＝t (t>0且t≠1)，则有1x＝log t a，1y＝log t b，1z＝log t c，又1x＋1y＋1z＝0，∴log t abc＝0，∴abc＝1.12．已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的方程x2－2x ＋lg(c2－b2)－2lg a＋1＝0有等根，试判定△ABC的形状．解∵关于x的方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lg a＋1＝0有等根，∴Δ＝0，即4－4[lg(c2－b2)－2lg a＋1]＝0.即lg(c2－b2)－2lg a＝0，故c2－b2＝a2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．2．2.1 对数与对数运算(一)学习目标1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．2．了解常用对数与自然对数的意义．3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．自学导引1．如果a (a >0且a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质有：(1)1的对数为零； (2)底的对数为1； (3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.分析 由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x的不等式(组)，解之即可．解 (1)由题意有x －10>0，∴x >10，即为所求．(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2.(3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a >5或a <2B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <4 答案 C解析由题意得⎩⎨⎧5－a >0a －2>0a －2≠1，∴2<a <5且a ≠3.二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3.分析 利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化． 解 (1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵log 128＝－3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－3＝8. (3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14－2＝16，∴log 1416＝－2.(4)∵l og 101 000＝3，∴103＝1 000.点评 指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2. (4)由x ＝log 2719，得27x＝19，即33x ＝3－2，∴x ＝－23.(5)由x ＝log 1216，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＝16，即2－x ＝24， ∴x ＝－4.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)；(2)412(log 29－log 25)．解(1)原式＝(a log a b )log b c ·log c N ＝b log b c ·log c N ＝(b log b c )log c N＝c log c N ＝N .(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95.点评 对数恒等式a log a N ＝N 中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.解 原式＝5＋312log 315＝5＋(3log 315)12＝5＋15＝655.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化．3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0 B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝5 答案 C2．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( )A ．log 6a ＝aB ．log 6b ＝aC ．log a b ＝6D ．log b a ＝6 答案 D3．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( )A.5－2B.5＋2C.5－2或5＋2 D ．2－ 5 答案 B4．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310 答案 B解析 方法一 令10x ＝t ，则x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，f (3)＝lg3.方法二 令10x ＝3，则x ＝lg3，∴f (3)＝lg3. 5．21＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52答案 B解析 21＋12log 25＝2×212log 25＝2×2log 2512＝2×512＝2 5.二、填空题6．若5lg x ＝25，则x 的值为________． 答案 100解析 ∵5lg x ＝52，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________． 答案 12解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12. 8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 答案 600解析 102.778 2≈102×10lg6＝600. 三、解答题9．求下列各式中x 的值 (1)若log 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－2x 9＝1，则求x 值；(2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值． 解(1)∵log 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－2x 9＝1，∴1－2x 9＝3 ∴1－2x ＝27，即x ＝－13 (2)∵log 2 003(x 2－1)＝0 ∴x 2－1＝1，即x 2＝2 ∴x ＝± 210．求x 的值：(1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75；(4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.解(1)由已知得：⎝⎛⎭⎪⎪⎫22x＝4， ∴2－12x ＝22，－x 2＝2，x ＝－4.(2)由已知得：9x＝3，即32x＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)x ＝7÷7log 75＝7÷5＝75.(4)由已知得：x －3＝8，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12.(5)由已知得：x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124＝116.2.2.1对数与对数运算(二)学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 A解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x答案 A二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50.分析 利用对数运算性质计算．解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2 ＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1. (3)原式＝32lg3＋3lg2－32lg3＋2lg2－1＝3lg3＋6lg2－32(lg3＋2lg2－1)＝32.(4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.点评 要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用．变式迁移2 求下列各式的值： (1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64. 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7)＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝[log 262＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622＝log 62(log 62＋log 63＋1)÷(2log 62)＝1.三、换底公式的应用例3 (1)设3x＝4y＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解 (1)由已知分别求出x 和y . ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， 由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y＝log 364，∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. (2)∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b . ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a. 点评 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值． 解 (1)利用换底公式，得lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝2，∴lg m ＝2lg3，于是m ＝9. (2)由log 1227＝a ，得3lg32lg2＋lg3＝a ，∴lg3＝2a lg23－a ，∴lg3lg2＝2a 3－a.∴log 616＝4lg2lg3＋lg2＝42a3－a ＋1＝4(3－a )3＋a.1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 D解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3.2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.aa ＋bD.ba ＋b答案 B解析 log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋b b .3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg a b 2的值等于( )A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝22－4×12＝2.4．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13. 5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 答案 C解析 因为f (x )＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005)＝8，所以f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 005＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005| ＝2log a |x 1x 2…x 2 005| ＝2f (x 1x 2…x 2 005)＝2×8＝16. 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________. 答案a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg1.8＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg2＋lg9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c∵lo g a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6 ∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 答案 2解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2. 三、解答题9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解 (1)方法一 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg4＋lg7 5＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)方法一 原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10·lg 52＋lg4＝lg ⎝⎛⎭⎪⎪⎫52×4＝lg10＝1. 方法二 原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg 22 ＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1. 10．若26a＝33b＝62c，求证：1a ＋2b ＝3c.证明 设26a ＝33b ＝62c ＝k (k >0)，那么⎩⎨⎧6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ，∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1a ＝6log 2k＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k3，1c ＝2log 6k＝2log k6.∴1a ＋2b＝6·log k 2＋2×3log k 3＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c，即1a ＋2b ＝3c.2．2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数叫做对数函数． 对于对数函数定义的理解，要注意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)；(2)对数函数的解析式y ＝log a x 中，log a x 前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a 必须满足a >0，且a ≠1；(3)以10为底的对数函数为y＝lg x，以e为底的对数函数为y ＝ln x.2．对数函数的图象及性质：a>10<a<1图象性质函数的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)函数图象恒过定点(1，0)，即恒有log a1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0 函数在定义域(0，＋∞)上为增函数函数在定义域(0，＋∞)上为减函数3.指数函数与对数函数的关系比较名称指数函数对数函数解析式y＝a x (a>0，且a≠1)y＝log a x(a>0，且a≠1)定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)函数值变化情况a>1时，a>1时，log a x()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>011101x x x a x ； 0<a <1时，x ()()()⎪⎩⎪⎨⎧<>==><011101x x x a x ()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<>==>>1001010x x x ； 0<a <1时，log a x()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<>==><1001010x x x 图象必 过定点点(0,1) 点(1,0)单调性a >1时，y ＝a x 是增函数；0<a <1时，y ＝a x 是减函数a >1时，y ＝log a x 是增函数；0<a <1时，y ＝log a x 是减函数图象y ＝a x 的图象与y ＝log a x 的图象关于直线y＝x 对称实际上，观察对数函数的图象不难发现，对数函数中的值y ＝log m n 有以下规律：(1)当(m －1)(n －1)>0，即m 、n 范围相同(相对于“1”而言)，则log m n >0；(2)当(m －1)(n －1)<0，即m 、n 范围相反(相对于“1”而言)，则log m n <0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如log 213<0，log 52>0等，一眼就看出来了！题型一 求函数定义域求下列函数的定义域： (1)y ＝log 3x －12x ＋3x －1； (2)y ＝11－log a (x ＋a )(a >0，a ≠1)．分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的范围． 解(1)要使函数有意义，必须{ 2x ＋3>0，x －1>0，3x －1>0，3x －1≠1同时成立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >－32，x >1，x >13，x ≠23. ∴x >1. ∴定义域为(1，＋∞)．(2)要使原函数有意义，需1－log a (x ＋a )>0， 即log a (x ＋a )<1＝log a a .当a >1时，0<x ＋a <a ，∴－a <x <0. 当0<a <1时，x ＋a >a ，∴x >0.∴当a >1时，原函数定义域为{x |－a <x <0}； 当0<a <1时，原函数定义域为{x |x >0}．点评 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x ，还要考虑不能使分母为零．题型二 对数单调性的应用(1)log 43，log 34，log 4334的大小顺序为( )A ．log 34<log 43<log 4334B ．log 34>log 43>log 4334C ．log 34>log 4334>log 43D ．log 4334>log 34>log 43(2)若a 2>b >a >1，试比较log a a b ，log b ba，log b a ，log a b 的大小．(1)解析 ∵log 34>1,0<log 43<1， log 4334＝log 43⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43－1＝－1，∴log 34>log 43>log 4334.答案 B(2)解 ∵b >a >1，∴0<ab<1.∴log a a b <0，log b ba ∈(0,1)，logb a ∈(0,1)．又a >b a >1，且b >1，∴log b ba <logb a ，故有log a a b <log b ba<log b a <log a b .点评 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则： ①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a >1为增；0<a <1为减)比较．②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较．③如果两对数的底数不同而真数相同，如y ＝log a 1x 与y ＝log a 2x 的比较(a 1>0，a 1≠1，a 2>0，a 2≠1)．当a 1>a 2>1时，曲线y 1比y 2的图象(在第一象限内)上升得慢．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2.而在第一象限内，图象越靠近x 轴对数函数的底数越大．当0<a 2<a 1<1时，曲线y 1比y 2的图象(在第四象限内)下降得快．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2即在第四象限内，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小．已知log a 12<1，那么a 的取值范围是________．分析 利用函数单调性或利用数形结合求解．解析 由log a 12<1＝log a a ，得当a >1时，显然符合上述不等式，∴a >1；当0<a <1时，a <12，∴0<a <12.故a >1或0<a <12.答案 a >1或0<a <12点评 解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：(1)当a >1时，log a x >0⇔x >1，log a x <0⇔0<x <1； (2)当0<a <1时，log a x >0⇔0<x <1，log a x <0⇔x >1.题型三 函数图象的应用若不等式2x －log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解要使不等式2x<logax 在x ∈⎪⎭⎫⎝⎛21,0时恒成立，即函数y=logax的图象在⎪⎭⎫⎝⎛21,0内恒在函数y=2x 图象的上方，而y=2x 图象过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21.由图可知，loga 21>2，显然这里0<a<1，∴函数y=logax 递减． 又loga 21>2=log 2aa ，∴a 2>21，即a>2221⎪⎭⎫⎝⎛.∴所求的a 的取值范围为2221⎪⎭⎫⎝⎛<a<1.点评 原问题等价于当x ∈⎪⎭⎫⎝⎛21,0时，y1=2x 的图象在y2=logax 的图象的下方，由于a 的大小不确定，当a>1时，显然y2<y1，因此a 必为小于1的正数，当y2的图象通过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21时，y2满足条件，此时a 0=2221⎪⎭⎫⎝⎛.那么a 是大于a 0还是小于a 0才满足呢？可以画图象观察，请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握．设函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围．错解∵f(x)的值域是R，∴ax2＋2x＋1>0对x∈R恒成立，即{a>0Δ<0⇔{a>04－4a<0⇔a>1.错因分析出错的原因是分不清定义域为R与值域为R的区别．正解函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的值域是R⇔真数t＝ax2＋2x＋1能取到所有的正数．当a＝0时，只要x>－12，即可使真数t取到所有的正数，符合要求；当a≠0时，必须有{a>0Δ≥0⇔{a>04－4a≥0⇔0<a≤1.∴f(x)的值域为R时，实数a的取值范围为[0,1]．本节内容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．1．(广东高考)已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析 由题意知M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}． 故M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 答案 C2．(湖南高考)下列不等式成立的是( ) A ．log 32<log 23<log 25 B ．log 32<log 25<log 23 C ．log 23<log 32<log 25 D ．log 23<log 25<log 32解析 ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 25>log 23>log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴log 32<log 33＝1.∴log 32<log 23<log 25. 答案 A3．(全国高考)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a 解析 ∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t >0.∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a . ∴c >a >b . 答案 C1．已知函数f (x )＝1＋2x 的定义域为集合M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为集合N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－12<x <1D ．∅答案 C2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )等于( )A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2 答案 B解析 f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a 1－a －1 ＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－12.3．已知a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 42，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b 答案 A解析 因为a ＝log 23>1，b ＝log 3 2<1，所以a >b ； 又因为2>3，则log 32>log 33＝12， 而log 42＝log 22＝12， 所以b >12，c ＝12，即b >c .从而a >b >c .4．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数答案 D解析已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数．又当x>0时，|x|＝x，即函数y＝lg|x|在区间(0，＋∞)上是增函数．又f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上是减函数．5．函数y＝a x与y＝－log a x (a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( )答案 A解析方法一若0<a<1，则曲线y＝a x下降且过(0,1)，而曲线y＝－log a x上升且过(1,0)；若a>1，则曲线y＝a x上升且过(0,1)，而曲线y＝－log a x下降且过(1,0)．只有选项A满足条件．方法二注意到y＝－log a x的图象关于x轴对称的图象的表达式为y＝log a x，又y＝log a x与y＝a x互为反函数(图象关于直线y＝x 对称)，则可直接选定选项A.6．设函数f (x )＝log 2a (x ＋1)，若对于区间(－1,0)内的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，1D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12 答案 D解析 已知－1<x <0，则0<x ＋1<1，又当－1<x <0时，都有f (x )>0，即0<x ＋1<1时都有f (x )>0，所以0<2a <1，即0<a <12.7．若指数函数f (x )＝a x (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式log a (x ． 答案 {x |1<x <2}解析 由题可知a ＝1.2，∴log 1.2(x －1)<0， ∴log 1.2(x －1)<log 1.21，解得x <2， 又∵x －1>0，即x >1，∴1<x <2. 故原不等式的解集为{x |1<x <2}．8．函数y ＝log a x (1≤x ≤2)的值域为[－1,0]，那么a 的值为________．答案 12解析 若a >1，则函数y ＝log a x 在区间[1,2]上为增函数，其值域不可能为[－1,0]；故0<a <1，此时当x ＝2时，y 取最小值－1， 即log a 2＝－1，得a －1＝2，所以a ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1log a x ，x ≥1是实数集R 上的减函数，那么实数a 的取值范围为__________．答案⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫17，13 解析 函数f (x )为实数集R 上的减函数， 一方面，0<a <1且3a －1<0，所以0<a <13，另一方面，由于f (x )在R 上为减函数， 因此应有(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，即a ≥17.因此满足题意的实数a 的取值范围为17≤a <13.10．已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，求函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值和最小值．解∵f(x)的定义域为[1,4]，∴g(x)的定义域为[1,2]．∵g(x)＝f2(x)＋f(x2)＝(1＋log2x)2＋(1＋log2x2)x＋2)2－2，＝(log2又1≤x≤2，∴0≤log2x≤1.∴当x＝1时，g(x)min＝2；当x＝2时，g(x)max=7.学习目标1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．自学导引1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质定义y＝log a x (a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过点(1,0)，即log a1＝函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝log a x与y＝log1a x 的图象关于x轴对称对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数y ＝a x _(a >0且a ≠1)互为反函数．一、对数函数的图象例1 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( ) A.101,53,34,3B ．53,101,34,3C ．101,53,3,34D ．53,101,3,34 答案 A解析 方法一 因为对数的底数越大，函数的图象越远离y 轴的。
仪器分析作业题 外标法内标法 2
一、外标一点法【含量测定】芍药苷 照高效液相色谱法(附录Ⅵ D)测定。
色谱条件与系统适用性试验 以十八烷基硅烷键合硅胶为填充剂;以甲醇—０．0５mol ／L 磷酸二氢钾溶液（40:65）为流动相；检测波长为2３0nm 。
理论板数按芍药苷峰计算应不低于３０00。
对照品溶液的制备 取经五氧化二磷减压干燥器中干燥36小时的芍药苷对照品适量,精密称定，加甲醇制成每1m ｌ含0.5mg 的溶液，即得.供试品溶液的制备 取本品粗粉约０。
5g ，精密称定,置具塞锥形瓶中,精密加入甲醇25ml ，称定重量，浸泡4小时,超声处理２0分钟，放冷,再称定重量,用甲醇补足减失的重量,摇匀,滤过，取续滤液,即得。
测定法 分别精密吸取对照品溶液与供试品溶液各10μl ,注入液相色谱仪,测定,即得.本品含芍药苷（Ｃ23Ｈ2８Ｏ11)不得少于1。
8%。
解:设测得对照品溶液和供试品溶液峰面积为A 对＝55００0０ A 样=７800已知对照品溶液浓度C 对=０．5mg/ｍlml /mg 0071.0ml /mg 5.05500007800)(===）（对对样样C A A C m g 5.177l101000m l 25l 10m l /m g 0071.0V C m =⨯⨯⨯==μμ样样样供试品中芍药苷的含量X ％=%5.35%1001000g 5.0m g5.177=⨯⨯ 药典规定药材含芍药苷（C 2３H ２8Ｏ11）不得少于1。
8%,供试品中芍药苷的含量为35。
5％，故供试品药材合格.二、外标两点法【含量测定】黄芪甲苷照高效液相色谱法（附录ⅥＤ）测定.色谱条件与系统适用性试验以十八烷基硅烷键合硅胶为填充剂；以乙腈-水（32:68）为流动相;蒸发光散射检测器检测。
理论板数按黄芪甲苷峰计算应不低于4０00.对照品溶液的制备取黄芪甲苷对照品适量，精密称定，加甲醇制成每1ml 含0。
5mg的溶液,即得。
供试品溶液的制备取本品中粉约４g，精密称定，置索氏提取器中，加甲醇４0ml,冷浸过夜,再加甲醇适量，加热回流４小时,提取液回收溶剂并浓缩至干，残渣加水10ml，微热使溶解，用水饱和的正丁醇振摇提取4次,每次４０mｌ，合并正丁醇液,用氨试液充分洗涤2次，每次40ｍl,弃去氨液，正丁醇液蒸干,残渣加水５mｌ使溶解，放冷,通过D101型大孔吸附树脂柱(内径为1。
对数方程
令 t = lg x ，则原问题 ⇔ 方程 2t 2 + (3lg a)t + lg 2 a − 4 = 0 的所有解大于 0。
∆ = (3 lg a) 2 − 8(lg 2 a − 4) ≥ 0 3 ⇒ t1 + t 2 = − lg a > 0 2 lg 2 a − 4 >0 t1t2 = 2
x > 0 x −1 > 0 解： a > 0 x 2 = a ( x − 1) (x
x > 1 ⇒ a > 0 x 2 − ax + a = 0 (*)
①当 ∆ = a 2 − 4a = 0，即 a = 4 时，方程 (*) 的解为 x = 2；
( x1 − 1)( x2 − 1) = a − a + 1 > 0 ， ②当 ∆ > 0，即 a > 4 时， Q x1 − 1 + x2 − 1 = a − 2 > 0
∴ 原方程有两解；
③当 ∆ < 0，即 0 < a < 4 时，原方程无解。
11. 方程 lg(kx) = 2 lg( x + 1) 有且只有一解，求 k 的取值范围。
kx > 0 x > −1 解法一： x + 1 > 0 ⇒ 2 x + (2 − k ) x + 1 = 0 (*) kx = ( x + 1) 2
⇒ (t + 1)(t 2 + 4t − 4) = 0 ⇒ t = −1 或 − 2 ± 2 2
∴t = 2 2 − 2 ⇒ 3 = 2 2 − 2 ⇒ = log 3 ( 2 2 − 2)
仪器分析作业题--外标法内标法
一、外标一点法【含量测定】芍药苷 照高效液相色谱法（附录Ⅵ D)测定。
色谱条件与系统适用性试验 以十八烷基硅烷键合硅胶为填充剂；以甲醇-0.05mol ／L 磷酸二氢钾溶液(40：65)为流动相；检测波长为230nm 。
理论板数按芍药苷峰计算应不低于3000。
对照品溶液的制备 取经五氧化二磷减压干燥器中干燥36小时的芍药苷对照品适量，精密称定，加甲醇制成每1ml 含0.5mg 的溶液，即得。
供试品溶液的制备 取本品粗粉约0.5g ，精密称定，置具塞锥形瓶中，精密加入甲醇25ml ，称定重量，浸泡4小时，超声处理20分钟，放冷，再称定重量，用甲醇补足减失的重量，摇匀，滤过，取续滤液，即得。
测定法 分别精密吸取对照品溶液与供试品溶液各10μl，注入液相色谱仪，测定，即得。
本品含芍药苷(C 23H 28O 11)不得少于1.8％。
解：设测得对照品溶液和供试品溶液峰面积为A 对=550000 A 样=7800已知对照品溶液浓度C 对=0.5mg/mlml /mg 0071.0ml /mg 5.0550*******)(===）（对对样样C A A Cm g 5.177l101000m l 25l 10m l /m g 0071.0V C m =⨯⨯⨯==μμ样样样 供试品中芍药苷的含量 X%=%5.35%1001000g 5.0m g 5.177=⨯⨯药典规定药材含芍药苷(C 23H 28O 11)不得少于1.8％，供试品中芍药苷的含量为35.5%，故供试品药材合格。
二、外标两点法【含量测定】 黄芪甲苷 照高效液相色谱法（附录Ⅵ D）测定。
色谱条件与系统适用性试验 以十八烷基硅烷键合硅胶为填充剂；以乙腈-水(32：68)为流动相；蒸发光散射检测器检测。
理论板数按黄芪甲苷峰计算应不低于4000。
对照品溶液的制备 取黄芪甲苷对照品适量，精密称定，加甲醇制成每1ml 含0.5mg 的溶液，即得。
供试品溶液的制备 取本品中粉约4g ，精密称定，置索氏提取器中，加甲醇40ml ，冷浸过夜，再加甲醇适量，加热回流4小时，提取液回收溶剂并浓缩至干，残渣加水10ml ，微热使溶解，用水饱和的正丁醇振摇提取4次，每次40ml ，合并正丁醇液，用氨试液充分洗涤2次，每次40ml ，弃去氨液，正丁醇液蒸干，残渣加水5ml 使溶解，放冷，通过D101型大孔吸附树脂柱(内径为1.5cm ，柱高为12cm)，以水50ml洗脱，弃去水液，再用40％乙醇30ml 洗脱，弃去洗脱液，继用70％乙醇80ml 洗脱，收集洗脱液，蒸干，残渣加甲醇溶解，转移至5ml 量瓶中，加甲醇至刻度，摇匀，即得。
对数公式的运算
对数公式的运用1．对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．由定义知：①负数和零没有对数；②a>0且a≠1，N>0；③log a1=0，log a a=1，a logaN=N(对数恒等式)，log a a b=b。
特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN；以无理数e(e=2．718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作log e N，简记为lnN．2．对数式与指数式的互化式子名称a b=N指数式a b=N(底数)(指数)(幂值)对数式log a N=b(底数) (真数) (对数)3．对数的运算性质如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么(1)log a(MN)=log a M+log a N．(2)log a〔M/N〕=log a M-log a N．(3)log a M n=nlog a M(n∈R)．问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0?②log a a n=? (n∈R)③对数式与指数式的比较．(学生填表)式子a b=N，log a N=b名称：a—幂的底数b—N—a—对数的底数b—N—运算性质：a m·a n=a m+na m÷a n= a m-n(a>0且a≠1，n∈R) log a MN=log a M+log a Nlog a MN=log a M n= (n∈R) (a>0，a≠1，M>0，N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0，，且a≠1?理由如下：①a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28=?②假设a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?③假设a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数?为了防止上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?解题方法技巧1．(1)将以下指数式写成对数式：①54=625；②26=64；③3x=27；④13m=5．73．(2)将以下对数式写成指数式：①log216=4；②log2128=7；③log327=x；④lg0．01=-2；⑤ln10=2．303；⑥lgπ=k．解析由对数定义：a b=N，log a N=b．解答(1)①log5625=4．②log264=6．③log327=x．④log135．73=m．解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：a b=N log a N=b(2)①24=16，②27=128，③3x=27，④10-2=0．01，⑤e2．303=10，⑥10k=π．2．根据以下条件分别求x的值：(1)log8x= -2/3；(2)log2(log5x)=0；(3)log x27=3×；(4)log x(2+)= -1．解析(1)对数式化指数式，得：x==?(2)log5x=20=1．x=?(3)3×3log32=? ．27=x?(4) 2+=x-1=1/x．x=?解答(1)x===2-2=1/4．(2)log5x=20=1，x=51=5．(3)log x27=3×=3×2=6，∴x6=27=33=()6，故x=．(4) +=x-1=1/x，∴x=1/(+)=．解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化．②熟练应用公式：log a1=0，log a a=1，alog a M=M，log a a n=n．3．已知log a x=4，log a y=5，求A=〔x5/12·y-1/3〕的值．解析：思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?解答：解法一∵log a x=4，log a y=5，∴x=a4，y=a5，∴A=x(5/12)y(-1/3)=(a4)5/12(a5)-1/3=a5/3·a-5/3=a0=1．解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得log a A=log a(x(5/12)y(-1/3))=(5/12)log a x-(1/3)log a y=(5/12)×4-(1/3)×5=0，∴A=1．解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算．4 ．设x，y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠1/10)，求lg(xy)的取值范围．解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数．因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0，y>0，x·y1+lgx=1，两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0．即lgy=-lgx/(1+lgx) (x≠1/10，lgx≠-1)．令lgx=t，则lgy=-t/(1+t) (t≠-1)．∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t/(1+t)= t2/(1+t) (t≠-1)．(解题规律：对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题．)设S=t2/(1+t)，得关于t的方程t2-St-S=0因为它一定有实数解．∴Δ=S2+4S≥0，得S≤-4或S≥0，故lg(xy)的取值范围是(-∞，-4〕∪〔0，+∞)．5 ．求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3(32/9)+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值；(4)求7lg20·(1/2)lg0.7的值．解析：(1)25=52，50=5×10。
现代仪器分析实验报告
实验一双波长分光光度法测定混合样品溶液中苯甲酸钠的含量一、目的1．熟悉双波长分光光度法测定二元混合物中待测组分含量的原理和方法。
2．掌握选择测定波长（λ1）和参比波长（λ2）的方法。
二、原理混合样品溶液由苯酚和苯甲酸钠组成，在0.04mol/LHCl溶液中测得其吸收光谱，苯甲酸钠的吸收峰在229nm处，苯酚的吸收峰在210nm处。
若测定苯甲酸钠，从光谱上可知干扰组分（苯酚）在229和251nm处的吸光度相等，则ΔA＝KC苯甲酸钠ΔA仅与苯甲酸钠浓度成正比，而与苯酚浓度无关，从而测得苯甲酸钠的浓度。
三、仪器与试剂紫外分光光度计苯酚苯甲酸钠蒸馏水盐酸四、操作步骤及主要结果1．样品的制备（1）标准储备液的配制精密称取苯甲酸钠0.1013g和苯酚0.1115g，分别用蒸馏水溶解，定量转移至500ml容量瓶中，用蒸馏水稀释至刻度，摇匀，即得浓度为200μg/ml的储备液，置于冰箱中保存。
（2）标准溶液的配制分别吸取标准苯酚储备液5.00ml和标准苯甲酸钠储备液5.00ml至100ml容量瓶中，用0.04mol/LHCl溶液稀释至刻度，摇匀，即得浓度为10μg/ml的标准溶液。
2．样品的测定（1）波长组合的选择于可见－紫外分光光度计上分别测定苯酚和苯甲酸钠标准溶液的吸收光谱（检测波长200~320nm），确定双波长法测定苯甲酸钠含量时的参比波长（λs=257.5nm）和测定波长（λm=231.2nm）。
（2）苯甲酸钠工作曲线的绘制配制不同浓度的l苯甲酸钠/0.04MHCl 溶液。
以0.04mol/L HCl溶液为参比溶液，测定系列浓度的苯甲酸钠/0.04M HCl溶液在λm和λs处的吸光度差值（见表1），计算其回归方程Y=0.0652X+0.0311(R2=0.999)。
（3）测定以0.04mol/L HCl溶液为参比溶液，测定混和溶液的吸光度值( n=3 )，根据回归方程计算混和溶液中苯甲酸钠的含量（X，RSD%）。
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解析外标两点对数方程计算黄芪药材含量
方法：照高效液相色谱法，ODS柱，以乙腈-水（32：68）为流动相，流速1ml/min，经蒸发光检测器检测，用外标两点对数方程计算黄芪药材中黄芪甲苷的含量。
仪器：安捷伦1100型液相色谱仪、蒸发光检测器（ELSD）、ODS 柱（4.6um*5mm*200mm）供试品：黄芪药材（检测成分：黄芪甲苷）
关键词：高效液相法、蒸发光检测器、黄芪甲苷、粉碎、提取物、外标两点对数方程
正文：
前处理：取约20g的黄芪药材放置于小型粉碎机内，粉碎后，盛装在密闭的容器中待用。
供试品制备：取黄芪药材粉末两份，Ⅰ.4.0037g；Ⅱ.4.0022g。
分别置索氏提取器中，加甲醇40ml，浸泡过夜（大于8小时）。
第二天，加甲醇适量，加热回流4小时，提取液浓缩至干，残渣加水10ml，微热使溶解，用水饱和的正丁醇（制法：把水加入正丁醇中至饱和）振摇提取4次，每次40ml，合并正丁醇液；用氨试液充分洗涤2次，每次40ml，弃去氨液，正丁醇液蒸干，残渣加水5ml使溶解，放冷；通过D101型大孔吸附树脂柱(备注：自己装填)，并以水50ml洗脱，弃去水液；再用40%乙醇30ml 洗脱，弃去洗脱液；继用70%乙醇80ml洗脱，收集洗脱液，蒸干；用甲醇溶解并转移至5ml量瓶中，加甲醇至刻度，摇匀，即得供试品溶液。
简单讲，即把黄芪药材最后提取物（黄芪甲苷）溶解到5ml
甲醇中。
对照品制备：称取黄芪甲苷对照品（中检所购入）0.0512g至100ml 容量瓶中，用甲醇溶解至刻度，摇匀，即得。
测定：系统平衡后，精密吸取对照品溶液10ul进样，得色谱峰面积Ⅰ.259457；进样20ul，得色谱峰面积Ⅱ.523039。
供试品溶液进样20ul，两针，色谱峰面积为：Ⅰ.909836，Ⅱ.902925。
根据对照品峰面积和进样量，以外标两点对数方程计算供试品含量。
两点对数方程定义：是利用两点的对数值呈线性关系求解二元一次方程y=ax+b。
本题是利用对照品溶液两针进样量的对数值和所得峰面积的对数值呈线性的关系，把两组数据带入方程y=ax+b中，求得a 和b，即求解了该方程式。
然后带入供试品峰面积的对数值，求得供试品进样量的对数值，对其求反对数得供试品进样量（黄芪甲苷的量）。
方程中x、y值均为进样量和峰面积取对数（lg）后的数值。
简单讲，就是通过对照品溶液两针的进样量和峰面积（均取对数lg）求解方程式后，把供试品峰面积（取对数lg）带入方程式求得供试品的进样量。
数据处理：根据外标两点对数方程，应先计算得到方程式中的x、y值，才能求解此方程式。
即取对照品进样量的对数值为x，取对照品峰面积对数值为y，计算结果如下：
对照品ⅠⅡ
进样量0.0512g×10ul0.0512g×20ul
（5.12ug）（10.24ug）进样量取lg，得x0.7093 1.0103色谱峰面积259457523039峰面积取lg，得y 5.4141 5.7185
方程式求解：根据“数据处理”中求得的x、y值，通过Excel图表中的XY散点图，以（0.7093，5.4141）、(1.0103,5.7185)两点，求得方程如下：y=1.0112x+4.6969.
供试品进样量求解：取供试品色谱峰面积的对数值，得y，带入已求得的方程式y=1.0112x+4.6969，求得x，如下：-
供试品ⅠⅡ
称样量 4.0037g 4.0022g
色谱峰面积909836902925峰面积取lg，得y 5.9590 5.9557
通过方程，求得x 1.2481 1.2448
根据lg(进样量)=x，求x
（1.2481、1.2448）的反对数，得供试品进样量17.7052ug
17.5711ug
含量计算：根据供试品
称样量、样品的稀释倍数5ml及20ul进样量中黄芪甲苷的量，求得：
（17.7052ug×
5ml/4.0037g/20ul）×
100%=0.1106%
（17.5711ug×
5ml/4.0022g/20ul）×
100%=0.1098%
平均值为：（0.1106%+0.1098%）/2=0.11%
结果：该批黄芪药材中含黄芪甲苷的量为0.11%。