2019版文科数学大5.3 平面向量的数量积 含答案

§5。

3平面向量的数量积
最新考纲考情考向分析
1。

理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2。

了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题,考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现,属于中档题。

1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是［0，π]．
2．平面向量的数量积
定义设两个非零向量a，b的夹角为θ,则数量|a｜
3。

平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e）的夹角．则（1）e·a＝a·e＝|a|cos θ。

(2）a⊥b⇔a·b＝0。

(3)当a与b同向时,a·b＝|a｜|b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a｜|b|.
特别地，a·a＝|a｜2或｜a｜＝错误!.
（4)cos θ＝错误!.
(5）｜a·b｜≤｜a|｜b｜.
4．平面向量数量积满足的运算律
（1)a·b＝b·a；
（2）（λa）·b＝λ（a·b)＝a·(λb）(λ为实数);
(3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c。

5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1）若a＝（x,y)，则｜a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.
（2）设A（x1，y1)，B（x2，y2)，则A，B两点间的距离｜AB|＝|错误! |＝错误!。

(3）设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
（4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角,则cos θ＝错误!＝错误!。

知识拓展
1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b〉0且a,b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线．
2．平面向量数量积运算的常用公式
(1）(a＋b）·（a－b）＝a2－b2.
（2）(a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2。

(3)（a－b）2＝a2－2a·b＋b2。

题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(√) (2）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√）
（3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.（×)
（4）（a·b)c＝a（b·c）．（×）
(5）两个向量的夹角的范围是错误!。

（×)
（6）若a·b〉0,则a和b的夹角为锐角；若a·b<0,则a和b的夹角为钝角．（×）
题组二教材改编
2．[P105例4]已知向量a＝(2,1），b＝（－1,k），a·(2a－b)＝0,则k ＝________。

答案12
解析∵2a－b＝（4,2)－（－1,k）＝(5,2－k），
由a·（2a－b）＝0，得（2，1）·（5，2－k)＝0，
∴10＋2－k＝0,解得k＝12.
3．［P106T3]已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°,则向量b在向量a方向上的投影为________．
答案－2
解析由数量积的定义知,b在a方向上的投影为
|b｜cos θ＝4×cos 120°＝－2。

题组三易错自纠
4．设向量a＝(－1,2)，b＝（m，1），如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．
答案错误!
解析a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m，3),由题意得3（－1＋2m）－4(－2－m)＝0,则m＝－错误!,
所以a·b＝－1×错误!＋2×1＝错误!。

5．已知点A(－1，1)，B(1，2）,C(－2，－1），D(3,4）,则向量错误!在错误!方向上的投影为________．
答案错误!
解析错误!＝(2,1）,错误!＝(5,5)，
由定义知，错误!在错误!方向上的投影为错误!＝错误!＝错误!.
6．已知△ABC的三边长均为1，且错误!＝c，错误!＝a，错误!＝b，则a·b ＋b·c＋a·c＝________。

答案－错误!
解析∵<a，b>＝〈b，c〉＝<a,c>＝120°,｜a｜＝｜b｜＝|c｜＝1,
∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos 120°＝－错误!，
∴a·b＋b·c＋a·c＝－错误!。

题型一平面向量数量积的运算
1．设四边形ABCD为平行四边形，|错误!|＝6，|错误!｜＝4,若点M,N 满足错误!＝3错误!，错误!＝2错误!，则错误!·错误!等于(）
A．20 B。

15 C．9 D．6
答案C
解析错误!＝错误!＋错误!错误!，
错误!＝错误!－错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!，
∴错误!·错误!＝错误!（4错误!＋3错误!)·错误!(4错误!－3错误!）
＝错误!（16错误!2－9错误!2）＝错误!（16×62－9×42)＝9，故选C. 2．（2018届“超级全能生”全国联考)在△ABC中，AB＝4,BC＝6，∠ABC＝错误!,D是AC的中点,E在BC上,且AE⊥BD，则错误!·错误!等于（）
A．16 B．12
C．8 D．－4
答案A
解析以B为原点，BA，BC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系（图略)，A（4,0），B(0，0)，C(0，6），D（2,3），
设E(0，t），BD，→·错误!＝（2,3）·(－4，t)＝－8＋3t＝0，t＝错误!，即E错误!，错误!·错误!＝错误!·(0，6)＝16.故选A。

思维升华平面向量数量积的三种运算方法
（1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝｜a｜|b｜cos<a，b>．
(2）当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a＝（x1，y1),b＝(x2，y2）,则a·b＝x1x2＋y1y2。

(3）利用数量积的几何意义求解．
题型二平面向量数量积的应用
命题点1求向量的模
典例（1）（2018届广州海珠区综合测试)已知向量a，b的夹角为60°,|a|＝2，｜a－2b｜＝2，则｜b|等于()
A．4 B．2
C.错误!D．1
答案D
解析由｜a－2b｜＝2,
得（a－2b）2＝｜a|2－4a·b＋4|b|2＝4，
即｜a｜2－4|a｜｜b|cos 60°＋4|b|2＝4，
则|b｜2－｜b|＝0，解得｜b｜＝0(舍去)或｜b|＝1，故选D。

（2）(2017·衡水调研)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC ＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则｜错误!＋3错误!|的最小值为________．
答案5
解析建立平面直角坐标系如图所示，
则A（2，0）,设P（0，y），C（0，b)，则B（1，b)，则错误!＋3错误!
＝(2，－y）＋3(1,b－y）＝(5，3b－4y）．
所以|错误!＋3错误!｜
＝25＋3b－4y2(0≤y≤b)．
当y＝错误!b时，|错误!＋3错误!｜min＝5.
命题点2求向量的夹角
典例(1)（2017·山西四校联考）已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为______．
答案错误!
解析∵(2a－b)·(a＋b）＝6,∴2a2＋a·b－b2＝6,
又｜a|＝2，|b｜＝1，∴a·b＝－1，
∴cos〈a，b〉＝错误!＝－错误!，
又〈a,b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为错误!.
(2）(2018届吉林百校联盟联考)已知单位向量e1与e2的夹角为错误!，向量e1＋2e2与2e1＋λe2的夹角为错误!，则λ等于（）
A．－错误!B．－3
C．－2
3或－3 D．－1
答案B
解析依题意可得
｜e1＋2e2|＝错误!＝错误!，同理，|2e1＋λe2|＝错误!，
而(e1＋2e2）·（2e1＋λe2)＝4＋错误!λ，
又向量e1＋2e2与2e1＋λe2的夹角为错误!,
可知错误!＝错误!＝－错误!，
由此解得λ＝－错误!或－3，又4＋错误!λ〈0,
∴λ＝－3.
思维升华(1）求解平面向量模的方法
①写出有关向量的坐标,利用公式|a｜＝错误!即可．
②当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a|＝错误!.（2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝错误!，注意θ的取值范围为［0，π］．
②坐标法:若a＝（x1,y1）,b＝(x2，y2），则cos θ＝错误! .
③解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．跟踪训练(1）(2017·全国Ⅰ）已知向量a，b的夹角为60°，|a｜＝2，｜b|＝1，则｜a＋2b|＝________.
答案2错误!
解析方法一|a＋2b｜＝错误!
＝错误!
＝错误!
＝12＝23。

方法二（数形结合法)
由｜a｜＝|2b|＝2知,以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形
OACB，
如图,
则|a＋2b｜＝｜错误!｜.
又∠AOB＝60°，所以｜a＋2b|＝2错误!.
（2）(2017·山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量,若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是____________．
答案错误!
解析由题意知｜e1|＝｜e2｜＝1，e1·e2＝0，
|错误!e1－e2｜＝错误!＝错误!
＝错误!＝2。

同理|e1＋λe2｜＝1＋λ2。

所以cos 60°＝错误!
＝错误!＝错误!＝错误!,
解得λ＝错误!。

题型三平面向量与三角函数
典例(2017·广州海珠区摸底）在△ABC中，角A,B，C的对边分别为a，b,c,向量m＝（cos（A－B），sin(A－B）），n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－错误!.
(1)求sin A的值；
（2）若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量错误!在错误!方向上的投影．
解(1）由m·n＝－错误!，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B）sin B＝－错误!,
所以cos A＝－错误!。

因为0<A〈π，
所以sin A＝错误!＝错误!＝错误!.
(2)由正弦定理，得
a
sin A＝错误!，
则sin B＝错误!＝错误!＝错误!，
因为a〉b，所以A〉B,则B＝错误!,
由余弦定理得(4错误!）2＝52＋c2－2×5c×错误!，
解得c＝1.
故向量错误!在错误!方向上的投影为
|错误!|cos B＝c cos B＝1×错误!＝错误!。

思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
（1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式，然后求解．（2）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在
定义域内的有界性,求得值域等．
跟踪训练在平面直角坐标系xOy中,已知向量m＝错误!，n＝（sin x，cos x），x∈错误!。

(1)若m⊥n,求tan x的值;
(2)若m与n的夹角为错误!，求x的值．
解（1)因为m＝错误!，n＝(sin x，cos x），m⊥n.
所以m·n＝0，即
2
2sin x－错误!cos x＝0,
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2）因为｜m｜＝｜n｜＝1，所以m·n＝cos错误!＝错误!，
即错误!sin x－错误!cos x＝错误!，所以sin错误!＝错误!,
因为0<x<错误!,所以－错误!<x－错误!〈错误!，
所以x－错误!＝错误!，即x＝错误!.
利用数量积求向量夹角
典例已知直线y＝2x上一点P的横坐标为a，直线外有两个点A（－1,1),B(3,3）．求使向量错误!与错误!夹角为钝角的充要条件．
错解展示：
现场纠错
解错解中,cos θ〈0包含了θ＝π，
即错误!，错误!反向的情况,此时a＝1，
故错误!,错误!夹角为钝角的充要条件是0〈a〈2且a≠1.
纠错心得利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况．
1．（2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足｜a＋b|＝|a－b｜，则() A．a⊥b B．｜a｜＝|b｜
C．a∥b D．｜a｜〉｜b|
答案A
解析方法一∵｜a＋b｜＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝｜a－b｜2。

∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b。

∴a·b＝0.∴a⊥b。

故选A。

方法二利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD中，设错误!＝a，错误!＝b,
由｜a＋b｜＝｜a－b|知，|错误!｜＝｜错误!｜,
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD,故a⊥b。

故选A. 2．(2018届河北武邑中学调研)已知向量a＝(2,1)，b＝（1，3),则向量2a－b与a的夹角为(）
A．135°B．60°
C．45°D．30°
答案C
解析由题意可得2a－b＝2（2，1）－（1,3）＝（3，－1)，
则|2a－b｜＝错误!＝错误!，|a｜＝错误!＝错误!，
且（2a－b)·a＝（3，－1)·（2,1)＝6－1＝5，
设所求向量的夹角为θ，由题意可得cos θ＝错误!＝错误!＝错误!，
则向量2a－b与a的夹角为45°.
3．(2017·豫南九校联考）已知向量a＝(m，2),b＝(2，－1），且a⊥b，
则
|2a－b|
a·a＋b等于（）
A．－错误!B．1 C．2 D.错误!答案B
解析∵a⊥b，∴2m－2＝0,∴m＝1,则2a－b＝(0,5)，
a＋b＝（3，1)，∴a·（a＋b）＝1×3＋2×1＝5，
|2a－b|＝5，∴错误!＝错误!＝1,故选B。

4．(2018·乐山质检）在△ABC中，AB＝3，AC＝2,BC＝10,则错误!·错误!等于()
A．－错误!B．－错误! C.错误! D.错误!
答案D
解析在△ABC中，cos∠BAC＝错误!
＝错误!＝错误!,
∴错误!·错误!＝|错误!｜|错误!|cos∠BAC＝3×2×错误!＝错误!.
5．(2017·沈阳质检）在△ABC中,|错误!＋错误!|＝|错误!－错误!｜，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则错误!·错误!等于()
A。

8
9 B.错误! C.错误!D。

错误!
答案B
解析由｜错误!＋错误!｜＝|错误!－错误!｜，化简得错误!·错误!＝0，又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以△ABC为直角三角形．以A为原点,以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0），B（0，2）,C（1，0)．不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则E错误!,F错误!，
所以错误!＝错误!，错误!＝错误!，
所以错误!·错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.
6．（2017·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（错误!－错误!)·（错误!＋错误!－2错误!)＝0，则△ABC的形状为（)
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
答案C
解析因为(错误!－错误!）·(错误!＋错误!－2错误!)＝0，
即错误!·（错误!＋错误!)＝0，因为错误!－错误!＝错误!,
所以(错误!－错误!）·(错误!＋错误!）＝0，即｜错误!｜＝｜错误!|，
所以△ABC是等腰三角形，故选C.
7．（2017·全国Ⅰ）已知向量a＝（－1，2）,b＝(m，1)．若向量a ＋b与a垂直，则m＝________.
答案7
解析∵a＝(－1,2），b＝(m，1）,
∴a＋b＝（－1＋m,2＋1)＝(m－1,3）．
又a＋b与a垂直，∴（a＋b）·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.
8．（2018·银川质检)已知向量a，b的夹角为错误!,|a｜＝错误!，|b|＝2，则a·（a－2b)＝________.
答案6
解析a·（a－2b）＝a2－2a·b
＝2－2×错误!×2×错误!＝6.
9．（2018届吉林长春普通高中一模）已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝3,则｜a＋b＋c|＝________。

答案2
解析因为平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，所以由题意可知，a，b，c的夹角为120°，又｜a｜＝｜b|＝1，｜c｜＝3，所以a·b＝－错误!，a·c＝b·c＝－错误!,|a＋b＋c｜＝错误!＝2. 10．（2017·巢湖质检)已知a＝(λ,2λ)，b＝(3λ，2），如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是______________．
答案错误!∪错误!∪错误!
解析a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不共线，则错误!
解得λ<－错误!或0<λ<错误!或λ>错误!，
所以λ的取值范围是错误!∪错误!∪错误!。

11．(2018·贵阳质检）已知|a｜＝4,｜b|＝3，（2a－3b)·（2a＋b）＝61。

(1)求a与b的夹角θ；
（2）求|a＋b｜；
（3）若错误!＝a，错误!＝b,求△ABC的面积．
解 (1）因为(2a －3b ）·(2a ＋b )＝61,
所以4|a |2－4a·b －3|b ｜2＝61.
又｜a |＝4，｜b ｜＝3,所以64－4a·b －27＝61,
所以a·b ＝－6，
所以cos θ＝a·b ｜a||b |＝－64×3＝－错误!。

又0≤θ≤π，所以θ＝错误!。

（2）｜a ＋b |2＝(a ＋b )2＝｜a ｜2＋2a·b ＋|b |2
＝42＋2×(－6）＋32＝13，
所以|a ＋b |＝错误!.
（3）因为AB ，→与错误!的夹角θ＝错误!，
所以∠ABC ＝π－错误!＝错误!。

又｜错误!|＝|a |＝4，|错误!|＝｜b |＝3,
所以S △ABC ＝12｜错误!｜|错误!｜·sin ∠ABC
＝错误!×4×3×错误!＝3错误!.
12．（2017·江苏）已知向量a ＝（cos x ，sin x )，b ＝（3，－错误!），x ∈［0，π］．
（1）若a ∥b ，求x 的值；
(2)记f （x )＝a ·b ，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解 (1）因为a ＝（cos x ，sin x )，b ＝(3，－错误!），a ∥b ，
所以－错误!cos x ＝3sin x 。

若cos x ＝0,则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0.于是tan x ＝－错误!.
又x ∈［0，π],所以x ＝错误!。

（2）f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·（3，－错误!） ＝3cos x －3sin x
＝2错误!cos 错误!.
因为x ∈[0，π]，所以x ＋错误!∈错误!，
从而－1≤cos 错误!≤错误!，
于是，当x ＋错误!＝错误!，即x ＝0时,f (x )取得最大值3；
当x ＋π6＝π，即x ＝错误!时,f (x ）取得最小值－2错误!。

13．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且错误!＋错误!＋错误!＝0,则向量错误!在向量错误!方向上的投影为( ）
A ．3
B.错误! C ．－3
D ．－3 答案 B
为2，且OA →解析 △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径
＋错误!＋错误!＝0，
∴错误!＝错误!，
∴四边形OBAC为平行四边形．
∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，∴|错误!|＝｜错误!|＝｜错误! |，
∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO＝∠ACO＝60°，因此,∠ACB＝错误!∠ACO＝30°，
∴向量错误!在错误!方向上的投影为|错误!|×cos∠ACB＝2cos 30°＝错误!，故选B。

14．(2017·广东七校联考）在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°,AB ＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A,C重合)，且满足｜错误!|＝错误!，则错误!·错误!的取值范围为________．
答案错误!
解析不妨设点M靠近点A,点N靠近点C,以等腰直角
三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角
坐标系,如图所示，
则B（0,0），A（0，2）,C(2,0），
线段AC的方程为x＋y－2＝0（0≤x≤2)．
设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)（由题意可知0〈a〈1），
∴错误!＝（a，2－a），错误!＝(a＋1，1－a），
∴错误!·错误!＝a(a＋1)＋(2－a）（1－a）
＝2a2－2a＋2＝2错误!2＋错误!，
∵0〈a〈1,
∴由二次函数的知识可得错误!·错误!∈错误!。

15．（2018届河北武邑中学调研）设a ,b 为单位向量,且a ⊥b ,若向量c 满足|c －(a ＋b ）｜＝｜a －b |，则｜c |的最大值是（ )
A ．2错误!
B ．2
C 。

2
D ．1
答案 A
解析 由题意结合a ⊥b ，可设a ＝(1，0），b ＝(0，1），c ＝(x ，y )， 则由｜c －（a ＋b )｜＝｜a －b ｜，
得｜(x ，y )－（1,1)|＝｜(1，－1）｜，
由此可得（x －1)2＋（y －1）2＝2， 即c 对应的点的轨迹在以(1，1）为圆心的圆上，如图所示．
∵圆过原点，
∴|c ｜的最大值为圆的直径2错误!,故选A.
16．（2017·河北衡水模拟)已知在△ABC 所在平面内有两点P ,Q ，满足错误!＋错误!＝0，错误!＋错误!＋错误!＝错误!，若｜错误!｜＝4,｜错误!｜＝
2,S △APQ ＝23，则错误!·错误!的值为______．
答案 ±43
解析 由错误!＋错误!＝0知，P 是AC 的中点，由错误!＋错误!＋错误!＝错误!，可得错误!＋错误!＝错误!－错误!,即错误!＋错误!＝错误!,即错误!＝2错误!,
∴Q 是AB 边靠近B 的三等分点，
∴S △APQ ＝错误!×错误!×S △ABC ＝错误!S △ABC ，
∴S △ABC ＝3S △APQ ＝3×错误!＝2。

∵S △ABC ＝12|AB →|｜错误!|sin A ＝错误!×4×2×sin A ＝2，
∴sin A ＝错误!,∴cos A ＝±错误!，
∴AB ，→·错误!＝|错误!|｜错误!｜·cos A ＝±4错误!。

攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。