2019年人教版A版高三数学(理)高考一轮复习6.1 不等关系与不等式教学设计及答案

第一节不等关系与不等式
不等式的概念和性质
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
知识点一实的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b⇔a－b>0；
(2)a＝b⇔a－b＝0；
(3)a<b⇔a－b<0.
必备方法比较大小的常用方法：
(1)作差法
一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法
一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个的符号)．
[自测练习]
1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．M<N B．M>N
C．M＝N D．不确定
解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，
又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.
答案：B
知识点二不等式性质
易误提醒
1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c . 2．在乘法法则中，要特别注意“乘c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当
c ＝0时，取“＝”)．
[自测练习]
2．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b
C ．a 2>b 2
D ．a 3>b 3
解析：当c <0时，ac >bc 不成立，故A 不正确，当a ＝1，b ＝－3时，B 、C 均不正确，故选D.
答案：D
3．若a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A.b a >
b ＋1
a ＋1
B ．a ＋1a >b ＋1b
C ．a ＋1b >b ＋1a
D.2a ＋b a ＋2b >a b
解析：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1
a
，故选C.
答案：C
4．已知a <0，－1<b <0，那么a ，ab ，ab 2的大小关系是________． 解析：
⎭
⎪⎬⎪
⎫－1<b <0⇒0<b 2<1a <0⇒a <ab 2<0， 又ab >0，∴ab >ab 2>a . 答案：ab >ab 2>a
考点一 利用不等式(组)表示不等关系|
1．将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x ，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x 应满足的不等关系．
解：由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
5－x >0， 5－x ＋ 12－x >13－x ，
5－x 2
＋ 12－x 2
< 13－x 2
.
2．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两台设备上加工，在A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，
B 两台设备每月有效使用时分别为400和500.写出满足上述所有不等
关系的不等式．
解：设甲、乙两种产品的产量分别为x 件，y 件，由题意可知，
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ≤400，
2x ＋y ≤500，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .
利用不等式(组)表示不等关系的一个注意点及一个关键点： 关键点：准确将题目中的文字语言转为学符号语言．
注意点：要注意“不超过”，“至少”，“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．
考点二 不等式性质及应用|
1．(2016·大庆质检)若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( )
A.1a －b >1
a B.1a >1b
C ．|a |>|b |
D ．a 2>b 2
解析：由a <b <0，可用特殊值法加以验证，取a ＝－2，b ＝－1，则
1a －b >1
a 不成立，选A. 答案：A
2．(2016·武汉调研)若实a ，b ∈(0,1)，且满足(1－a )b >1
4
，则
a ，
b 的大小关系是( )
A ．a <b
B ．a ≤b
C ．a >b
D ．a ≥b
解析：∵a ，b ∈(0,1)，∴1－a >0，又(1－a )b >1
4，
∴14<⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 22，12<1－a ＋b
2，即b －a >0，故选A. 答案：A
3．设a ，b 是实，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1
b
”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：法一：因为a ＋1a －⎝ ⎛
⎭
⎪⎫b ＋1b ＝ a －b ab －1 ab
，所以若
a >
b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛
⎭
⎪⎫b ＋1b ＝ a －b ab －1 ab
>0，则充分性成立；
当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1
b 成立，但a >b >1不成立，所
以必要性不成立，故选A.
法二：令函f (x )＝x ＋1x ，则f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1
x
2，可知f (x )
在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函，在(－1,1)上为减函，所以“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1
b
”的充分不必要条件，选A.
答案：A
运用不等式性质求解问题的两个注意点
1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推判定失误．
2．对于不等式的常用性质，要注意弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据．
考点三 比较大小|
(1)若实a ≠1，比较a ＋2与3
1－a 的大小；
(2)比较a a b b 与a b b a (a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)的大小． [解] (1)a ＋2－31－a ＝－ a 2＋a ＋1
1－a
，
∵a 2
＋a ＋1＝⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋122＋3
4>0，∴－(a 2＋a ＋1)<0，
∴当1－a >0，即a <1时，－ a 2＋a ＋1 1－a <0，则有a ＋2<3
1－a .
当1－a <0即a >1时，－ a 2＋a ＋1 1－a >0，则有a ＋2>3
1－a .综上
知，当a <1时，a ＋2<3
1－a
，
当a >1时，a ＋2>3
1－a
.
(2)a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b
， 当a >b >0时，a
b
>1，a －b >0，
则⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b a －b
>1，∴a a b b >a b b a ； 当b >a >0时，0<a b
<1，a －b <0，
则⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b a －b
>1，∴a a b b >a b b a ； 当a ＝b >0时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b a －b
＝1，∴a a b b ＝a b b a ，
综上知a a b b ≥a b b a (当且仅当a ＝b 时取等号)．
比较两个(式)大小的两种方法
(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推都要有充分的依据．
(2)用作商法比较代式的大小一般适用于分式、指式、对式，作商只是思路，关键是简变形，从而使结果能够与1比较大小．
已知实a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，
b ，
c 的大小关系是( )
A ．c ≥b >a
B ．a >c ≥b
C ．c >b >a
D ．a >c >b
解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，
∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2.
∵1＋a 2
－a ＝⎝
⎛⎭⎪⎫a －122＋3
4>0，∴1＋a 2>a ，
∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a . 答案：A
10.不等式变形中不等价致误
【典例】 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．
[解析] 法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，
即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，
于是得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝3，
n ＝1.
∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，
∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. 法
二
：
由
⎩⎪⎨⎪⎧
f －1 ＝a －b ，
f 1 ＝a ＋b
得
⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝1
2
[f －1 ＋f 1 ]，b ＝12[f 1 －f －1 ].
∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，
∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.
法三：由⎩
⎪⎨
⎪⎧
1≤a －b ≤2，
2≤a ＋b ≤4，
确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
32，12
时，
取得最小值4×32－2×1
2＝5，
当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，
取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10. [答案] [5,10]
[易误点评] 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，
b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．
[防范措施] (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．
[跟踪练习] 若α，β满足⎩⎪⎨
⎪⎧
－1≤α＋β≤1，
1≤α＋2β≤3，
试求α＋3β
的取值范围．
解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.
则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝1，
x ＋2y ＝3，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝2.
∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．
A 组 考点能力演练
1．已知1a <1b
<0，则下列结论错误的是( ) A ．a 2<b 2
B.b a ＋a b >2 C ．ab >b 2 D ．lg a 2<lg ab
解析：∵1a <1b <0，∴1b －1a ＝a －b ab
>0，∴a －b >0， ∴ab －b 2＝(a －b )b <0，∴ab <b 2，故选C.
答案：C
2．已知实a ，b ∈(0,1)，且满足cos πa <cos πb ，则下列关系式成立的是( )
A ．ln a <ln b
B ．sin a <sin b C.1a <1b
D ．a 3<b 3 解析：因为a ，b ∈(0,1)，则πa ，πb ∈(0，π)，而函y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，又cos πa <cos πb ，所以πa >πb ，即a >b ，
由函y ＝ln x ，y ＝sin x ，y ＝1x
，y ＝x 3的单调性知C 正确． 答案：C
3．(2016·资阳一诊)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( )
A ．若a >b ，则|a |>|b |
B ．若a >b ，则1a <1b
C ．若|a |>b ，则a 2>b 2
D ．若a >|b |，则a 2>b 2
解析：当a ＝1，b ＝－2时，A 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，B 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，C 不正确；对于D ，a >|b |≥0，则a 2>b 2，故选D.
答案：D
4．已知ab >0，则“b <1a ”是“a <1b
”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由b <1a ，ab >0得ab 2<b ，又b 2>0，所以a <1b ，同由a <1b
可得b <1a
，故选C. 答案：C
5．(2016·贵阳期末)下列命题中，正确的是( )
A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd
B ．若ac >bc ，则a >b
C ．若a c 2<b c 2，则a <b
D ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d
解析：A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B
项，当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误；C 项，∵a c 2<b c 2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误；故选C.
答案：C
6．若m <n ，p <q ，且(p －m )(p －n )<0，(q －m )(q －n )<0，则m ，n ，p ，q 的大小顺序是________．
解析：把p ，q 看成变量，则m <p <n ，m <q <n ，即得m <p <q <n . 答案：m <p <q <n
7．(2015·安庆二模)若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b
＋y ，③ax >by ，④a y >b x
这四个式子中，恒成立的不等式有________(写出所有恒成立的不等式的序号)．
解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①
不成立．又ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．又a y
＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝b x
，因此④不成立．由不等式的性质可推出②成立．
答案：②
8．如果0<a <b <c <d <e ，S ＝a b ＋c d ＋1e
，则把变量________的值增加1会使S 的值增加最大(填入a ，b ，c ，d ，e 中的某个字母)．
解析：显然变量a 或c 的值增加1会使S 的值增加，∵
0<a <b <c <d <e ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋c d ＋1e －⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b ＋c ＋1d ＋1e ＝1b －1d ＝d －b bd >0，∴a ＋1b ＋c d ＋1e >a b ＋c ＋1d ＋1e
，即当变量a 的值增加1会使S 的值增加最大．
答案：a
9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e a －c 2>e
b －d 2
. 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.
又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.
∴(a －c )2>(b －d )2>0.
∴0<1 a －c 2<1 b －d 2
. 又∵e <0，∴e a －c 2>e
b －d 2. 10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人比较两车队的收费哪家更优惠．
解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，
则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45
nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝
⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；
当n >5时，y 1<y 2；
当n <5时，y 1>y 2.
因此当单位去的人为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．
B 组 高考题型专练
1．(2013·高考天津卷)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：(a －b )·a 2<0，则必有a －b <0，即a <b ；而a <b 时，不能推出(a －b )·a 2<0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分而不必要条件．
2．(2012·高考湖南卷)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b
；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( )
A ．①
B ．①②
C ．②③
D ．①②③
解析：∵a >b >1，∴1a <1b
.又c <0， ∴c a >c b
，故①正确．
当c <0时，y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函，
又a >b >1，∴a c <b c ，故②正确．
∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.
∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，
即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．
答案：D
3．(2014·高考山东卷)已知实x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )
A.1x 2＋1>1y 2＋1
B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)
C ．sin x >sin y
D ．x 3>y 3
解析：根据指函的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．
4．(2014·高考四川卷)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )
A.a c ＞b d
B.a c ＜b d
C.a d ＞b c
D.a d ＜b c 解析：依题意取a ＝2，
b ＝1，
c ＝－2，
d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确．
答案：D。