一元二次方程、二次函数及一元二次不等式

第01讲一元二次方程、二次函数的图像与性质及一元二次不等式的求解 课程要求：
1、掌握用十字相乘和公式法求一元二次方程；
2、掌握二次函数的图像及性质；
3、掌握利用一元二次方程和二次函数解一元二次不等式。

十字相乘法
一、复习相关知识：
1、计算：（1）()()23x x ++= （2）()()23x x +-=
（3）()()23x x -+= （4）()()23x x --=
（5）()()x a x b ++=
思考：1、在()x a +与()x b +相乘时，二次项、一次项、常数项分别是怎样产生的？是什么运算？ 2、根据分解因式和乘法的互逆关系，能把多项式()2
x a b x a b +++分解因式吗？
二、例1．把下列各式分解因式：
（1）232x x ++ （2）276x x -+
（3）2421x x -- （4）2
215x x --
三、方法总结：将二次三项式2
x px q ++分解因式，关键是选择a 和b ，使 q =， p = （1）q 为正数时，a 、b ，且与 同号；
（2）q 为负数时，a 、b ，其中绝对值 （填“较大”或“较小”）因数与p 同号； （3）先把 分解成若干组两数之积，选择其中两数之和等于 的一组数
练习：把下列各式分解因式：
（1）298x x ++ （2）2712x x -+
（3）2421a a --+ （4）2328b b --
四、解下列方程——一元二次方程
（1）220x x --= （2）2560x x +-=
变式2 若 , ),4)(3(2
==-+=++b a x x b ax x 则 十字相乘法分解因式:
212122112()a a x a c a c x c c +++ 212122112()a a x a c a c x c c +++
1122()()a x c a x c =++
例题： 23720x x -+=
2(1)2320y y +-= 2(2)31080x x +-= 2(3)431450x x --=
2(4)322240x x -+-=
解一元二次方程十字相乘法专项练习题(1) a2－7a+6=0；(2)8x2+6x－35=0；
(3)18x2－21x+5=0；(4) 20－9y－20y2=0；
(5)2x2+3x+1=0；(6)2y2+y－6=0；
(7)6x2－13x+6=0；(8)3a2－7a－6=0；
(9)6x2－11x+3=0；(10)4m2+8m+3=0；(11)10x2－21x+2=0；(12)8m2－22m+15=0；(13)4n2+4n－15=0；(14)6a2+a－35=0；
一元二次方程
直接开方法：
例题一：（1）24x = （2） 29x = （3）2360x -= （4）2120x -=
例题二：2
(2)4x += 2(3)9x -= 2
(4)5x -=
配方法：
24x x ++ =（ ）2 24x x -+ =（ ）2
26x x ++ =（ ）2 26x x -+ =（ ）2 29x x ++ =（ ）2 29x x -+ =（ ）2
例题一：223x x --=0 2890x x -+= x 2+6x -11=0
公式法 解下列方程：
因式分解法
例题 2
320x x -= )3(2)3(x x x -=-
、
二次函数的图象及其性质
一、二次函数的表示形式
1．一般式：y＝；
2．顶点式：y＝，其中为抛物线顶点坐标；3．零点式：y＝，其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标．
一元二次不等式及其解法
设方程()002
≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：
c bx ax y +
+=2
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
3.一元二次不等式恒成立情况小结：
20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔ 20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔
例１． 解下列不等式：
(1)27120x x -+>； (2) 2280x x --<； (3) 22480x x +-<．
（4）2230x x --+≥ （5）22740x x +-> （6）2
890x x -+->
例题2 （1）解不等式205x x -<+； （若改为205x x -≤+呢？） （2）解不等式23
17
x x -<+；
1．不等式2x －3x ＋2<0的解集为 ( )
A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
B ．(－2，－1)
C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D ．(1,2)
2．设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫x |－1<x <13，则ab 的值为 ( )
A ．－3
B ．－5
C ．6
D ．5
3．若关于x 的方程2x ＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．若a <0，则关于x 的不等式2x －4ax －52a >0的解是____________．
5．不等式2x －2x ＋a >0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．
6、.不等式121
3≥--x
x 的解集是
7、不等式(5)(6)0x x -->的解集是
8、已知集合M ＝｛x |x ＜3}，N ＝｛x |0862
<+-x x ｝，则M ∩N ＝（ ）
A ．∅
B ．｛x |0＜x ＜3}
C ．｛x |1＜x ＜3}
D ．｛x |2＜x ＜3}
不等式与集合真题训练
（2012年新课标卷文1）已知集合已知集合A={x |x 2
－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（ ） （A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅
（2013年新课标卷1）已知集合A=｛x |x 2
－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则( ) A 、A∩B=∅ B 、A
B=R C 、B ⊆A
D 、A ⊆B
（2014年新课标卷1文1）已知集合{}{}|13,|21M x x N x x =-<<=-<<，则M N ⋂=（ ） A. )1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(-
（2014年新课标卷2文１）设集合2
{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =（ ）
A.∅
B. {}2
C. {0}
D. {2}-
（2014年全国卷理2）设集合2
{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N ⋂= （ ）
A ．(0,4]
B ．[0,4)
C ．[1,0)-
D ．(1,0]-
(2014年新课标卷1理1)已知集合{}
{}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ，则A B =I （ ）
A ．]1,2[--
B ． )2,1[- C.．]1,1[- D ．)2,1[
（2014年新课标卷2理1） 设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ （2015年新课标卷2文1）已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（ ）
A ．()1,3-
B ．()1,0-
C ．()0,2
D ．()2,3
（2015年新课标卷2理1）已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}
(1)(20B x x x =-+<,则A B =I （ ）
A ．{}1,0A =-
B ．{}0,1
C ．{}1,0,1-
D ．{}0,1,2
（2016年新课标卷1文1）设集合{}1,3,5,7A =,{}
25B x x =≤≤,则A B =I （A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7}
（2016年新课标卷2文1）已知集合{
123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =I （ ） （A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，
，，， （C ）{123}，， （D ）{12}，
（2017年新课标卷2文1）已知集合{}
2A x x =<，{}
320B x x =->，则 A ．3=2A
B x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．=A B ∅
C ．3=2A B x x ⎧⎫
<⎨⎬⎩
⎭ D ．=A B R。