苏教版高中数学选修2-2§3.3 复数的几何意义

高中数学学习材料
（灿若寒星 精心整理制作）
§3.3 复数的几何意义 课时目标 1.理解复平面及相关概念和复数平面内的点、向量的对应关系.2.掌握复数加减法的几何意义及应用.3.掌握复数模的概念及其几何意义．
1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
x 轴叫做________，y 轴叫做________，实轴上的点都表示________；除________外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的两种几何意义
复数z ＝a ＋b i 、复平面内的点Z (a ，b )和平面向量OZ →之间的关系可用下图来表示
3．复数的模
若z ＝a ＋b i ，则|z |＝__________.
4．复数加减法的几何意义 (1)设复数z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，则复数z 1＋z 2所对应的向量是以OZ 1→、OZ 2
→为邻边的平行四边形的__________表示的向量OZ →，z 1－z 2所对应的向量是________．
(2)两个复数差的模的几何意义就是复平面内与这两个复数对应的__________的________．
一、填空题
1．i ＋i 2在复平面内表示的点在第________象限．
2．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于第________象限．
3．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值为________．
4．已知|log 3m ＋4i|＝5，则实数m ＝________.
5．向量OZ 1→对应复数5－4i ，向量OZ 2→对应复数－5＋4i ，则向量OZ 1→＋OZ 2→对应复数
________．
6．在复平面内，复数1＋i 和1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB
→|＝________.
7．在复平面上，复数－3－2i ，－4＋5i,2＋i ，z 分别对应点A ，B ，C ，D ，且ABCD 为平行四边形，则z ＝________.
8．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．
二、解答题
9．当实数m 为何值时，复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面中的对应点位于第四象限？位于x 轴的负半轴上？
10．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z 2＋i
，且|ω|＝52，求ω.
能力提升
11．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．
12．若z ∈C ，且|z |＝1，求|z －i|的最大值．
1．复数的几何意义包含两种：复平面内的点和向量与复数的对应关系；两个复数差的
模对应两点间的距离．
2．利用复数的几何意义可以解决一些距离的范围、轨迹问题．
答 案
知识梳理
1．实轴 虚轴 实数 原点
3．a 2＋b 2
4．(1)对角线 Z 2Z 1→ (2)两点间 距离
作业设计
1．二
2．一
3．4
解析 ∵⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－3m －4＝0m 2－5m －6≠0， ∴m ＝4.
4．27或127 解析 ∵log 23m ＋42＝5，∴log 23m ＝9， ∴log 3m ＝3或log 3m ＝－3，∴m ＝27或m ＝127
. 5．0
解析 (5－4i)＋(－5＋4i)＝0.
6．2
解析 AB →＝OB →－OA →＝1＋3i －(1＋i)＝2i ，
∴|AB →|＝2.
7．3－6i
解析 由于AB →＝DC →，
∴2＋i －z ＝(－4＋5i)－(－3－2i)，
∴z ＝3－6i.
8．4
解析 复数z 满足条件|z |＝1，z 所对应的点的轨迹是单位圆，而|z ＋22＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－22，－1)的距离．
从图形上可得|z ＋22＋i|的最大值是4.
9．解 当复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面上的对应点位于第四象限时， ⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧ m <3或m >5，－7<m <4.∴－7<m <3. 当复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面上的对应点位于x 轴的负半轴上时， ⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－8m ＋15<0， ①m 2＋3m －28＝0. ② 由②得m ＝－7或m ＝4，∵m ＝－7不适合①，
∴m ＝4.
10．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意，得a ＝3b ≠0.
∵|ω|＝|z 2＋i |＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510， 将a ＝3b 代入上式，得a ＝±15，b ＝±5，
故ω＝±15＋5i 2＋i
＝±(7－i)． 11．解 方法一 设D 点对应复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，
又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)．
∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝⎛⎭⎫x 2，y －12.
∵平行四边形对角线互相平分，
∴⎩⎨⎧ 32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.
方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．
则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，
又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，
由已知AD →＝BC →.
∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.
12．解 方法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，
则|z －i|＝a 2＋(b －1)2.
∵a 2＋b 2＝1，∴|z －i|＝2－2b .
又∵|b |≤1，∴0≤2－2b ≤4，
∴当b ＝－1时，|z －i|＝2为最大值．
方法二 因为|z |＝1，所以点Z 是单位圆x 2＋y 2＝1上的点，|z －i|＝x 2＋(y －1)2表示点Z 与点(0,1)之间的距离，当点Z 位于(0，－1)时，|z －i|有最大值2.。