2020高二数学上册寒假作业5期末综合试卷

心对称，则直线 AB 的方程为_________．
4．在平面内，已知双曲线 C：x2 y2 1 的焦点为 F1，F2，则 PF1－PF2＝6 是点 P 在双曲 9 16
线 C 上的________条件（填充要、充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要）
5．在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(m，1)到直线 4x－3y－1＝0 的距离为 4，且点 P 在
( )3 6
12－ 2
136 2
OD＝
3 ＝ 3 ，∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2×3× 4 × 3 ＝ 6 ．
13．
x2 y2 1y 0
2
14． 18 5
ห้องสมุดไป่ตู้
二、解答题：
15．
解：（1）由
C1：
x2 2m
y2 +
1 m
1，若
p
真，则
2m＞1＞0m
，解得 1 m 1； 3
若 q 真，则（2m＋1）（3m＋4）≤0，解得 m 4 或m 1 ，
11． 3 2
12． 6
解析：由于三棱锥 S－ABC 与三棱锥 O－ABC 底面都是△
ABC，O 是 SC 的中点，因此三棱锥 S－ABC 的高是三棱锥
O－ABC 高的 2 倍，所以三棱锥 S－ABC 的体积也是三棱锥
O－ABC 体积的 2 倍．在三棱锥 O－ABC 中，其棱长都是 1，
3
3
如图所示，S△ABC＝ 4 ×AB2＝ 4 ，高
整理得 x2 y2 4x 3y 5m(x 2 y) 0 ，
x2 y2 4x 3y=0,
x 0,
x 2,
令 x+2y=0
，所以
y
0.
（舍）或
y
1.
所以△ OCD 的外接圆恒过定点为 (2, 1) ．
18．
C C
F A
D
BA
F
B
E D
解：（1）证明：依题意：AD⊥BD． ∵CE⊥平面 ABD，∴CE⊥AD．网
当 a 3 时， FG 2 3 ，此时直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为定值
2 3 ．因此存在直线 m : x 3 满足题意 ……………………………………16 分
20． c
解（1）由题设可知 a＝2，e＝a＝ ，所以 c＝ 3，故 b＝1．
因此，a＝2，b＝1．
………………… 2 分
6 , 3
3 3
时，△AGM
的面积最大，则半椭圆的方程为________．
14．已知三个正数 a，b， c ，满足 a b c 3a ， 3b2 a(a c) 5b2 ，则 b 2c 的最小值是 a
____________．
二、解答题：
15．（本小题满分
14
分）已知命题
p：曲线
C1：
一、填空题： 1．真 2． (0，1)
8 3． x＋y－3＝0 4．充分不必要 5．6 6．（0，± 7） 7． 1
2
8． y＝± 3x
9 9．
10 10．
x2 y2
3
解析：双曲线a2－ 3 ＝1 的渐近线方程为 y＝± a x，即
3x±ay＝0，圆(x－2)2＋y2＝4 的圆心为 C(2，0)，半径为
P
A
C
B
17．（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，己知点 A(3, 4), B(9, 0) ，C，D 分别
为线段 OA，OB 上的动点，且满足 AC=BD． （1）若 AC=4，求直线 CD 的方程；
（2）证明： OCD 的外接圆恒过定点（异于原点 O）．
18．(本小题满分 16 分) 如图：C、D 是以 AB 为直径的圆上两点， 1
又设 OCD 的外接圆的方程为 x2 y2 Dx+Ey F 0 ， F 0, 9m2 16m2 3mD 4mE F 0,
则有 5m 42 5m 4D F 0.
解之得 D (5m 4), F 0 ， E 10m 3，
所以 OCD 的外接圆的方程为 x2 y2 (5m 4)x (10m 3) y 0 ，
3
2
则“pq”为真，即 p 真 q 假，则 1 m 1且 4 m 1 ，则 1 m 1 ；
3
3
23
2
1 （2）若p 是s 的必要不充分条件，则 p 是 s 的充分不必要，记 A＝ ( ,1) ，
3
解不等式 m2 4am 5a2＜0，记 B＝ (5a, a) （a＜0），
a 0, 则 A 真包含于 B，则 5a 1 ，解得 a≤－1.
所以 CP ⊥平面 PAB ，
又因为 PA 平面 PAB ，所以 CP ⊥ PA ．
（2）在平面 PBC 内过点 P 作 PD ⊥ BC ，垂足为 D ．
因为平面 PBC ⊥平面 ABC ，
又平面 PBC ∩平面 ABC ＝BC，
A
PD 平面 PBC ，所以 PD ⊥平面 ABC ．
又 l ⊥平面 ABC ，所以 l // PD ．
x2 y2 20．（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：a2＋ b2＝1（a＞b＞0）的上
顶点到焦点的距离为 2，离心率为 ． （1）求 a，b 的值． （2）设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两
点． （ⅰ）若 k＝1，求△OAB 面积的最大值； （ⅱ）若 PA2＋PB2 的值与点 P 的位置无关，求 k 的值．
不等式 2x＋y≥3 表示的平面区域内，则 m＝_________．
6．若圆锥曲线 x2 y2 1 的焦距与 k 无关，则它的焦点坐标是__________． k2 k5
x2 7．已知椭圆 a2
y2 b2
1(a
b 0) ，点
A，B1，B2，F 依次为其左、下、上顶点和右焦点，
若直线 AB2 与直线 B1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为_________． 1
r＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距 |CD|＝ 22－12＝ 3，另一方面，圆心 C(2，0)到双曲线
x2 y2 a2－ 3 ＝1 的渐近线 3x－ay＝0 的距离为 d＝
| 3 × 2－a × 0| 2 3
23
3＋a2 ＝ 3＋a2，所以 3＋a2＝ 3，解得 a2＝1，即
a＝1，该双曲线的实轴长为 2a＝2．
，过
E
作直线
x
a 的垂
线，垂足为 F，设直线 m 与圆 E 的一个交点为 G ．可得: FG 2 EG 2 FE 2 , ……11 分
即 FG 2 EA 2 FE 2 = x1 42 y12 x1 4 a 2
4
2
=
1 4
y12
x1
42
x1
4
42
ax1
4 a2
= x1 4x1 ax1 4 a 2 = a 3x1 4a a 2 ……………………………… 14 分
∵BD∩CE＝E，∴AD⊥平面 BCE．
（2）证明：Rt△ABD 中，AB＝ 2 3 ，AD＝ 3 ，
∴BD＝3．连接 AE 在 Rt△ACE 和 Rt△BCE 中， AC=BC，CE=CE， RtACE RtBCE ， AE BE ． 设 DE=x，则 AE=BE=3-x， 在R中t，ADE AD2 DE2 AE2 ，∴ 3 x2 (3 x)2 ， 解得x 1 ．
1 3
S△FAD
CE＝
1 3
3 2
6 2＝ ．
6
19．
解：(1)由题意，可设抛物线方程为 y 2 2 pxp 0．由 a 2 b2 4 3 1，得
c 1．
抛物线的焦点为 1,0， p 2 ．抛物线 D 的方程为 y 2 4x …………… 4 分
(2)设 Ax1, y1 ， Bx2 , y2 ．
圆的右焦点重合． （1）求抛物线 D 的方程； （2）过椭圆 C 右顶点 A 的直线 l 交抛物线 D 于 M、N 两点．
①若直线 l 的斜率为 1，求 MN 的长； ②是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 MA 为直径的圆 E 所截得的弦长为定值？如
果存在，求出 m 的方程；如果不存在，说明理由．
1
所以直线
CD
的斜率
5
3 5
7 ，
所以直线
CD
的方程为
y
1 7
(
x
5)
，即
x
7
y
5
0
．
（2）设 C(3m, 4m)(0 m ≤1) ，则 OC 5m ．
则 AC OA OC 5 5m ，因为 AC BD ，所以 OD OB BD 5m+4 ，
所以 D 点的坐标为 (5m+4, 0)
SC 为球 O 的直径，且 SC＝2，则此棱锥的体积为_________．
13．已知半椭圆 y2 x2 1( y 0，a b 0) 和半圆 x2 y2 b2 ( y 0) 组
a2 b2 成的曲线 C 如图所示．曲线 C 交 x 轴于点 A，B，交 y 轴于点 G，H，点 M 是半圆上异于 A，B 的任意一点，当点 M 位于点
3 a 1
16．
证明：（1）因为平面 PBC ⊥平面 ABC ，平面 PBC 平面 ABC BC ， AB 平面
ABC ， AB ⊥ BC ，所以 AB ⊥平面 PBC ． 因为 CP 平面 PBC ，所以 CP ⊥ AB ．
又因为 CP ⊥ PB ，且 PB AB B ， AB, PB 平面 PAB ，
∴BE＝2，∴ BF BE 2 ，∴AD∥EF．∵AD平面 CEF，∴AD∥平面 CEF． BA BD 3
（3）解：由（2）知，AD∥EF，AD⊥ED，且 ED=BD－BE＝1，
∴F
到
AD
的距离等于
E
到
AD
的距离为
1．∴S△FAD＝
1 2
3 1＝ 3 ． 2
∵CE⊥平面
ABD，∴VA-CFD＝VＣ-ＡFD＝
高二数学上册寒假作业 5 期末综合试卷
一、填空题：
1．命题“ x R，|x|>0 ”的否定是_________命题（填“真”或“假”）．
2．抛物线 y 2x2 的焦点为_________．
3．在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 x2＋(y－1)2＝4 上存在 A，B 两点关于点 P(1，2)成中
AB＝2AD＝2 3，AC＝BC，F 是 AB 上一点，且 AF＝3AB，将圆沿直径 AB 折起，使
点 C 在平面 ABD 的射影 E 在 BD 上．
（1）求证：AD⊥平面 BCE；
C
（2）求证：AD∥平面 CEF；
C
（3）求三棱锥 A-CFD 的体积．
A
F
BA
F
B
E
D
D
x2 y2 19．（本小题满分 16 分）已知抛物线 D 的顶点是椭圆 C：16＋15＝1 的中心，焦点与该椭
8．在平面直角坐标系 xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为 x＝2，且它
的一个顶点与抛物线 y2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为_______．
x y 2 0，
9．过平面区域
y
2
0，
内一点 P 作圆 O： x2 +y2 1的两条切线，切点分别为 A、B，
x y 2 0
又 l 平面 PBC ， PD 平面 PBC ， l //平面 PBC ． 17．
解：（1）因为 A(3, 4) ，所以
P
C D B
OA (3)2 42 5 ，
C( 3 , 4) 又因为 AC 4 ，所以 OC 1 ，所以 5 5 ，
由 BD 4 ，得 D(5, 0) ，
0 4 5
①直线 l 的方程为： y x 4 ，
联立
y x 4
y
2
4x
，整理得:
x2
12 x
16
0
，
A(6 2 5,2 2 5), A(6 2 5,2 2 5) AB = x1 x2 2 y1 y2 2 4 10
②
设存在直线 m : x
a
满足题意，则圆心
E
x1
2
4
,
y1 2
记APB=，则当最小时，cos ＝_________． x2 y2
10．若双曲线a2－ 3 ＝1 的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4 所截得的弦长为 2，则该双曲线
的实轴长为_________．
y2 x|x| 11．直线 x－y＋3＝0 与曲线 9 － 4 ＝1 的交点个数是_________． 12．已知三棱锥 S－ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ABC 是边长为 1 的正三角形，
x2 2m
y2 m 1
1
表示焦点在
x
轴上的椭圆，
命题 q：直线 l：mx＋y＋2＝0 与线段 AB 有交点，其中 A(2，1)，B(3，2)，命题
s：m2 4am 5a2＜0（a＜0）．
（1）若“pq”为真，求 m 取值范围；
（2）若p 是s 的必要不充分条件，求 a 的取值范围；
16．（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 P- ABC 中，已知平面 PBC 平面 ABC． （1）若 AB BC，CP PB，求证：CP PA； （2）若过点 A 作直线 l ⊥平面 ABC，求证： l //平面 PBC．