2024-2025学年高中数学选择性必修第一册(湘教版)配套课件第2章-2.1直线的斜率

π
3
或
3π
4
≤ <π .
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例4 已知直线1的倾斜角＝30°，且2 ⊥ 1，求直线1和2的斜率.
解：依题意画图（如图所示），由于直线1的倾斜角＝30°，且2 ⊥ 1，
则直线2的倾斜角＝120°.
于是，直线1的斜率1 = tan30° =
直线2 的斜率2 = tan120° = − 3.
在平面直角坐标系中，当直线与轴相交时，把轴正向绕交点逆时针旋转到与直线向上方
向首次重合所成的角叫作直线的倾斜角.
y
α' l
l'
3
0
α3
.P
l2
l1
α2
x
l
规定：当直线与轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为0°.
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倾斜角的范围：ሾ0，πሻ
说明 ：在平面直角坐标系中，每一条直线都有唯一确定的倾斜角与之对应，直线的倾斜角刻画了
3π
.
4
（3）由直线的一个方向向量为1 2 ＝
π
又因为0 ≤ < ，所以＝ .
6
2 3
2, 3
，可得斜率＝
2 3
3
2
3
＝3，
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跟踪训练
1. 如图，已知(3,2ሻ, (−4,1ሻ, (0， − 1ሻ，求直线, , 的斜率，
并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
12
1

43
7
11
1


0 (4)
2
解：直线AB的斜率k AB
直线BC的斜率k BC
直线CA的斜率kCA
2 (1)
1
30
由k AB 0及kCA 0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；
由k BC 0可知，直线BC的倾斜角均为钝角.
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第2章
2.1
直线的斜率
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学习目标
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程.
3.理解直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系.
4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象
设直线的倾斜角为.如图，从原点出发作有向线段表示向量 = 2 − 1 , 2 − 1 ，
则与直线平行或位于直线上，有相同的倾斜角，即∠ = .
由 = = (2 − 1 , 2 − 1 ሻ得 = tan =
2−1
(其中1
2−1
≠ 2 ).
3
;3ຫໍສະໝຸດ 中数学选择性必修第一册湖南教育版
三 直线斜率与向量的关系
例5 已知直线的斜率为2，求它的一个方向向量的坐标.
解: 设1（1，1），2（2，2）（其中1 ≠ 2）为直线上的两点，
则直线的一个方向向量＝（2 − 1，2 − 1）.
−
由经过两点的直线斜率的计算公式，可得2＝ 2−1.
上式即为经过两个不同点(1, 1ሻ, (2, 2ሻ（1 ≠ 2 ）的直线的
斜率公式.
名师点析
1.若直线 的斜率为，则它的一个方向向量的坐标为(1, ሻ.

2.若直线 的斜率为，它的一个方向向量的坐标为(, ሻ，则 k= .
y

l
(2, 2ሻ

(1, 1ሻ
（3）直线的斜率有可能不存在（ = 90° 时） .
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4．一条直线的斜率等于
1，则此直线的倾斜角等于________．
2.
450
【解析】∵ = tanα = 1，且0° ≤ < 180° ，∴ = 45° .
5．如图，直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，则(
＝3.
5−2
（2）＝
−1−2
＝
2−0
3−3
3
− 2.
（3）＝ 0− −1 ＝0.
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跟踪训练
1.求满足下列条件的直线的斜率：
（1）经过点（1， − 5），（3，7）；
（2）经过点（3，2），（5，2）；
6
0
（3）经过点（ − 2，6），（0，5）.
直线的倾斜程度，方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等，方向不同的直线，其
π
倾斜程度不同，倾斜角不相等.倾斜角越接近 2 ，倾斜程度越大.
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即时巩固
1.下列各图中表示直线倾斜角的为( C )
2.直线 = 1的倾斜角 =
90° .
3.直线 = 1的倾斜角 =
这些直线的区别是什么？
y
α' l3
l'
0
α3
.P
l2
l1
α2
x
结论 这些直线相对于轴的倾斜程度不同，也就是直线向上的方向与轴正方向所成的角不同.
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y
0
.P


x
结论 一个定点和与轴的一个定夹角唯一确定一条直线.
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直线的倾斜角的定义：
x
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典例剖析
一 求直线的斜率
例1 求满足下列条件的直线的斜率：
（1）经过点（2， − 8），（5，1）；
（2）经过点（0，2），（2， − 1）；
（3）经过点（ − 1，3），（0，3）.
解: 由经过两点的直线斜率的计算公式，可得
（1）＝
1−(−8ሻ
坡度 > 0表示这段道路是上坡， = 0表示是平路， < 0表示是下坡，||越大说明坡越陡.
π
这里的坡度就是倾斜角( ≠ 2 ሻ的正切.
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π
一条直线的倾斜角( ≠ 2 ሻ的正切值称为这条直线的斜率，即 = tan .
名师点析
如图所示，结合正切函数的图象与性质，我们不难发现斜率
2
1
即 2 − 1＝2（2 − 1）.
所以 ＝（2 − 1，2 − 1）＝（2 − 1）（1，2）.
因此，（1，2）是直线的一个方向向量的坐标.
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例6 根据下列条件，求直线的倾斜角：
（1）斜率为− 3；
（2）经过（ − 2，0），（ − 5，3）两点；
3.
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
【解析】由图可知1 < 0，2 > 3 > 0，故选 D.
D
)
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三 直线的斜率公式
思考 如何由直线上两点的坐标计算直线的斜率？
设直线不垂直于 轴.已知直线 上任意两个不同点(1, 1ሻ, (2, 2ሻ.
0° .
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二 直线的斜率
在日常生活中，我们常用“坡度”来描述一段道路相对于水平方向的倾斜程度.
如图，沿着这条道路从点前进到点，设在水平方向向右前进的距离为，
竖直方向上升的高度为（如果是下降，则的值为负实数），则坡度 =
上升高度
= .
水平距离
−
2. 经过两点（ −
1
2
2
1， 5 ），（，2）的直线的斜率为3，则=
−
7
15
.
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例2 已知直线经过点（ − 1，2），且斜率＝ − 2，判断（1， − 2），（0，4），
（0，0）中，哪些点在直线上，哪些点不在直线上.
−2−2
4−2
0−2
（3）一个方向向量为1 2＝ 2,
2 3
3
.
解: 设直线的倾斜角为.
（1）因为直线的斜率为− 3，所以tan ＝ − 3.
又因为0 ≤ < ，所以＝
2π
.
3
3−0
（2）由经过两点的直线斜率的计算公式，可得直线的斜率＝ −5− −2 ＝ − 1，
又因为0 ≤ < ，所以＝
D.0°<α<180°
2.过点 A(- 3, 2)与点 B(- 2, 3)的直线的倾斜角为( A )
A.45°
B.135°
C.45°或 135°
D.60°
解析: =
3− 2
− 2−(− 3)
=
3− 2
3− 2
= 1,所以tan = 1，
又0°≤α<180°，所以α =45°.
3.过点(−2, ሻ, (, 4ሻ的直线的斜率为 3,那么的值为 − .
π
（1）若0 ≤ ≤ 3 ，求斜率的取值范围；
π
3π
（2）若 4 ≤ ≤ 4 ，求斜率的取值范围；
（3）若− 3 ≤ ≤ −
3
，求倾斜角的取值范围；
3
（4）若−1 ≤ ≤ 3，求倾斜角的取值范围.
π

解：（1）由0 ≤ ≤ 3 及正切函数的性质，可得tan0 ≤ tan ≤ tan 3 ，
与倾斜角有如下关系：
≥0
π
当 ∈ ൤0， 2 ൰时，斜率
，且随倾斜角的增大而
当 ∈
π
, π 时，斜率
2
<0
，且随倾斜角的增大而
π
当＝ 时，直线与轴垂直，此时直线的斜率
2
可以用斜率来表示直线的倾斜程度.
不存在
增大
增大
.
；
；
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即时巩固
1.
3．思考辨析
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2. 已知直线 经过两点( + 1, − 1ሻ, (2, 1ሻ.
(1)当 为何值时,直线 的斜率是1?
(2)当 为何值时,直线 的倾斜角为90°?
(3)当 为何值时,直线 的倾斜角为锐角
-1-1
3
解:(1)kMN=
=1,解得 m=2.
+1-2
(2)直线 的倾斜角为90°,则直线 垂直于 轴，所以 + 1 = 2,得 = 1.

结论2.若直线 的斜率为，它的一个方向向量的坐标为(, ሻ则 k= .
解: 因为＝ 1− −1 ＝ − 2，＝ 0− −1 ＝2 ≠ −2，＝ 0− −1 ＝ − 2，
且直线经过点（ − 1，2），
所以点，在直线上，点不在直线上.
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二 直线斜率的范围
例3 已知直线的倾斜角为，斜率为. ≠ 90°时，＝tan .
(3)直线 的倾斜角为锐角,则直线 的斜率存在且大于0，
所以 =
−1−1
+1−2
> 0，得1 < < 2.
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随堂小测
1.若直线 经过第二、四象限,则直线 的倾斜角的取值范围是( C )
A.0°≤α<90°
B.90°≤α<180°
C.90°<α<180°
（3）由− 3 ≤ ≤ −
3
，可得
3
− 3 ≤ tan ≤ −
3
，
3
又0 ≤ < π，所以由正切函数的性质， 得倾斜角的取值范围是
2π
3
≤≤
5π
6
.
（4）由−1 ≤ ≤ 3，可得−1 ≤ tan ≤ 3，
又0 ≤ < π，所以由正切函数的性质， 得倾斜角的取值范围是 0 ≤ ≤
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新知学习
y
一 直线的倾斜角
思考1 确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的
一条直线（如右图），如何利用代数方法刻画直线呢？
y
0
l
.A
.B
结论 ①两点确定一条直线；
②一个点与一个方向确定一条直线.
x
0
l
x
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思考2 我们知道，在平面直角坐标系中，经过一点可以作无数条直线，它们组成一个直线束.
即0 ≤ tan ≤ 3，
所以斜率的取值范围是 0 ≤ ≤
3.
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π
π
（2）由正切函数的性质，可得当 4 ≤ < 2 时， = tan ≥ 1，
π
3π
π
当 2 < ≤ 4 时， = tan ≤ −1；当 = 2 时，斜率不存在.
综上，斜率的取值范围是 ≤ −1或 ≥ 1 .
−4
解析:由 = −2− = 3,得 = 3 3 − 5.
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课堂小结
1.直线的倾斜角的定义 ∈ ሾ0，πሻ
2.直线的斜率的定义
= tan
3.斜率公式
= tan =
2−1
(其中1
2−1
≠ 2 )
结论1.若直线 的斜率为，则它的一个方向向量的坐标为(1, ሻ.
(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．(
(2)倾斜角为 135°的直线的斜率为 1.(
×)
×)
(3)若一条直线的倾斜角为 α，则它的斜率为 k＝tan α.(
(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．(
√
×)
)
【解析】（1）任一直线都有倾斜角，但倾斜角为90° 的 直线不存在斜率 .
（2）tan135° = −1.