如何绘制伯德图
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如何绘制伯德图
????tjtjg21122???22222241lg20lg20????ttjg????t1???041lg20222222dbtt???????t1???lg4041lg20222222dbttt?????????t1t1t1五振荡环节t1150decdb40?40?20?db?l高频渐近线t1101t1t110?低频渐近线图517振荡环节渐进线对数幅频特性?振荡环节的相频特性是?5832212????ttarctgjg????16当时
5-14，可知，一阶微分 环节与惯性环节的对数 幅频特性和相频特性是
900 ( )
度
1 1 100
1 1 10
1 1 10 渐近特性
100
1
450
00
45o / dec
1 1 100
1 1 10
1
10
1
100
1
以横轴（ω 轴）为对称的。
图5-16 一阶微分环节的Bode图
振荡环节对数幅频特性的渐近线，它们的转折频率为
幅频特性曲线的渐近线如图5-17所示。
T
。对数
14
dB
L( )
1 1 10 T 1 T
低频渐近线
10
0
1 T
40 dB /dec
20
40
高频渐近线
图5-17 振荡环节渐进线对数幅频特性
•振荡环节的相频特性是 2 T G ( j ) arctg 2 2） • （ 5-83 1 T
（三） 惯性环节 惯性环节的频率特性是
G ( j)
其对数幅频特性是
1 jT 1
(5-73)
1
20 lg G ( j ) 20 lg 20 lg 1T22
5-14，可知，一阶微分 环节与惯性环节的对数 幅频特性和相频特性是
900 ( )
度
1 1 100
1 1 10
1 1 10 渐近特性
100
1
450
00
45o / dec
1 1 100
1 1 10
1
10
1
100
1
以横轴（ω 轴）为对称的。
图5-16 一阶微分环节的Bode图
振荡环节对数幅频特性的渐近线，它们的转折频率为
幅频特性曲线的渐近线如图5-17所示。
T
。对数
14
dB
L( )
1 1 10 T 1 T
低频渐近线
10
0
1 T
40 dB /dec
20
40
高频渐近线
图5-17 振荡环节渐进线对数幅频特性
•振荡环节的相频特性是 2 T G ( j ) arctg 2 2） • （ 5-83 1 T
（三） 惯性环节 惯性环节的频率特性是
G ( j)
其对数幅频特性是
1 jT 1
(5-73)
1
20 lg G ( j ) 20 lg 20 lg 1T22
如何绘制伯德图PPT课件
G( j ) G1 ( j )G2 ( j )Gn ( j ) G( j ) G1 ( j ) G2 ( j ) Gn ( j ) L( ) 20 lg G( j) 20 lg G1 ( j) 20 lg G2 ( j ) 20 lg Gn ( j)
G( j ) 00
（5-63） （5-64）
100 00
900 1800
10 100 1000
图5-11 放大环节的Bode图
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G( j) 1 j 1 1 e j90 j
7
当有n个积分环节串联时，即
dB L()
G(
j
)
(
1
j
)n
其对数幅频特性为
20 lg
G(
j )
20 lg
1
பைடு நூலகம்n
40
（ 5-70 ）
0
(5-71)
0.01 0.1
40 dB / dec
1
10
n 20 lg
G( j ) n 900
（5-72） 度 （）
6
设 ' 10 ，则有
20lg ' 20lg 10 20 20lg
dB L()
可见，其对数幅频特性是一条在
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ω 轴），且以每增加十倍频降 低20分贝的速度（-20dB/dec ） 变化的直线。
40
20dB / dec
1
L() dB
G( j ) 00
（5-63） （5-64）
100 00
900 1800
10 100 1000
图5-11 放大环节的Bode图
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G( j) 1 j 1 1 e j90 j
7
当有n个积分环节串联时，即
dB L()
G(
j
)
(
1
j
)n
其对数幅频特性为
20 lg
G(
j )
20 lg
1
பைடு நூலகம்n
40
（ 5-70 ）
0
(5-71)
0.01 0.1
40 dB / dec
1
10
n 20 lg
G( j ) n 900
（5-72） 度 （）
6
设 ' 10 ，则有
20lg ' 20lg 10 20 20lg
dB L()
可见，其对数幅频特性是一条在
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ω 轴），且以每增加十倍频降 低20分贝的速度（-20dB/dec ） 变化的直线。
40
20dB / dec
1
L() dB
如何绘制伯德图.ppt
j?
??
其幅频特性为
1
G ( j? ) ? ?
对数幅频特性是
（5-65） （5-66）
1
20 lg G ( j? ) ? 20 lg ? ? 20 lg ? ?
（5-67）
当 ? ? 0 . 1 时，20 lg G ( j 0 . 1 ) ? ? 20 lg 0 . 1 ? 20 ( dB ) ； 当 ? ? 1 时，20 lg G ( j1) ? ? 20 lg 1 ? 0 ( dB ) ；
当 ? ? 10 时，20 lg G ( j10 ) ? ? 20 lg 10 ? ? 20 ( dB ) 。
6
设 ? ' ? 10 ? ，则有
? 20 lg ? ' ? ? 20 lg 10 ? ? ? 20 ? 20 lg ?
可见，其对数幅频特性是一条 在
dB L(? )
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线
(5-73) (5-74)
? ? 20 lg 1 ? T 2? 2
当 ? ?? 1 时， 20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? 0 ( dB ) ，
T
当 ? ?? 1 时，20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? ? 20 lg T ? ( dB )
40
（ω 轴），且以每增加十倍频降
20
? 20 dB / dec
低20分贝的速度（ -20dB/dec ）
0
0.01
0.1
1
10
?
变化的直线。
? 20
积分环节的相频特性是
? G ( j ? ) ? ? 90 0
如何绘制伯德图
20 lg 10 20(dB)
。
6
设 ' 10 ，则有
20 lg 20 lg 10 20 20 lg
'
(5-68)
dB L( )
可见，其对数幅频特性是一条在 ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ ω 轴），且以每增加十倍频降 低 20 分贝的速度（ -20dB/dec ） 变化的直线。 积分环节的相频特性是
对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg K
（5-61）
当K>1时，20lgK>0，位于横轴上方；
当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；
当K<1时，20lgK<0，位于横轴下方。
4
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角频 率ω 无关且平行于横轴的直线，其纵坐 标为20lgK。
0
100
1000
（5-63）
180
0
放大环节的相频特性是
G( j ) 0
0
图5-11 放大环节的Bode图
（5-64） 如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G ( j ) 1 j j 1
1
e
j 90
2 2 2
（5-85）
相频特性是
G ( j ) arctg 2 1
2 2
dB
40
（5-86）20
0
1 1 10
0
精确特性
40dB / dec
二阶微分环节与振荡节的Bode
1
图关于ω 轴对称，如图5-21 。
。
6
设 ' 10 ，则有
20 lg 20 lg 10 20 20 lg
'
(5-68)
dB L( )
可见，其对数幅频特性是一条在 ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ ω 轴），且以每增加十倍频降 低 20 分贝的速度（ -20dB/dec ） 变化的直线。 积分环节的相频特性是
对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg K
（5-61）
当K>1时，20lgK>0，位于横轴上方；
当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；
当K<1时，20lgK<0，位于横轴下方。
4
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角频 率ω 无关且平行于横轴的直线，其纵坐 标为20lgK。
0
100
1000
（5-63）
180
0
放大环节的相频特性是
G( j ) 0
0
图5-11 放大环节的Bode图
（5-64） 如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G ( j ) 1 j j 1
1
e
j 90
2 2 2
（5-85）
相频特性是
G ( j ) arctg 2 1
2 2
dB
40
（5-86）20
0
1 1 10
0
精确特性
40dB / dec
二阶微分环节与振荡节的Bode
1
图关于ω 轴对称，如图5-21 。
开环伯德图绘制
于是有： ω = K ⇒ ω0 = K ν
ν
75
《自动控制原理》电子教案
（5）绘制中频段 首先在横坐标轴上将转折频率按从低到高的顺序标出各转折频率。然后，依次在各转折频率处改变 直线的斜率 ，改变的多少取决于转折处环节的性质，如惯性环节的斜率为 − 20dB dec ，振荡环节为
− 40dB dec ，一阶微分环节为 + 20dB dec ，二阶微分环节为 + 40dB dec 等等。 例：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 GK ( s) = 100( s + 2) s( s + 1)(s + 20) ，试绘制其开环
ω
2
由图可知： 解得wc=4，
小结丗对最小相位系统、幅频特性与相频特性的关系
如果幅频特性的斜率为－１对应的相角为－ｐｉ／２； 如果幅频特性的斜率为－ｋ对应的相角为－ｐｉ＊ｋ／２．
77
L(ω ) = 20 lg K − 20 ×ν × lg ω ω =1 = 20 lg K
③低频段直线（或其延长线）与零分贝线（横轴）的交点频率为 ω0 = K ，对于 I 型系统交点频
ν
1
率为 ω0 = K ，II 型系统交点频率为 ω0 =
1
K ；这是因为由低频段的幅频方程，可得到
L(ω ) = 20 lg K − 20 ×ν × lg ω = 0 ⇒ 20 lg K = 20 ×ν × lg ω = 20 lg ων
⎧ L (ω ) = −20 lg 1 + ω 2 − 20 lg lg 1 + 4ω 2 ⎧ϕ (ω ) = arctgω − arctg 2ω ⎪ 1 1 ，⎨ ⎨ 2 2 ⎩ϕ 2 (ω ) = −arctgω − arctg 2ω ⎪ L2 (ω ) = −20 lg 1 + ω − 20 lg lg 1 + 4ω ⎩
ν
75
《自动控制原理》电子教案
（5）绘制中频段 首先在横坐标轴上将转折频率按从低到高的顺序标出各转折频率。然后，依次在各转折频率处改变 直线的斜率 ，改变的多少取决于转折处环节的性质，如惯性环节的斜率为 − 20dB dec ，振荡环节为
− 40dB dec ，一阶微分环节为 + 20dB dec ，二阶微分环节为 + 40dB dec 等等。 例：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 GK ( s) = 100( s + 2) s( s + 1)(s + 20) ，试绘制其开环
ω
2
由图可知： 解得wc=4，
小结丗对最小相位系统、幅频特性与相频特性的关系
如果幅频特性的斜率为－１对应的相角为－ｐｉ／２； 如果幅频特性的斜率为－ｋ对应的相角为－ｐｉ＊ｋ／２．
77
L(ω ) = 20 lg K − 20 ×ν × lg ω ω =1 = 20 lg K
③低频段直线（或其延长线）与零分贝线（横轴）的交点频率为 ω0 = K ，对于 I 型系统交点频
ν
1
率为 ω0 = K ，II 型系统交点频率为 ω0 =
1
K ；这是因为由低频段的幅频方程，可得到
L(ω ) = 20 lg K − 20 ×ν × lg ω = 0 ⇒ 20 lg K = 20 ×ν × lg ω = 20 lg ων
⎧ L (ω ) = −20 lg 1 + ω 2 − 20 lg lg 1 + 4ω 2 ⎧ϕ (ω ) = arctgω − arctg 2ω ⎪ 1 1 ，⎨ ⎨ 2 2 ⎩ϕ 2 (ω ) = −arctgω − arctg 2ω ⎪ L2 (ω ) = −20 lg 1 + ω − 20 lg lg 1 + 4ω ⎩
开环伯德图的绘制
0.1
arctg
20
g 20
幅值裕度 c 1
(c ) 90 arctg
177.15
c
0
90
0.1
arctg
c
20
180 (c ) 2.85
180
270
相角裕度 g 1.5
1 1 h 2.26 A(g ) G( j1.5)
60dB / dec
开环伯德图（习题五）
单位负反馈系统传递函数如下，画出幅相曲线，并求稳定裕度 s 100( 1) 100(0.5 j 1) 2 G( j ) G( s) j( j 1)(0.1 j 1)(0.05 j 1) s s s( s 1)( 1)( 1) L( ) 10 20
相频特性曲线的绘制
1. 在确定转角频率之后，找到对应转角频率的相位角
2.
在中间选出一些特殊点，计算对应相位角，最后画 出草图
2
开环伯德图的绘制 L( )
G( s) 50( s 2) s( s 1)
50( j 2) j ( j 1)
40 20
20dB / dec
40dB / dec 20dB / dec
60dB / dec
7
L( )
40
0
40
开环伯德图（习题二）
G( j ) 10 1 1 1 10 j (10 j 1)(0.05 j 1) j (10 j 1) (0.05 j 1)
(c ) 90 arctg
( )
0.1
自动控制原理
潘剑飞
2653-4850（办公室）
3.1.2波特图的绘制(精)
图 1 波特图的横坐标和纵坐标
�����/��，即横轴对lg�将是等分的，如图 1 横轴对照图所示。 ����与����的对应关系如图 1 纵轴对照图所示。
由于习惯上都以频率�作为自变量，因此横轴为对数坐标，标以自变量 而波特图纵轴以等分坐标来标定����， 其单位是分贝����， 而且是20lgM���， 由图可见， 波特图是画在纵轴位等分坐标、 横轴为对数坐标的特殊Байду номын сангаас标纸上，
波特图的绘制
波特图（Bode 图）又叫伯德图。 引入对数幅频特性����，可以使串联环节的幅值相乘转化为对数幅频特性
的相加；而����或它的渐近线大多与���成线性关系，因此，若以����为纵轴， 单位长度， �将变化 10 倍[以后称这个为一个 “10 倍频程” （decade） ， 记为 dec]。 波特图的横坐标和纵坐标示意图如图 1 所示。 ���为横轴，则其图线将为直线。另一方面，若以���为横轴，则���每变化一个
特性����也画在与����完全相同的半对数坐标纸上，其横轴的取值与对数幅频 特性坐标相同，画在半对数坐标纸上的����称为对数相频特性。
这种坐标纸叫“半对数坐标纸” 。 注意： 1、对数坐标是不均匀坐标，是由疏到密周期性变化排列的，因此，不能像 等分坐标那样任意取值、任意移动，在对数坐标上的取值和移动是以“级”为单 位的。 2、对数坐标的每一级代表 10 倍频程，即每个等分的级的频率差 10 倍，若 第一个“1”处为 0.1，则以后的“1”处便分别为 1、10、100、1000 等。究 竟第一个“1”处的频率值取为多少，要视研究的系统所需要的频率段而定。在 一般的调速系统和随动系统中，第一个“1”处的频率值通常在 0.01、0.1、1 三个数值中取值。 由于对数幅频特性����是画在半对数坐标纸上的，为便于比较对照，相频
如何绘制伯德图
2 20 log
A( )
20 log
K
40
K 10
20log K 20log ,
20
当K 1时， 1, L() 0;
20 40
()
1 10 100 K 1
10，L() 20 可见斜率为－20dB/dec 当K 0时， 1, L() 20 log K;
1 10 100
T
2
可见，相角的变化范围从0~180度。
Wednesday, May 29, 2024
17
二阶微分环节的波德图
( )(deg)
180°
1.0
150° 0.7
120° 90°
0.5 0.3 0.2
60° 0.1
30°
0°
L( )(dB)
40dB / Dec
L( ) 20
(dB)
比例环节的bode图
二、典型环节的波德图
⒈ 比例环节：G(s) K, (K 0),G( j) K 幅频特性：A() K；相频特性：() 0
L() / dB
20log K
20log K
20log K
()
180
K 1
K 1 log
0 K 1
对数幅频特性：
0
L() 20lg K 0
0
K 0 log
相频特性：
() K 0
180
Wednesday, May 29, 2024
K 1 K 1 0 K 1
1
积分环节的Bode图
⒉ 积分环节的频率特性：G(s) K
s
频率特性：
G( j )
K
j
K
K
e2
第五章 伯德图与那奎斯特图的画法
横坐标取值范围：最小转角频率左边两个十倍频程，最大转角 频率右边两个十倍频程，注意取整。所以实际范围是多少？
0.01 1000 rad s 1
9
5.2.3 绘制系统伯德图的一般步骤
80
L( ) dB
-80
②
20 0 -20 90 0 -90 -180 -270 -360
G ( j )
20dB / dec
/ rad s 1
通常每90°作为一个基本单位，其值尽可能大。
-180
3
5.2.3 绘制系统伯德图的一般步骤
幅频曲线叠加时的要点 首先：典型曲线绘制要标准、要清楚。幅频图各曲线斜率应按 参考斜率平移绘制。各转角频率相互位置取值要准确。 其次：幅频图叠加时起始段主要是比例环节和积分 ( 或微分 ) 环 节起作用，应先将它们进行叠加；叠加方法:过比例环节中ω=1
段 ( 频率趋于无穷大 ) 的位置，可用所有典型环节的相频特性求 和来判断(演草纸中完成)。
( ) G1 ( j ) G2 ( j ) Gn ( j )
0
lim ( ) ?
lim ( ) ?
6
5.2.3 绘制系统伯德图的一般步骤
22 3
1
j 1) 3 G ( j ) j ( j )2 j j ( 1)[ 1] 2 2 2 7.5(
④
100
①
rad s 1
0.01
20
1000
( )
2
0.01 1 2 3
⑤
③
④
③
100
1 ① rad s
1000
⑤
G ( j )
②
频率响应分析法(2)典型环节的频率特性与伯德图的绘制
传递函数
积分环节
频率特性 幅频特性 对数幅频特性
理想微分环节
2. 典型环节的频率特性
（2）惯性2环.热节模和型一阶微分环节
惯性环节
一阶微分环节
传递函数
惯性环节的频率特性
倒数关系
幅频特性
相频特性
2. 典型环节的频率特性
（2）惯2性.热环模节型和一阶微分环节
惯性环节的极坐标图
一阶微分环节
2. 典型环节的频率特性
（2）惯性2.热环节模和型一阶微分环节
惯性环节
传递函数 频率特性
幅频特性
对数幅频特性
一阶微分环节
2. 典型环节的频率特性
（3）振荡2.环热节模和型二阶微分环节
振荡环节
传递函数
二阶微分环节
振荡环节的频率特性
对数幅频
L() 20lg
(1
2 n2
)2
(2
n
)2
转折频率
倒数关系
相频特性
实际的对数幅频和相频曲线
2. 典型环节的频率特性
（3）振荡2.环热节模和型二阶微分环节
振荡环节的对数相频曲线
极坐标图
振荡环节的相频曲线图 振荡环节的极坐标图
2. 典型环节的频率特性
（3）振荡2.环热节模和型二阶微分环节
二阶微分环节，与积分和微分环节，一阶微分和惯性环节相类似，二阶微分环节的 频率特性是振荡的逆频率特性
最小相位的典型环节有那些?（第二章） 比例环节、积分环节、惯性环节、振荡环节、理想微分环节、 一/二阶微分环节，
非最小相位：时滞环节
2. 典型环节的频率特性
（1）比2例.热环模节型
a）传递函数 b）频率特性 幅频特性
频率特性法-奈氏图和伯德图画法
基本原理
频率特性法基于控制系统的频率响应，即系统对不同频率正弦输入信号的响应 特性。通过分析系统的频率响应，可以了解系统的幅频特性和相频特性，进而 评估系统的稳定性、动态性能和稳态精度。
频率特性法在控制系统分析中应用
稳定性分析
通过频率特性法可以判断控制系 统的稳定性。例如，通过奈奎斯 特稳定判据，可以根据开环频率
性能指标
从伯德图中还可以提取出系统的性能指标，如带宽、相位裕度、幅值裕度等。这些指标对于控制系统的设计和分 析具有重要意义。
04 奈氏图和伯德图在控制系 统设计中的应用
根据性能指标要求进行参数调整
01
幅值裕度和相角裕度
通过奈氏图或伯德图可以直观地看出系统的幅值裕度和相角裕度，进而
判断系统的稳定性和性能。根据性能指标要求，可以通过调整系统参数
03 伯德图绘制方法与步骤
确定开环传递函数并转换为标准形式
写出开环传递函数
首先，需要写出控制系统的开环传递函数。这通常是一个关 于复数变量s的有理函数频率响应的 形式。这通常涉及到将传递函数转换为极坐标形式，并分离 出幅值和相位信息。
绘制幅频特性和相频特性曲线
来改变幅值裕度和相角裕度，以满足设计要求。
02
截止频率和带宽
截止频率和带宽是控制系统的重要性能指标。通过奈氏图或伯德图可以
确定系统的截止频率和带宽，进而根据性能指标要求进行参数调整，以
优化系统性能。
03
系统型别和稳态误差
控制系统设计中，通常需要考虑系统型别和稳态误差。通过奈氏图或伯
德图可以确定系统的型别和稳态误差系数，进而根据性能指标要求进行
02 奈氏图绘制方法与步骤
确定开环传递函数
写出开环传递函数
根据系统方框图或信号流图，写 出开环传递函数。
频率特性法基于控制系统的频率响应，即系统对不同频率正弦输入信号的响应 特性。通过分析系统的频率响应，可以了解系统的幅频特性和相频特性，进而 评估系统的稳定性、动态性能和稳态精度。
频率特性法在控制系统分析中应用
稳定性分析
通过频率特性法可以判断控制系 统的稳定性。例如，通过奈奎斯 特稳定判据，可以根据开环频率
性能指标
从伯德图中还可以提取出系统的性能指标，如带宽、相位裕度、幅值裕度等。这些指标对于控制系统的设计和分 析具有重要意义。
04 奈氏图和伯德图在控制系 统设计中的应用
根据性能指标要求进行参数调整
01
幅值裕度和相角裕度
通过奈氏图或伯德图可以直观地看出系统的幅值裕度和相角裕度，进而
判断系统的稳定性和性能。根据性能指标要求，可以通过调整系统参数
03 伯德图绘制方法与步骤
确定开环传递函数并转换为标准形式
写出开环传递函数
首先，需要写出控制系统的开环传递函数。这通常是一个关 于复数变量s的有理函数频率响应的 形式。这通常涉及到将传递函数转换为极坐标形式，并分离 出幅值和相位信息。
绘制幅频特性和相频特性曲线
来改变幅值裕度和相角裕度，以满足设计要求。
02
截止频率和带宽
截止频率和带宽是控制系统的重要性能指标。通过奈氏图或伯德图可以
确定系统的截止频率和带宽，进而根据性能指标要求进行参数调整，以
优化系统性能。
03
系统型别和稳态误差
控制系统设计中，通常需要考虑系统型别和稳态误差。通过奈氏图或伯
德图可以确定系统的型别和稳态误差系数，进而根据性能指标要求进行
02 奈氏图绘制方法与步骤
确定开环传递函数
写出开环传递函数
根据系统方框图或信号流图，写 出开环传递函数。
如何绘制伯德图讲诉
0.7
-10
( )
渐近线
40dB / Dec-4
-8
1
1
1
1
2
0.8 1.0
5
10
(deg)0° -30°
10T 5T
2T
T
T
T
T
左图是不同阻尼系数情况下的
-60°
0.1
-90° 0.2
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1
2T T 2
2
几个特征点： 0,() 0; 1 ,() ; ,() 。
T
2
相频特性曲线在半对数坐标中关于( 0, －90°)点是斜对称的。
这里要说明的是当 (0, 1 ) 时，() (0,90) ,当 ( 1 , )
20log K
() 180
K 1
K 1 log
0 K 1
对数幅频特性：
0
L() 20lg K 0
0
K 0 log 相频特性：
() K 0
180
Thursday, May 02, 2019
K 1 K 1 0 K 1
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
1
1
2
5 10 20
20T 10T 5T
2T T
T
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
Thursday, May 02, 2019
5
惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
-10
( )
渐近线
40dB / Dec-4
-8
1
1
1
1
2
0.8 1.0
5
10
(deg)0° -30°
10T 5T
2T
T
T
T
T
左图是不同阻尼系数情况下的
-60°
0.1
-90° 0.2
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1
2T T 2
2
几个特征点： 0,() 0; 1 ,() ; ,() 。
T
2
相频特性曲线在半对数坐标中关于( 0, －90°)点是斜对称的。
这里要说明的是当 (0, 1 ) 时，() (0,90) ,当 ( 1 , )
20log K
() 180
K 1
K 1 log
0 K 1
对数幅频特性：
0
L() 20lg K 0
0
K 0 log 相频特性：
() K 0
180
Thursday, May 02, 2019
K 1 K 1 0 K 1
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
1
1
2
5 10 20
20T 10T 5T
2T T
T
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
Thursday, May 02, 2019
5
惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
第五章_开环伯德图
典型环节的伯德图
一、对数坐标图
1. 幅频特性图： 纵坐标：幅值的对数20lg（dB），采用线性分度； 横坐标：用频率ω 的对数lgω 分度。
2.相频特性图 纵坐标：频率特性的相移，以度为单位，采用线性 分度； 横坐标：用频率ω 的对数lgω 分度。
1
( )
60 180
L( ) dB
40
90
12
6. 振荡环节 对数幅频特性 对数相频特性
G jω
1 2 T 2 jω 2ζ T jω 1
Lω 20lg 1 T 2ω2 2ζ Tω
2
2
ω t g1
2ζ Tω 2 2 1 T ω
低频段，即ωT<<1时
Lω 20lg1 ＝0 dB
2
1 T2
( )
0
G1
90
G2
180
显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由 2 ω 的变化范围要比 1 ω 大得多。 图可见， G1 ( s) ——最小相位系统 G 2 ( s ) ——非最小相位系统
26
b、当ω=∞时，其相角等于-90°（n-m），对 数幅频特性曲线的斜率为–20(n–m)dB/dec。有时 用这一特性来判别该系统是否为最小相位系统。 c、对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对 应关系。对于一个最小相位系统，我们若知道了 其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。 也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最 小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相 频特性。 非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能 差，响应缓慢。对响应要求快的系统，不宜采用 非最小相位元件。
一、对数坐标图
1. 幅频特性图： 纵坐标：幅值的对数20lg（dB），采用线性分度； 横坐标：用频率ω 的对数lgω 分度。
2.相频特性图 纵坐标：频率特性的相移，以度为单位，采用线性 分度； 横坐标：用频率ω 的对数lgω 分度。
1
( )
60 180
L( ) dB
40
90
12
6. 振荡环节 对数幅频特性 对数相频特性
G jω
1 2 T 2 jω 2ζ T jω 1
Lω 20lg 1 T 2ω2 2ζ Tω
2
2
ω t g1
2ζ Tω 2 2 1 T ω
低频段，即ωT<<1时
Lω 20lg1 ＝0 dB
2
1 T2
( )
0
G1
90
G2
180
显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由 2 ω 的变化范围要比 1 ω 大得多。 图可见， G1 ( s) ——最小相位系统 G 2 ( s ) ——非最小相位系统
26
b、当ω=∞时，其相角等于-90°（n-m），对 数幅频特性曲线的斜率为–20(n–m)dB/dec。有时 用这一特性来判别该系统是否为最小相位系统。 c、对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对 应关系。对于一个最小相位系统，我们若知道了 其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。 也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最 小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相 频特性。 非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能 差，响应缓慢。对响应要求快的系统，不宜采用 非最小相位元件。
关于绘制开环Bode图的解说
开环Bode 图的绘制 1关于绘制开环Bode 图的解说教材中有绘制的步骤，熟悉典型环节Bode 图，惯性、一阶微分、振荡环节的近似折线画法的，自然能从阅读步骤中读出味道。
用各环节的高频近似折线绘制开环Bode 图，只能用高频近似表达式，而不能用精确表达式。
因此，必须熟悉惯性、一阶微分、振荡环节的高频近似表达式。
例4.4 设某系统的开环传递函数为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1503.0250)141()1101(30)()(2s s s s s s H s G 试绘制其伯德图。
（绘制的图见4.23）解：(1)将开环传递函数中典型环节化为常数项为1的标准形式。
振荡环节也可采用固有频率表示的标准形式；注意，比例环节K 值将会发生变化。
本例的开环传递函数中各环节都是标准形式。
(2)计算K lg 2054.2930lg 20lg 20==K dB(3)开环传递函数中没有积分环节，则绘出K lg 20 dB 的水平直线开环传递函数中有积分环节，则绘出过(ω=1，K lg 20dB)点、斜率为－20dB/dec 的直线。
本例有积分环节，因此过(1，29.5 dB)点b 、斜率为－20dB/dec 的直线，此斜率线即为比例和积分环节对数幅频特性叠加的结果。
(4)从低到高列写各环节的转折频率，并标注在频率轴上。
本例有：惯性环节41=T ω，如图中c 点对应的频率；一阶微分环节102=T ω，如图中d 点的频率；振荡环节503=T ω，如图中e 点的频率；(5)从低到高，在原斜线转折频率对应处，将对应环节高频段近似线的斜率加到原斜线的斜率上，并从该转折频率对应点开始，按叠加所得斜率，绘制斜线，直至下一个环节的转折频率，再按频率叠加方法继续作图。
在本例中：在比例和积分环节叠加的斜线上，找到41=T ω对应的点c ，把惯性环节高频段斜率－20dB/dec 加到原斜率－20dB/dec 上，为－40dB/dec ，从c 点按－40dB/dec 斜率绘制斜线直到，102=T ω的d 点处，叠加上一阶微分环节的斜率，得－20dB/dec ，从d 点出发绘制－20dB/dec 斜率线到503=T ω的e 点处，叠加振荡环节的斜率，得－60dB/dec ，从e 点出发绘制－60dB/dec 斜率线。
如何绘制伯德图.
20 log K
20 log K
? (? )
180?
K ?1
K ? 1 log ?
0? K?1
K ? 0 log ?
? 180?
Sunday, October 07, 2018
对数幅频特性：
?? 0
L(? ) ? 20 lg K ? ??? 0
??? 0
K ?1 K ?1 0? K ?1
相频特性：
? (? ) ? ? K ? 0?
?( ? ) -63.4 -71.5 -76 -78.7 -81.9 -84.3 -87.1 -88.9 -89.4
当? ? 0时，? (0) ? 0;当? ? 1 时，? ( 1) ? ? ? ;当? ? ? 时，? (? ) ? ? ? 。
T
T4
2
由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(? 0, －45°)
当? ? 0时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当? ? ? 时，趋近于高频渐近线。
低频高频渐近线的交点为：20 log K ? 20 log K ? 20 log T? ，得：
T?
? 1，? o
?
1 T
，称为转折频率或交换频率。
S可und以ay, O用cto这ber两07,段201渐8 近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。 4
点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。
当时间常数T 变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状
都不变，仅仅是根据转折频率1/T 的大小整条曲线向左或向
右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上
下平移。
Sunday, October 07, 2018
7
振荡环节的频率特性
20 log K
? (? )
180?
K ?1
K ? 1 log ?
0? K?1
K ? 0 log ?
? 180?
Sunday, October 07, 2018
对数幅频特性：
?? 0
L(? ) ? 20 lg K ? ??? 0
??? 0
K ?1 K ?1 0? K ?1
相频特性：
? (? ) ? ? K ? 0?
?( ? ) -63.4 -71.5 -76 -78.7 -81.9 -84.3 -87.1 -88.9 -89.4
当? ? 0时，? (0) ? 0;当? ? 1 时，? ( 1) ? ? ? ;当? ? ? 时，? (? ) ? ? ? 。
T
T4
2
由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(? 0, －45°)
当? ? 0时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当? ? ? 时，趋近于高频渐近线。
低频高频渐近线的交点为：20 log K ? 20 log K ? 20 log T? ，得：
T?
? 1，? o
?
1 T
，称为转折频率或交换频率。
S可und以ay, O用cto这ber两07,段201渐8 近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。 4
点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。
当时间常数T 变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状
都不变，仅仅是根据转折频率1/T 的大小整条曲线向左或向
右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上
下平移。
Sunday, October 07, 2018
7
振荡环节的频率特性
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L( ),dB 渐近线,dB 误差,dB
0 -1 -2 -3 -4 Thursday, January 09, 1 20141
10T 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
-0.2 0.04 0 0 -0.2 0.04
-1 0 -1
-3 -7 -14.2 -20.04 0 -6 -14 -0.2 -20 -0.04
0.1
A( )
0.2 0.5
0.707
T
Thursday, January 09, 2014
11
振荡环节的波德图
L( ) 20 ( dB )
10
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1 .0
16 12 8 4 0
(1 T 2 2 ) 2 ( 2 T ) 2
0 ，A(0 )
1 L ， (0 ) 20 lg 2 。 2
因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能 有很大的误差。 Thursday, January 09, 10
2014
幅值 A( )与 T 的关系：
纯微分环节的波德图
① 纯微分： 20 A( ) L( ) 20 log A( ) 20 log 0 0.1 20 ( )
2
L( )(dB)
20dB / dec
微分环节
(rad / s )
1
10 20dB / dec
积分环节
( )(deg)
K 0
log
相频特性： ( ) K 0
2
积分环节的Bode图
K ⒉ 积分环节的频率特性：G( s) s K K K j e 2 频率特性： G ( j ) j K K A( ) ( ) tg 1 ( 0) 2 K L( ) 20 log A( ) 20 log L( ) / dB
2014
振荡环节的波德图
G ( j )
10 s 2 0.6s 1 K 10, T 1, 0.3
40dB / Dec
o
1 T
由图可见：对数幅频特性曲线有峰值。
Thursday, January 09, 2014 9
谐振频率，谐振峰值
对 A( ) 求导并令等于零，可解得 A( ) 的极值对应的频率 p。
( )(deg)
90° 45° 0° 1 20T
0° -45° -90° 1 20T
1 10T
1 5T
1 2T
1 T
2 T
5 T
10 T
20 T
1 10T
1 5T
第三节 典型环节的频率特性 之一 波德图
Thursday, January 09, 2014
1
比例环节的bode图
二、典型环节的波德图
⒈ 比例环节： (s) K , ( K 0),G( j ) K G A 幅频特性： ( ) K ；相频特性： ( ) 0
L( ) / dB
12
Thursday, January 09, 2014
振荡环节的波德图
1 几个特征点： 0, ( ) 0; , ( ) ; , ( ) 。 T 2
2 T 相频特性： ( ) tg 1 T 2 2
1
相频特性曲线在半对数坐标中关于( 0, －90°)点是斜对称的。
T
( )
2.0
-63.4
3.0
-71.5
4.0
-76
5.0
-78.7
7.0
-81.9
10
-84.3
20
-87.1
50
-88.9
100
-89.4
1 1 当 0时， (0) 0;当 时， ( ) ;当 时， () 。 T T 4 2 由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(0, －45°) 点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。
2
讨论 0 1时的情况。当K=1时，频率特性为：
1 G ( j ) (1 T 2 2 ) j 2 T
幅频特性为： 相频特性为：
A( )
1 (1 T 2 2 ) 2 ( 2 T ) 2
( ) tg 1
2 T 1 T 2 2
L 对数幅频特性为： ( ) 20 log A( ) 20 log (1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2
低频段渐近线： T 1时，L( ) 0
高频段渐近线： T 1时，L( ) 20 log (T 2 2 ) 2 40 log T 1 两渐近线的交点 o 称为转折频率。>0后斜率为-40dB/Dec。 T Thursday, January 09, 8
G( s) s G ( s ) 1 Ts G ( s ) T 2 s 2 2Ts 1
频率特性分别为：
G ( j ) j G ( j ) 1 jT G ( j ) 1 T 2 2 j 2 T
Thursday, January 09, 2014 14
当时间常数T 变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状 都不变，仅仅是根据转折频率1/T 的大小整条曲线向左或向 右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上 下平移。
Thursday, January 09, 2014 7
振荡环节的频率特性
K K n 2 ⒋ 振荡环节的频率特性： G ( s ) 2 2 T s 2Ts 1 s 2 n s n 2
当 低频段渐近线： T 1时，A( ) 1， 20 log A( ) 0 当 高频段渐近线： T 1时，A( ) T，L( ) 20 log T
这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐近线的交点为
相频特性：几个特殊点如下
0， ( ) 0；
K，L( ) 0
3
Thursday, January 09, 2014
惯性环节的Bode图
K K G ( j ) G( s) ⒊ 惯性环节的频率特性： Tj 1 Ts 1 K A( ) , ( ) tg 1T 1 T 2 2 ①对数幅频特性： ( ) 20 log A( ) 20 log K 20 log 1 T 2 2 ，为 L 了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下： 低频段：当 T 1时，L( ) 20 log K ，称为低频渐近线。 高频段：当 T 1时，L( ) 20 log K 20 log T ，称为高频渐近 线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示每增加10倍频程 下降20分贝）。 当 0时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐近线。 低频高频渐近线的交点为： log K 20 log K 20 log T ，得： 20
1 1 ) 时， ( ) (0,90) ,当 ( , ) T T
说当 (
或用下式计算
Thursday, January 09, 2014
( ) tg
1
T 1 2
tg
1
T 1 2
13
微分环节的频率特性
⒌ 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函 数分别为：
0
渐近线
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
( )
-10
40dB / Dec-4
-8
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T
0 .7 0 .8 1 .0
(deg)0° -30°
-60° -90° -120° -150° -180°
1 2 2 p T
该频率称为谐振峰值频率。可见，谐振峰值频率与阻尼系数
有关，当 1 0.707 时， p 0 ；当
当 1 2 时，有谐振峰值。
M p A( p ) 1 2 1 2 1
2
1 时，无谐振峰值； 2
由幅频特性 当
A( )
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
0 .1 0 .2 0 .3 0 .5 0 .7 1 .0
5 T
10 T
左图是不同阻尼系数情况下的 对数幅频特性和对数相频特性 图。上图是不同阻尼系数情况 下的对数幅频特性实际曲线与 渐近线之间的误差曲线。 当0.3<<0.8，误差约为±4dB
这里要说明的是当 (0, 时， ( ) (90,180 ) 。此时若根据相频特性的表达式用计算器 来计算只能求出±90°之间的值(tg-1函数的主值范围)，也就是
1 , ) 时，用计算器计算的结果要经过转换才能得到 。 T 1 即当 ( , ) 时，用计算器计算的结果要减180°才能得到 。 T
40 20 20 40
K 10
20 log K 20 log , 当K 1时， 1, L( ) 0;
1 10 100
K 1
10，L( ) 20
可见斜率为－20dB/dec
( )
90
1 10 100
当K 0时， 1, L( ) 20 log K ;
1 T 1 o ，称为转折频率或交换频率。 ， T
Thursday, January 09, 2014
可以用这两段渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。
4
惯性环节的Bode图
10 渐近线 0 -10 -20 0° -45° -90° 1 20T
0 -1 -2 -3 -4 Thursday, January 09, 1 20141
10T 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
-0.2 0.04 0 0 -0.2 0.04
-1 0 -1
-3 -7 -14.2 -20.04 0 -6 -14 -0.2 -20 -0.04
0.1
A( )
0.2 0.5
0.707
T
Thursday, January 09, 2014
11
振荡环节的波德图
L( ) 20 ( dB )
10
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1 .0
16 12 8 4 0
(1 T 2 2 ) 2 ( 2 T ) 2
0 ，A(0 )
1 L ， (0 ) 20 lg 2 。 2
因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能 有很大的误差。 Thursday, January 09, 10
2014
幅值 A( )与 T 的关系：
纯微分环节的波德图
① 纯微分： 20 A( ) L( ) 20 log A( ) 20 log 0 0.1 20 ( )
2
L( )(dB)
20dB / dec
微分环节
(rad / s )
1
10 20dB / dec
积分环节
( )(deg)
K 0
log
相频特性： ( ) K 0
2
积分环节的Bode图
K ⒉ 积分环节的频率特性：G( s) s K K K j e 2 频率特性： G ( j ) j K K A( ) ( ) tg 1 ( 0) 2 K L( ) 20 log A( ) 20 log L( ) / dB
2014
振荡环节的波德图
G ( j )
10 s 2 0.6s 1 K 10, T 1, 0.3
40dB / Dec
o
1 T
由图可见：对数幅频特性曲线有峰值。
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谐振频率，谐振峰值
对 A( ) 求导并令等于零，可解得 A( ) 的极值对应的频率 p。
( )(deg)
90° 45° 0° 1 20T
0° -45° -90° 1 20T
1 10T
1 5T
1 2T
1 T
2 T
5 T
10 T
20 T
1 10T
1 5T
第三节 典型环节的频率特性 之一 波德图
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比例环节的bode图
二、典型环节的波德图
⒈ 比例环节： (s) K , ( K 0),G( j ) K G A 幅频特性： ( ) K ；相频特性： ( ) 0
L( ) / dB
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振荡环节的波德图
1 几个特征点： 0, ( ) 0; , ( ) ; , ( ) 。 T 2
2 T 相频特性： ( ) tg 1 T 2 2
1
相频特性曲线在半对数坐标中关于( 0, －90°)点是斜对称的。
T
( )
2.0
-63.4
3.0
-71.5
4.0
-76
5.0
-78.7
7.0
-81.9
10
-84.3
20
-87.1
50
-88.9
100
-89.4
1 1 当 0时， (0) 0;当 时， ( ) ;当 时， () 。 T T 4 2 由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(0, －45°) 点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。
2
讨论 0 1时的情况。当K=1时，频率特性为：
1 G ( j ) (1 T 2 2 ) j 2 T
幅频特性为： 相频特性为：
A( )
1 (1 T 2 2 ) 2 ( 2 T ) 2
( ) tg 1
2 T 1 T 2 2
L 对数幅频特性为： ( ) 20 log A( ) 20 log (1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2
低频段渐近线： T 1时，L( ) 0
高频段渐近线： T 1时，L( ) 20 log (T 2 2 ) 2 40 log T 1 两渐近线的交点 o 称为转折频率。>0后斜率为-40dB/Dec。 T Thursday, January 09, 8
G( s) s G ( s ) 1 Ts G ( s ) T 2 s 2 2Ts 1
频率特性分别为：
G ( j ) j G ( j ) 1 jT G ( j ) 1 T 2 2 j 2 T
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当时间常数T 变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状 都不变，仅仅是根据转折频率1/T 的大小整条曲线向左或向 右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上 下平移。
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振荡环节的频率特性
K K n 2 ⒋ 振荡环节的频率特性： G ( s ) 2 2 T s 2Ts 1 s 2 n s n 2
当 低频段渐近线： T 1时，A( ) 1， 20 log A( ) 0 当 高频段渐近线： T 1时，A( ) T，L( ) 20 log T
这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐近线的交点为
相频特性：几个特殊点如下
0， ( ) 0；
K，L( ) 0
3
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惯性环节的Bode图
K K G ( j ) G( s) ⒊ 惯性环节的频率特性： Tj 1 Ts 1 K A( ) , ( ) tg 1T 1 T 2 2 ①对数幅频特性： ( ) 20 log A( ) 20 log K 20 log 1 T 2 2 ，为 L 了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下： 低频段：当 T 1时，L( ) 20 log K ，称为低频渐近线。 高频段：当 T 1时，L( ) 20 log K 20 log T ，称为高频渐近 线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示每增加10倍频程 下降20分贝）。 当 0时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐近线。 低频高频渐近线的交点为： log K 20 log K 20 log T ，得： 20
1 1 ) 时， ( ) (0,90) ,当 ( , ) T T
说当 (
或用下式计算
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( ) tg
1
T 1 2
tg
1
T 1 2
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微分环节的频率特性
⒌ 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函 数分别为：
0
渐近线
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
( )
-10
40dB / Dec-4
-8
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T
0 .7 0 .8 1 .0
(deg)0° -30°
-60° -90° -120° -150° -180°
1 2 2 p T
该频率称为谐振峰值频率。可见，谐振峰值频率与阻尼系数
有关，当 1 0.707 时， p 0 ；当
当 1 2 时，有谐振峰值。
M p A( p ) 1 2 1 2 1
2
1 时，无谐振峰值； 2
由幅频特性 当
A( )
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
0 .1 0 .2 0 .3 0 .5 0 .7 1 .0
5 T
10 T
左图是不同阻尼系数情况下的 对数幅频特性和对数相频特性 图。上图是不同阻尼系数情况 下的对数幅频特性实际曲线与 渐近线之间的误差曲线。 当0.3<<0.8，误差约为±4dB
这里要说明的是当 (0, 时， ( ) (90,180 ) 。此时若根据相频特性的表达式用计算器 来计算只能求出±90°之间的值(tg-1函数的主值范围)，也就是
1 , ) 时，用计算器计算的结果要经过转换才能得到 。 T 1 即当 ( , ) 时，用计算器计算的结果要减180°才能得到 。 T
40 20 20 40
K 10
20 log K 20 log , 当K 1时， 1, L( ) 0;
1 10 100
K 1
10，L( ) 20
可见斜率为－20dB/dec
( )
90
1 10 100
当K 0时， 1, L( ) 20 log K ;
1 T 1 o ，称为转折频率或交换频率。 ， T
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可以用这两段渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。
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惯性环节的Bode图
10 渐近线 0 -10 -20 0° -45° -90° 1 20T