高中数学 平面向量数量积的坐标表示(知识讲解与典型例题)苏教版必修4
2021年高中苏教版数学必修4名师导学：第2章 第11课时 向量的数量积(3)
第11课时向量的数量积(3)教学过程一、问题情境问题1已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何用a和b的坐标来表示它们的数量积a·b呢?二、数学建构设x轴上的单位向量为i,y轴上的单位向量为j,则i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0.∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1i·(x2i+y2j)+y1j·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2=x1x2+y1y2.这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.问题2已知a=(x,y),如何将|a|用其坐标表示?∵a·a=a2=|a|2=x2+y2,∴|a |==.问题3设A(x1,y1),B(x2,y2),如何将||用A,B的坐标表示?设表示向量a的有向线段的起点是A(x1,y1),终点是B(x2,y2),则=a=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1),∴||=|a |=.这就是通过向量求模来推导平面内两点间的距离公式.问题4前面学过的向量的夹角、平行、垂直公式可以用坐标表示吗?(1)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a和b的夹角,则由向量数量积的定义得cos θ==.(2)a⊥b⇔a·b=0,可以写成a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(3)a∥b(b≠0)⇔存在唯一的实数λ,使得a=λb,可以写成a∥b⇔x1y2-x2y1=0.[3]三、数学运用【例1】已知向量a=(2, 1),b=(3,-1),求:(1)(3a-b)·(a-2b);(2)a与b的夹角θ.[4](见同学用书P55)[处理建议](1)第(1)问是向量的数量积坐标公式的直接应用,有两个运算方向:一是先开放再分别代入求解,二是先求每个因式的坐标再应用向量的数量积公式.(2)运用两向量夹角公式的坐标表示求解.[规范板书]解(1)方法1:由于a·b=2×3+1×(-1)=5,a2=22+12=5,b2=32+(-1)2=10,所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×5+2×10=0.方法2:由于3a-b=(3, 4),a-2b=(-4, 3),则(3a-b)·(a-2b)=-12+12=0.(2)由于a·b=5,|a |=,|b |=,所以cos θ===.由于θ∈,所以θ=.[题后反思](1)第(1)问的两种解法都是比较好的解法,都要求同学娴熟把握向量数量积的坐标运算.(2)求两个向量的夹角一般步骤:先算数量积,接着算每个向量的模,代入公式求余弦值,最终由角的范围写出角度.【例2】已知向量a=(1, 1),b=(0,-2),当k为何值时:(1)k a-b与a+b共线;(2)k a-b与a+b的夹角为120°.(见同学用书P55)[处理建议]先由向量a,b的坐标得到向量k a-b,a+b的坐标,再分别由向量共线的坐标表示及两向量夹角公式建立关于参数k的方程,解方程即可.[规范板书]解∵a=(1, 1),b=(0,-2),∴k a-b=k(1, 1)-(0,-2)=(k,k+2),a+b=(1, 1)+(0,-2)=(1,-1).(1)由k a-b与a+b共线,得k+2-(-k)=0,解得k=-1.(2)|k a-b |=,|a+b |==.又∵(k a-b)·(a+b)=(k,k+2)·(1,-1)=k-k-2=-2,而k a-b与a+b的夹角为120°,∴ cos120°=,即-=,化简得k2+2k-2=0,解得k=-1±.。
苏教版高中数学必修四课件平面向量的坐标表示与运算.pptx
小结反思
OA a (x1, y1),OB b (x2 , y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a (x1, y1)
AB OB OA (x2 x1, y2 y1)
作业 课本P75习题2.3-------1 , 4
y
M (4,3)
0 x
学生活动
问题2：在平面直角坐标系中，向量 OM 的 长度与方向是如何确定的？
y
M (4,3)
0 x
学生活动
问题3：这样一来，向量 OM 就可以用哪个 点的坐标来表示？反之，若点 M 的坐标 是 (4,3) ，则点 M (4,3) 对应的向量是什么？
y
M (4,3)
0 x
学生活动
量 i, j作为基底，则
a xi y j
数学应用
例1 已知O是坐标原点，点A在第一象限，
| OA | 4 3, xOA 600 ，求向量 OA 的坐
标。OA (2 3,6)
y
A
B
600
x
O
变式:若∠XOB=1500 ,OB=2,则向量 OB的
坐标是____(__3_,1_) .
构建数学 当向量用坐标表示时，向量的和、差以
数学应用 例3 已知 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ), ,P是直线 P1P2 上
一点,且 P1P PP2 ( 1) ,求点P的坐标;
及向量的数乘也都可以用坐标来表示；
a (x1, y1),b (x2 , y2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a (x1, y1)
构建数学
(新课程)高中数学 第十一课时 平面向量数量积的坐标表示 教案 苏教版必修4
教学目标：掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：向量数量积的坐标表示的应用.教学过程：Ⅰ.课题引入上一节我们学习了平面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，如果已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 和b 的坐标表示a ·b 呢?这是我们这一节将要研究的问题.Ⅱ.讲授新课首先我们推导平面向量的数量积坐标表示：记a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋(x 1y 2＋x 2y 1)i ·j ＋y 1y 1j 2＝x 1x 2＋y 1y 21.平面向量数量积的坐标表示：已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 22.两向量垂直的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0［例1］已知a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)，则a 与b 的夹角是多少?分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)有a ·b ＝ 3 ＋1＋ 3 ( 3 －1)＝4，｜a ｜＝2，｜b ｜＝2 2 .记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ｜a ｜｜b ｜ ＝22又∵0≤θ≤π， ∴θ＝π4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.［例2］已知a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，求x ，y 的值使(x a ＋y b )⊥a ，且｜x a ＋y b ｜＝1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，有x a ＋y b ＝(3x ＋4y ，4x ＋3y )又(x a ＋y b )⊥a ⇔(x a ＋y b )·a ＝0⇔3(3x ＋4y )＋4(4x ＋3y )＝0即25x ＋24y ＝0 ①又｜x a ＋y b ｜＝1⇔｜x a ＋y b ｜2＝1⇔(3x ＋4y )2＋(4x ＋3y )2＝1整理得：25x 2＋48xy ＋25y 2＝1即x (25x ＋24y )＋24xy ＋25y 2＝1②由①②有24xy ＋25y 2＝1 ③将①变形代入③可得：y ＝±57再代入①得：x ＝2435∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=753524y x ［例3］在△ABC 中，AB →＝(1，1)，AC →＝(2，k )，若△ABC 中有一个角为直角，求实数k的值.解：若A ＝90°，则AB →·AC →＝0，∴1×2＋1×k ＝0，即k ＝－2若B ＝90°，则AB →·BC →＝0，又BC →＝AC →－AB →＝(2，k )－(1，1)＝(1，k －1)即得：1＋(k －1)＝0，∴k ＝0若C ＝90°，则AC →·BC →＝0，即2＋k (k －1)＝0，而k 2－k ＋2＝0无实根，所以不存在实数k 使C ＝90°综上所述，k ＝－2或k ＝0时，△ABC 内有一内角是直角.评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.［例4］已知：O 为原点，A (a ，0)，B (0，a )，a 为正常数，点P 在线段AB 上，且AP →＝tAB → (0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值是多少?解：设P (x ，y )，则AP →＝(x －a ，y )，AB →＝(－a ，a )，由AP →＝tAB →可有： ⎩⎨⎧=-=-at y at a x ，解得⎩⎨⎧=-=at y at a x ∴OP →＝(a －at ，at )，又OA →＝(a ，0)，∴OA →·OP →＝a 2－a 2t∵a ＞0，可得－a 2＜0，又0≤t ≤1，∴当t ＝0时，·OP →＝a 2－a 2t ，有最大值a 2.［例5］已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝2，a ，b 夹角为60°，m 为何值时两向量3a ＋5b 与m a －3b 互相垂直？解法：(3a ＋5b )·(m a －3b )＝3m ｜a ｜2－9a ·b ＋5m a ·b －15｜b ｜2＝27m ＋(5m －9)×3×2cos60°－15×4＝42m －87＝0∴m ＝8742 ＝2914时，(3a ＋5b )⊥(m a －3b ). Ⅲ.课堂练习课本P 82练习1～8.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. Ⅴ.课后作业课本P 83习题 6，8，9，10平面向量数量积的坐标表示1．在已知a ＝(x ，y ），b ＝(－y ，x )，则a ，b 之间的关系为 （ ）A.平行B.不平行不垂直C.a ⊥bD.以上均不对2．已知a ＝（－4，3），b ＝(5，6），则3|a |2－4a ·b 为 （ ）A.63B.83C.23D.573．若a ＝（－3，4），b ＝(2，－1），若（a －x b )⊥（a －b )，则x 等于 （ ）A.－23B. 72C.－73D.－744．若a ＝（λ，2），b ＝(－3，5），a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ）A.（103 ，+∞）B.［103，+∞）C.（－∞，103） D.（－∞，103 ］ 5．已知a ＝（－2，1），b ＝（－2，－3），则a 在b 方向上的投影为 （ ） A.－1313 B. 1313 C.0 D.16．已知向量c 与向量a ＝（ 3 ，－1）和b ＝（1， 3 ）的夹角相等，c 的模为 2 ，则 c ＝ .7．若a ＝（3，4），b ＝(1，2）且a ·b ＝10，则b 在a 上的投影为 .8．设a ＝（x 1，y 1)，b ＝(x `2，y `2)有以下命题：①|a |＝x 12＋y 12 ②b 2＝x 22＋y 22③a ·b ＝x 1x `2＋y 1y `2 ④a ⊥b x 1x `2＋y 1y `2＝0，其中假命题的序号为 .9．已知A （2，1），B （3，2），D （－1，4）， （1）求证：AB →⊥AD → ；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标.10．已知a ＝（3，－2），b ＝(k ，k ）（k ∈R)，t ＝|a －b |，当k 取何值时，t 有最小值？最小值为多少？11．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.平面向量数量积的坐标表示答案1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．(3＋12，3－12)或(－3＋12，1－32) 7．2 8．② 9．已知A （2，1），B （3，2），D （－1，4），（1）求证：AB →⊥AD → ；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标.（1）证明：∵AB →＝（1，1），AD →＝（－3，3）∴AB →·AD →＝1×3＋1×(－3)＝0， ∴AB →⊥AD →.（2）解：∵A BC D 为矩形，设C （x ，y ），∴AB →＝DC →，（1，1）＝（x +1，y －4)∴x ＝0，y ＝5，∴C （0，5）.10．已知a ＝（3，－2），b ＝(k ，k ）（k ∈R)，t ＝|a －b |，当k 取何值时，t 有最小值？最小值为多少？解：∵a －b ＝(3－k ，－2－k ) ∴t ＝|a －b |＝（3－k ）2＋（－2－k ）2＝2k 2－2k ＋13 ＝2（k －12 ）2＋252∴当k ＝12 时，t 取最小值，最小值为522. 11．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.解：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2),∴|a |＝|b |＝1，∴x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1 ① 3a －2b ＝3(x 1，y 1)－2(x 2，y 2)＝(3x 1－2x 2，3y 1－2y 2),又|3a －2b |＝3,∴(3x 1－2x 2)2＋(3y 1－2y 2)2＝9,将①代入化简，得x 1x 2＋y 1y 2＝13 ②又3a ＋b ＝3(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(3x 1＋x 2，3y 1＋y 2),∴|3a ＋b |2＝(3x 1＋x 2)2＋(3y 1＋y 2)2＝9(x 12＋y 12)＋(x 22＋y 22)＋6(x 1x 2＋y 1y 2)＝12, 故|3a ＋b |＝2 3 .。
高中数学必修四《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT
（4）(a
b)2
2
a
2a
b
2
b
（5（）a
b)
(a
b)
2
a
2
b
：
注意个运算律的逆用。如导学案上149页12题
课堂引入：
平面向量的表示方法有几何法和坐标 法，向量的表示形式不同，对其运算的表 示方式也会改变. 向量的坐标表示，为我 们解决有关向量的加、减、数乘向量带来 了极大的方便.上一节，我们学习了平面向 量的数量积，那么向量的坐标表示，对平 面向量的数量积的表示方式又会带来哪些 变化呢？
.
即:两个向量的数量积等于它们对 应坐标的乘积的和
重要性质：
(1).设a x, y,则 a x2 y2 用于计算向量的模
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1, y1, x2, y2 , 那么 a x1 x2 2 y1 y2 2 . 即平面内两点间的距离公式．
（2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐
然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。
解：1） ka b k1,2 3,2 k 3,2k 2
a 3b 1,233,2 10,4
当ka b a 3b 0时 这两个向量垂直
由k 310 2k 2 4 0 解得k=19
2) 当ka b与a 3b平行时,存在唯一实数, 使ka b a 3b
a a( a a可简写成a2 )
(4) cos a b , (5) | a b || a || b | .
| a || b |
11:14
4
4、平面向量的数量积的运算律：
(1)a b b a
(2)(a) b (a b ) a (b )
(3)(a b ) c a c b c
必修4-2.6 平面向量数量积的坐标表示 (2)
2.已知 a (3， 2)， b (6， 9)，求证： a b .
解 a b = (3，2) (-6，9) = 3 （-6）+2 9 所以 a ⏊ b .
3 . 已知三点A（7，5），B（2，3），C（6，-7）． 求证：△ABC是直角三角形．
证明 AB (2， 3) (7， 5) (5， 2) BC (6， 7) (2， 3) (4， 10) 所以 AB BC 0 则 AB BC 所以，△ABC是直角三角形.
4.已知 a (3， 0)， b (k， 5)，且 a与b 的夹角是 135， 求k的值 .
重点：平面向量数量积的坐标表示．
难点： 平面向量数量积的应用．
1 . 平面向量数量积的计算公式 . 2. 在直角坐标系中，设 i，j 分别是 x 轴和 y 轴方向上 的单位向量 . 设a = （x1，y1），b = （x2，y2），怎样 用 a 和 b 的坐标来表示 a b 呢？
1. a · b = |a| |b| cos . | a | a a .
例1 已知 a =( 3,2 )，b =( -1,-1 )，求向量a 与b 的夹角 的余弦 .
26 解 cos . 26 32 2 2 12 (1) 2 26 即 向量a与b夹角的余弦值为 26
3 1 2 (1)
例2 求以点C（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程 .
思考：如何用向量坐标表示两个向量的夹角？ 设a = （x1，y1），b = （x2，y2），a ，b 的夹角为θ ，
则 cos
x1 x2 y1 y2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
.
向量垂直的坐标表示： 设a = （x1，y1），b = （x2，y2）， 则 a ⊥ b ⟺ x1x2 + y1y2 = 0
高中数学必修4第二章第六节《平面向量数量积的坐标表示》
2b
2
2 2 x2 y2 , 3a b x1 x2 y1 y2 , 4a b x1 x2 y1 y2 0
其中假命题序号是:
(2)
4.若a 0,1, b 1,1且 a b a, 则实数的值是
A．-1 B.0 C.1 D.2
3、 cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
4、 a // b x1y2 x2 y1 0 5、 a b x1 x2 y1 y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
学习目标：
1、理解掌握平面向量数量积的坐标表示、 向量的 夹角、模的 公式. 2、掌握两个向量垂直的坐标表示 3、能初步运用向量数量积的坐标表示 解决处理有关长度、垂直及夹角 的几 个问题.
基础训练题
1.有四个式子: 10 a 0, 20 a 0, 3a b a c b c,
a // b x1y2 x2 y1 0
a b x1 x2 y1 y2 0
例３:已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b 的夹角为钝角,则λ取值范围是多少? 解：由题意可知： -1＜ cos
a b ab
＜0
∴λ∈（—
1 ，2）∪（2，+∞） 2
例４：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）试判 定△ABC的形状，并给出证明。
cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
例2:设a=(2,１),b=(１,３),求a· b及a 与b的夹角
苏教版高中数学必修四课件2.4平面向量数量积的坐标表示(2课时)
y
（1）D点的坐标以及 AD
B
( (
x y
2) 2)
(6) (6)
(y (x
1) (3) 3) (3)
0 0
C
A x
解得： x
y
9 5 7 5
AD
（
1，2） 55
AD
（ 1）2 （2）2 55
5 5
D点的坐标为（9，7），AD 5
解: ∵ c d ,∴ c d =0,
即 a (sin 3)bka (sin)b 0
也即
k
2
a
a
b
sin
k
(sin
3)a
b
+
sin
(sin
2
3)b
0
,
又∵ a (
3, 1) ,b =( 1 ,
3
),∴
a
b
=0,且
2
a
=
当θ=180º时，与a反向b；
O
OB b
B
b
θ
a
A
当θ=90º时，与a 垂直b，记作。 a b
ab
a
b
a b
平面向量数量积的重要性质有:
设a与b都是非零向量，e是单位向量，θ 0是a与e
的夹角，θ 是a与b的夹角。
(1)e a a e a cos 0 (2)a b a b 0
cos A
AC AB
AC AB
高中数学必修四(苏教版)2.3《向量的坐标表示》ppt课件
向量的坐标运算
a (x1, y1),b (x2 , y2 ) 则：a b (x1 x2 , y1 y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 )
a (x1, y1)
练习，已知a (2,1),b (3, 4), 求a b, a b,3a 4b的坐标。
以下三个特殊向量的坐标是：
Y
i = (1,0) j= (0,1) 0= (0,0)
那若每么两个起个向点向量不量都在相有原等唯点则一的这的向两坐量个标的向.坐量标的是
什对么应呢坐？标每也个相向等量;反有之几对个应坐坐标标呢?
相等的两个向量一定是相等向量. j
O
a
X
每个向量都有唯一的坐标. i
如果a (x1, y1),b (x2, y2 ),
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
可通过向量的平移， 将向量的起点移到坐 标的原点O处,其终点 的坐标（x，y）称为 a的（直角）坐标， 记a=（x，y）。
yA a
a
ox
归纳总结
在平面直角坐标系内，若分别取与X轴、Y轴正方向
相同的两个单位向量 i , j作为基底，任作一向量a， 由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j.
那么a b x1 x2 ,且y1 y2
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
y
a
o
x
已知 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，求 AB 的坐标.
从向量运算的角度
AB OB OA
高中数学必修四《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT文档37页
高中数学必修四《平面 向量数量积的坐标表示、
模、夹角》
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
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高中数学 2.3 向量的坐标表示教材梳理素材 苏教版必修4(2021年整理)
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高中数学 2。
3 向量的坐标表示教材梳理素材苏教版必修4知识·巧学1。
平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1、λ2使a=λ1e1+λ2e2.我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
对于平面向量基本定理应注意以下几点：(1）基底不唯一，关键是不共线；（2)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(3）基底给定时，分解形式唯一，λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量.由平面向量基本定理知，平面内任意一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和,并且这种分解是唯一的。
一个平面向量用一组基底e1、e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式，我们称它为向量的分解。
特别地,当e1、e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。
深化升华对于一个平面内所有向量的基底必须是不共线的，对于一个平面向量，可以选择不同的基底,基底的选择不同，则对于同一个非零向量的表示也不同.由这个定理还可以看出，平面内任意一个向量都可以沿两个不共线的方向分解为两个向量的和.学法一得当沿两个不共线的方向分解一个向量时，可对比于物理中力的分解.λ1e1+λ2e2叫做e1、e2的一个线性组合。
苏教版高中数学必修四学案平面向量数量积的坐标表示模夹角课时(1)
§2.4.2 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角第一课时编者：曹惠民【学习目标、细解考纲】1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。
2.掌握向量垂直的坐标表示及夹角的坐标表示及平面向量点间的距离公式。
【知识梳理、双基再现】1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅v v v v （坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。
如：设a v (5,-7),b=(-6,-4),求a v b v g 。
2.平面内两点间的距离公式（１）设a=(x,y),v 则2a =v ________________或a v ________________。
（２）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为________________________________________________________________________________（平面内两点间的距离公式）3.向量垂直的判定设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,v v 则a b ±⇔v v _________________如：已知A （1，2）, B(2,3), C(-2,5),求证ABC V 是直角三角形。
4.两向量夹角的余弦（0≤θ≤π）cos θ＝__________________________________＝_______________________________如：已知A(1,0),B(3,1),C(-2,0),且,a BC b CA ==u u u r u u u r v v ,则a v 与b r 的夹角为_________________。
【小试身手、轻松过关】1.已知(4,3),(5,6)a b =-=r r 则23a 4a b=-⋅r r r （ ）A.23B.57C.63D.835636543(,)554355--（），433C.555-4（，）或（-，）5433)(,)5554（，或--5125252-1522.已知()()a 3,4,b=5,12-r r 则a b r u r 与夹角的余弦为（ ）A. B.C. D.3.()a=2,3,b=(2,4),-r r 则()()a+b a-b =⋅r r r r __________。
高中数学必修四《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》共37页文档
高中数学必修四《平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角》
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
高中数学必修四课件：2.6 平面向量数量积的坐标表示 参考课件2
课堂练习：已知△ABC的顶点坐标为A(2，-1),
B(3，2) ,C(-3，-1),BC边上的高为AD，求D点
及 AD的坐标.
D(1,1), AD (1,2)
第六页，编辑于星期日：二十三点 五十九分。
例题3.已知直角梯形ABCD中，AB//CD， ∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA=0.5AB， 求证：AC⊥BC
(2)设a (x1 , y1 ), b (x2 , y 2 ),则
a b x1x2 y1y2 0
a // b x1y 2 x2y1 0
第二页，编辑于星期日：二十三点 五十九分。
例题1.求等腰直角三角形中两直角边上的中线所 成的
钝角的度数。
第三页，编辑于星期日：二十三点 五十九分。
平面向量数量积坐标的表示
第一页，编辑于星期日：二十三点 五十九分。
设两个非零向量a (x1 , y1 ),b (x2 , y2 ) a b x1x2 y1 y2
(1)设a (x, y),则 | a | x2 y 2
设表示a的有向线段的起点和终 点的 坐标分别为（x1 , y1 ), (x2 , y 2 ), 那么 | a | (x1 x2 )2 (y1 y 2 )2
第九页，编辑于星期日：二十三点 五十九分。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第七页，编辑于星期日：二十三点 五十九分。
例题4.已知三点A（2，1），B（3，2），D（-1，4），
（1）求证： AB AD
（2）要使四边形ABCDA为矩形，求点C的坐标并求矩形 ABCD两对角线所成的锐角.
第八页，编辑于星期日：二十三点 五十九分。
课堂练习：如果正方形OABC的边长为1，点D、E 分别为AB、BC的中点，试求cos∠DOE.
平面向量数量积的坐标表示(精品说课稿)
敬爱的各位评委各位老师：大家好，我是高中数学组号考生，今日我讲课的题目是《平面向量数目积的坐标表示》。
下边我将从说教材、说学情、说教课目标、说教课过程等几个方面来睁开我的讲课。
第一来谈谈教材。
本课是北师大版高中数学必修四第二章第 6 节课内容，向量是交流代数和几何的桥梁，为研究几何问题供给了新的工具和方法，同时对更新和完美中学数学知识构造起侧重要作用。
向量集数、形于一身，有着极其丰富的实质背景。
上一节学习了向量的数目积，而平面向量数目积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数目积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题供给了崭新的手段。
它把向量的数目积与坐标运算两个知识点密切联系起来，是全章要点之一。
剖析完了教材，再来谈谈学情。
高二年级的学生，在此以前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数目积观点及运算，但数目积是用长度和夹角这两个观点来表示的，应用起来不太方便，但因为我们的学生认识问题还不够深入，其思想能力和判断剖析能力尚在培育形成之中。
鉴于此种状况，教师要充足利用他们的兴趣指引学生进入特定的教课境界，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数目积，使之应用更方便，就是摆在学生眼前的一个亟待解决的问题。
所以，本节内容的学习是学生认知发展和知识建立的一个生长点。
鉴于以上教材地位、学情特色以及新课标的要求，我确立了以下三维教课目的：1、理解掌握平面向量数目积的坐标表达式，会进行数目积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能依据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题，这是本课教课的要点。
2、经过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法，培育学生发现问题、剖析问题、解决问题的能力，使学生的思想能力获取训练，而向量数目积的坐标表示的应用也是本课教课的难点。
3、经过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和蔼于发现、勇于研究的精神，领会学习的快乐。
领会各学科之间是密不行分的。
高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示课件高一必修4数学课件
(2)坐标表示下的运算:若 a=(x,y),则 a·
a=a2=|a|2=x2+y2,于是有
|a|= 2 + 2 .
2.与已知向量垂直或平行的单位向量
(1)与向量(x0,y0)平行的单位向量是±
(2)与向量(x0,y0)垂直的单位向量是±
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1
20 +20
则 cos
(2+)·(-)
θ= |2+||-|
=
π
9
3√2×3
√2
= 2.
又 θ∈[0,π],故夹角为4.
答案:C
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第十六页，共三十三页。
EZUOXUEXI
易错辨析
用坐标运算求向量的夹角
【例3】 若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于(
π
§6 平面向量数量积的坐标(zuòbiāo)表示
12/8/2021
第一页，共三十三页。
Z 自主预习
首页
课 标 阐 释
思
1.掌握平面向量数量积的坐标
表达式,会用平面向量数量积
进行坐标运算.
2.会用坐标运算求向量的模,
会求两个向量的夹角.
3.会用数量积的坐标运算判断
两个向量的垂直关系.
4.能运用数量积解决有关问
1
20 +20
·
(x0,y0);
·
(-y0,x0).
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
Z 自主预习
首页
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
高中数学学案必修四《第二章 平面向量数量积的坐标表示》
第课时
课题名称
时间
第周星期
课型
新授课
主备课人
赵红军
目标
1、通过探究平面向量数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；
2、掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题。
重点
平面向量数量积的坐标表示.
二次备课
难点
向量数量积的坐标表示的应用.
③（夹角公式）设 ， ， 与 的夹角为 ，则 =；
④（垂直）设 ， ，则 .
问题生成记录：
精
讲
互
动
1求平面曲线方程的方法与步骤：
②若圆C: ，则与圆C相切于点 的切线方程为，特别的，若a=0，b=0，则与圆C相切于点 的切线方程为.
③若直线 的斜率为 ，则 的方向向量为.
④直线 与 的夹角是指，其范围是.
板书
设计
自
主
学
习
1．复习回顾：
①已知向量 、 ，则 =； =； =，特别的， =.
②若 ，则 =，反之可得.
③设 ， ，则 与 平行 .
2．新知探究：
①设 、 分别是x轴和y轴方向上的单位向量， ， ，则 =，即两向量的数量积等于.
②（模长公式）设 ，则 =，或 ；
如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 和 ，那么 =， ；
达
标
训
练
1．练习1、2；
2．已知 ＝（２，－１）， ＝（３，－２），求（３ － ）·（ －２ ）；
3．已知向量 ，若 与 垂直，则实数k=_____.
4. 平行，则x=_______.
5.已知 ，且 的夹角为钝角，求实数m的取值范围.
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平面向量数量积的坐标表示（知识讲解与典型例题）本周重点：平面向量数量积的坐标表示；两个向量垂直的充要条件。
本周难点：利用向量的数量积解决具体问题。
本周内容：
上一节我们学习了平面向量的数量积及运算律，而向量是可以用坐标来表示的，那么向量数量积是如何用坐标表示呢？下面我们来学习这部分知识。
我们给出两个非零向量（用坐标给出），我们知道坐标是与从原点出发的向量一一对应。
如图不妨设：
则有A、B两点坐标为(x1, y1),(x2,y2)，又设x,y轴上的单位向量为，
则有，
∵是互相垂直的单位向量，
∴，，
则
也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和（结果是数量），即
，
若
则，
∵，
∴∴，
上图中A(x1,y1),B(x2,y2),
则
则。
这就是我们已经使用过的平面内两点间的距离公式（不用向量你会推导吗）。
上图中若设∠AOB=α，则，
即。
由此可得到两个向量的夹角。
特别地，当α=90°时，cosα=0，即x1x2+y1y2=0。
由此知：垂直的充要条件是x1x2+y1y2=0。
这个充要条件在今后解决问题中十分重要。
下面我们通过例题用坐标的形式再一次验证。
例1．已知：。
（1）求：；
（2）求：；
（3）求：，
（4）求：
解：（1）
由此可见证。
（严格证明需要把的坐标一般化，但方法是一样的。
）
（2）
（3）。
由此可证：
（4）
由此可验证：向量的数量积不满足结合律，即不一定相等。
例2．试判断满足下列条件的三角形的形状。
（1）ΔABC中，A（1，-2），B（-3，-1），C（5，-1）
（2）ΔABC中，A（1，2），B（2，3），C（-2，5）
（3）ΔABC中，A（0，3），B（4，0），C（7，4）
解：（1）
由此可知ΔABC为等腰三角形。
（2）
或：，
∴ΔABC为直角三角形。
（3）
∵，∴AB⊥BC，
∵，
∴ΔABC为等腰直角三角形。
例3．已知：向量满足，求：向量与向量的夹角α。
解：设，
则
即
∴，
，
则：，
∵0≤α≤π，
∴。
例4．求证：非零向量垂直的充要条件是。
证明：设
（1）充分性：∵
∴
∵
∴
即x1x2+y1y2=0,∴.
（2）必要性：
∵，∴x1x2+y1y2=0,
∴
∴
例5．已知：RtΔABC中，，求m的值。
解：∵，
∴。
（1）当∠A=90°时，
（2）当∠B=90°时，
（3）当∠C=90°时，
即，
∴由（1）（2）（3）知：。
例6．已知：
（1）求证：垂直；
（2）若，求β-α的值。
（1）证明：∵
∴=
=
∴
∴垂直。
又证：
∴垂直。
（2）∵
∴
∴2kcosαcosβ+2ksinαsinβ=-2kcosαcosβ-2ksinαsinβ
∴2kcos(α-β)=0
∵k≠0,∴cos(α-β)=0
∵0<α<β<π,∴.
课后练习：
1．若点A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，则=（）。
A、-1
B、0
C、1
D、2
2．若的夹角为（）。
A、30°
B、45°
C、60°
D、90°
3．若垂直，则实数k=（）。
A、1
B、-1
C、1或-1
D、非以上答案
4．若A（1，0），B（5，-2），C（8，4），D（4，6），则四边形ABCD为（）。
A、正方形
B、菱形
C、梯形
D、矩形
5．若ΔABC中，A（1，2），B（4，1），C（0，-1），则ΔABC是（）。
A、直角三角形
B、等腰三角形
C、等腰直角三角形
D、等边三角形
6．若的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（）。
A、B、（2，+∞）
C、D、
7．若的向量=___________。
8．与垂直的单位向量是（）。
9．若A(cosα, sinα), B(cosβ, sinβ), α≠β，则| |的取值范围是_______。
10．已知，以原点和A（5，2）为顶点的等腰直角三角形OAB中，∠B=90°，求：点B及
向量的坐标。
练习答案：
1. B
2.B
3.B
4.D
5.C
6.A
7. (2,-3)
8.
9. (0,2]
10.
专题辅导
平面向量数量积的坐标表示
知识要点：
向量的数量积它可以解决有关长度、角度、垂直的问题，向量数量积的坐标表示即向量数量积的代数化，可以将数量积运算转化为代数运算，进而解决有关长度、角度、垂直的问题.
要求将向量数量积的性质在坐标形式下准确记忆，特别地，根据定义还可推出向量夹角的坐
标公式：向量的夹角满足.向量垂直的充要条件的坐标式是重点.
向量互相垂直等价于x1x2+y1y2=0，它与向量共线的充要条件的坐标式x1y2-x2y1=0容易发生混淆.
典型题目：
例1．三角形ABC中，A(5, -1), B(-1, 7), C(1,2)，求：（1）BC边上的中线AM的长；（2）∠CAB的平分线AD的长；（3）∠ABC的余弦.
解：（1）M的坐标为.∴，∴
.
（2），
D点分的比为2,，
.
（3）∠ABC是的夹角，而.
.
点评：向量的数量积运算常用来解决有关长度和角度问题，反映在坐标上应用两点间距离公式和夹角公式.
例2．ΔABC的三个顶点是A（4，8），B（0，0），C（6，-4）.求：
（1）ΔABC的三边的长；（2）ΔABC的AB边上的中线CD的长；（3）ΔABC的重心G 的坐标.
解：（1），，
.
（2）设D点的坐标是(x, y)，则由中点坐标公式，得
∴D（2，4）,∴.
（3）设G点的坐标是(x,y),则.
由定比分点坐标公式，得即重点.
例3．（1）已知a=(6,2),b=(-3,9),判断a与b是否垂直？
（2）判断以O(0,0),A(a,b),B(a+b, b-a)为顶点的三角形的形状.
解：（1）由向量的数量积的坐标表示，得a·b=6×(-3)+2×9=0, ∴向量a与b垂直.
（2）由向量的坐标表示，得
.
所以，这个三角形的三条边长分别为：
所以，ΔOAB的三边满足下列关系:，且，因此，以O、A、B三点为顶点的三角形是等腰直角三角形（其中，∠A=90°，∠O=∠B=45°）.
例4、以原点O和点A（4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，求点B的坐标和.
解：如图，设点B的坐标是(x ,y)，则.
∵∠B=90°，∴，∴x(x-4)+y(y-2)=0,即x2+y2=4x+2y. ①
再设OA的中点为D，则D的坐标是（2，1）.
连结BD，则. ∴4(2-x)+2(1-y)=0.即2x+y=5 ②
解①、②联立的方程组，得
∴点B的坐标是（1，3）或（3，-1）.
当点B的坐标为（1，3）时，；
当点B的坐标为（3，-1）时，.
例5、已知点A（1，2）和B（4，-1），问能否在y轴上找到一点C，使∠ACB=90°，若不能，说明理由；若能，求C点坐标.
解：设C点坐标为(0,y)，由∠ACB=90°知，
，即(-1)×(-4)+(y-2)(y+1)=0, y2-y+2=0无解.故不能找到满足条件的点.
课外练习：
1、已知O是直角坐标系的原点，，在x轴上有一点P，
使取最小值，求P点的坐标及此时的∠APB的大小.
2、已知两点A(-2,0),B(4,0),点C在直线上，点C的横坐标为m，若ΔABC为直角三角形，求实数m的值.
3、已知，当a,b∈R且a≠b，求证：|f(a)-f(b)|=|a-b|.
参考答案：
1、设P（x,0), 则
=x2-6x+10=(x-3)2+1.
当x=3时取得最小值，此时P点的坐标为P(3,0),
.
∴.
说明：通过坐标运算将数量积的最值转化为二次函数的最值是解答本题的关键.
2、设C点坐标为，①当C为直角时，，即
，，解得.②当A为直角时，，即·(6,0)=0, 6(m+2)=0,解得m=-2.③当B为直角
时，，即，解得m=4.
说明：分类讨论是本题的难点，容易被忽略.
3、
，
设A(a,0), B(b,0), C(0,1),则|f(a)-f(b)|表示表示，在ΔABC中，
根据三角形两边之差小于第三边这一性质可知，故.
说明：本题根据向量有关模长的运算，若A(x a,y a), B(x b,y b)，
则这一结论将条件转化为几何形式.。